搭起“問題框架”，完善“概念教學(xué)”， 拓寬“解題思路”

趙嫻靜

摘 要： 問題是數(shù)學(xué)的心臟，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)課堂上，教師應(yīng)搭起問題框架：在問題引領(lǐng)下運(yùn)用問題串的方式、逐層遞進(jìn)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行更深入地思考，從而讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.本文以教材新增內(nèi)容“復(fù)數(shù)的三角表示”為例，通過設(shè)置問題串，讓學(xué)生的思維在問題串中淺入深出，完善概念教學(xué)、拓寬解題思路.

關(guān)鍵詞： ?問題框架；概念教學(xué)；復(fù)數(shù)的三角表示

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修二中，復(fù)數(shù)的內(nèi)容占比不多，難度不大，在高考中也屬于容易題，從而往往被一帶而過.而新教材添加了“復(fù)數(shù)的三角表示”這一知識(shí)點(diǎn)，雖然它是選學(xué)內(nèi)容，但不少學(xué)校都將其作為必學(xué)課時(shí)，而且在不少大學(xué)自主招生考試中也會(huì)涉及到.那么新教材為何要添加這部分內(nèi)容？對(duì)于多年沒有涉及這方面教學(xué)的老師，這個(gè)問題值得好好研究.本文從教學(xué)的必要性，課堂設(shè)計(jì)，綜合運(yùn)用及教學(xué)心得四個(gè)方面進(jìn)行初步探討.

1 ?教學(xué)的必要性

復(fù)數(shù)這一章的學(xué)習(xí)，是從解決“實(shí)系數(shù)一元二次方程，當(dāng) Δ <0時(shí)，在實(shí)數(shù)集范圍內(nèi)沒有根”這一問題出發(fā)，進(jìn)而提出數(shù)系需要擴(kuò)充的問題.復(fù)數(shù)解決了數(shù)集運(yùn)算的矛盾，其幾何意義——平面向量則是形的直觀反映.正是因?yàn)樗推矫嫦蛄坑兄灰粚?duì)應(yīng)的關(guān)系，所以平面向量的模長等內(nèi)容就可以類比復(fù)數(shù)的相關(guān)概念.

舊教材中，學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解了復(fù)數(shù)加減法的幾何意義后，這一章的教學(xué)就戛然而止了.但一些愛思考的學(xué)生會(huì)追問：“復(fù)數(shù)的乘除法有沒有幾何意義呢？”

數(shù)學(xué)教育學(xué)的主要任務(wù)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)思維的合理性和全面性.所以加入“復(fù)數(shù)的三角表示”這一知識(shí)點(diǎn)顯得很有必要，它也為解決平面向量，三角函數(shù)和一些平面幾何問題提供了一種重要的方法.

2 ?課堂設(shè)計(jì)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是復(fù)數(shù)的三角形式.“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，問題解決是國際數(shù)學(xué)教育界很早就提出的主要口號(hào).要想解決問題，首先要能夠提出好問題，好問題源自學(xué)習(xí)者自身的內(nèi)在需求，應(yīng)該具有適度的思維挑戰(zhàn)性.所以筆者用問題串的方式，將概念引入的必要性，定義的合理性講清楚.

引言：前面學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解了復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，接下來你們想研究什么？

學(xué)生很自然地會(huì)問：復(fù)數(shù)乘除法有幾何意義嗎？這就是本節(jié)課要解決的問題，在預(yù)設(shè)的情境中，如何盡可能地讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題，是需要教師研究的一個(gè)問題.因此，我們要設(shè)計(jì)好如何引導(dǎo)學(xué)生提出問題.一個(gè)有一定開放性和自由度的問題，能夠給學(xué)生獨(dú)立思考和主動(dòng)探究留下足夠的空間.

問題1 ????復(fù)數(shù) z＝a＋b i （a，b∈ R ）可以由向量 OZ ?的坐標(biāo)（a，b）唯一確定.

我們回顧向量 OZ ?的定義：既有大小，又有方向的量.

那么，能否借助向量的大小和方向這兩個(gè)要素來表示復(fù)數(shù)呢？

設(shè)計(jì)意圖： 從復(fù)數(shù)的幾何表示出發(fā)，將復(fù)數(shù)與向量類比，讓學(xué)生嘗試用類比的思想，定量刻畫向量的大小和方向.

我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該特別重視引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)辨識(shí)新的問題，了解新問題是如何由原來的基本問題通過一定變化生成的，從而就可通過相應(yīng)思考方法或模式的適當(dāng)變化順利地解決問題.

問題2 ????向量的大小可以用向量的模表示，即 | OZ ?|= a2+b2 ，那么向量的方向如何定義呢？

追問：同學(xué)們說了，向量的方向可以用角度來刻畫.那么，在平面直角坐標(biāo)系里，如何定義角度比較合適呢？

設(shè)計(jì)意圖： 復(fù)數(shù)的輻角是本節(jié)的新知識(shí)，也是重點(diǎn).當(dāng)學(xué)生提出，方向可以用角度來刻畫后，引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系里，回顧角的定義，類比出復(fù)數(shù)輻角的定義.這也是類比思想的體現(xiàn).

問題3 ????復(fù)數(shù)的模和輻角確定了，復(fù)數(shù)是否唯一確定？

反之，復(fù)數(shù)確定了，復(fù)數(shù)的模和輻角是否唯一確定？

設(shè)計(jì)意圖： 讓學(xué)生從正反兩方面分析，類比終邊相同的角的表示方法，進(jìn)而意識(shí)到，要使兩者能夠一一對(duì)應(yīng)，需要在輻角的基礎(chǔ)上，追加定義輻角主值，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的必要性，同時(shí)感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

問題4 ????學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角形式后，請(qǐng)通過幾個(gè)例子，來研究復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.

可以一般化嗎？

追問： 復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.

設(shè)計(jì)意圖： 這屬于開放的“大問題”，在復(fù)數(shù)三角形式的基礎(chǔ)上，留給學(xué)生足夠的空間，讓他們解決本節(jié)課開始時(shí)提出的問題.而在整個(gè)探究的過程中，教師預(yù)設(shè)讓學(xué)生從具體復(fù)數(shù)出發(fā)，這也是一般學(xué)生能夠達(dá)到的目標(biāo).后面的追問，則是為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中十分重要的由具體到抽象的思維過程.

以上是本節(jié)課的問題鏈，在問題引領(lǐng)下，通過恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，追問，讓學(xué)生的思維不斷深入.

3 ?綜合應(yīng)用

在高考中，復(fù)數(shù)題的難度不大，一般不需要用三角形式來解決.但在大學(xué)自主招生和涉及旋轉(zhuǎn)的綜合題中，嘗試用復(fù)數(shù)的三角形式來解決，可能更為簡便，以下舉兩個(gè)例子.

例1 ???（2016中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自主招生題） 設(shè)復(fù)數(shù) z 1，z 2滿足|z 1|=2，|z 2|=3，|z 1+z 2|=4， ?z 1 z 2 = ?????.

思路分析：因?yàn)闂l件涉及兩個(gè)復(fù)數(shù)的模，所以可以考慮從三角形式入手，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題.

解： 不妨設(shè) z 2＝3，在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)z 1，z 2 分別對(duì)應(yīng)向量 OB ?， OA ?，則OA＝3，OB＝2，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB（如圖），連接OC，AB，則 OC ?= OA ?+ OB ?，即z 1＋z 2對(duì)應(yīng)的向量為 OC ?，由平行四邊形的性質(zhì)得OC2＋AB2＝2（OA2＋OB2），將OC＝4，OA＝3，OB＝2代入，得AB2＝10，設(shè)∠AOB＝θ，θ∈（0， π ），在△ABC中，由余弦定理得 cos ?θ= 1 4 ，則 sin ?θ= ?15 ?4 ，若點(diǎn)B在x軸上方，即B ?1 4 ， ?15 ?4 ?，則z 1= 1 2 + ?15 ?2 ?i .又z 2=3，所以 z 1 z 2 = 1 6 + ?15 ?6 ?i .

同理，若點(diǎn)B在x軸下方，可以得到 ?z 1 z 2 = 1 6 － ?15 ?6 ?i .

綜上， z 1 z 2 = 1 6 ± ?15 ?6 ?i .

例2 ??已知A，B是橢圓 ?x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）上兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥AB. 若△OAB為等腰三角形（點(diǎn)O，A，B按順時(shí)針排列），求 b a 的最大值．

思路分析：這是一道圓錐曲線題，如果用常規(guī)方法求解，計(jì)算量大且比較繁瑣，這里不再贅述.換個(gè)角度，由于題中涉及“旋轉(zhuǎn)”，可以嘗試用復(fù)數(shù)的三角形式來解決.

解： 設(shè) |OA|＝ρ，A（ρ cos ?α，ρ sin ?α），則 1 ρ2 = ?cos 2α a2 + ?sin 2α b2 ?①，

設(shè) z A＝ρ（ cos ?α＋ isin ?α），則z B= 2 ρ（ cos ?α+ isin ?α） ?cos ?－ ?π ?4 ?+ isin ?－ ?π ?4 ??，

代入橢圓方程，得 ?1 2ρ2 = ?cos 2 α－ ?π ?4 ??a2 + ?sin 2 α－ ?π ?4 ??b2 ?②，

由①②得 2 ??cos 2 α－ ?π ?4 ??a2 + ?sin 2 α－ ?π ?4 ??b2 ?= ?cos 2α a2 + ?sin 2α b2 ，

化簡，得 2（a2－b2） sin ?2α－（a2－b2） cos ?2α=a2+b2，

5 ?sin （2α－φ）= a2+b2 a2－b2 ，其中 tan ?φ= 1 2 ，φ∈ 0， ?π ?2 ?，

因?yàn)?α∈ 0， ?π ?2 ?，所以 1 ?5 ?· ?a2+b2 a2－b2 ?≤1，當(dāng)且僅當(dāng)α= φ 2 + ?π ?4 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)， b a 取最大值， a2+b2 a2-b2 = 5 ，

所以 ?b a ≤ ?5 －1 2 ，即 b a 的最大值為 ?5 －1 2 .

從以上兩個(gè)例題來看，無論是高校的自招考試，還是涉及到旋轉(zhuǎn)的圓錐曲線綜合題，用復(fù)數(shù)的三角形式來解決，不失為一種好的思路.

4 ?教學(xué)心得

本節(jié)課如果直接教授學(xué)生復(fù)數(shù)的三角形式，會(huì)顯得有些突兀.因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的表示方法：形如 z＝a＋b i （a，b∈ R ），如何想到復(fù)數(shù)還有三角形式？而從復(fù)數(shù)的加減法的幾何意義，聯(lián)想到乘除法是否有幾何意義，再引出復(fù)數(shù)的三角表示就顯得比較自然，這也是我們提出的“問題引領(lǐng)”.這正是體現(xiàn)了波利亞提出的“適當(dāng)提問”對(duì)于學(xué)生解決問題能力的重要性.

適當(dāng)提問還要提出好問題，沒有好問題就無法誘發(fā)學(xué)生深入的數(shù)學(xué)思考，深度學(xué)習(xí)就不可能真正實(shí)現(xiàn).好問題應(yīng)當(dāng)具有不斷延展的可能性，也就是學(xué)生一眼看不到底的，但通過跳一跳，夠一夠又能獲得的.學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角形式，通過具體的實(shí)例，學(xué)生就可以歸納總結(jié)出復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，再將其一般化，這個(gè)過程就是培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的抽象概括的能力.

在問題引領(lǐng)下，還要運(yùn)用問題串的方式，逐層遞進(jìn)，即如何能讓思維在問題串中淺入深出，把提問不斷引向深入.從輻角到輻角主值概念的提出，就是數(shù)學(xué)上化多為少，化復(fù)雜為簡單的體現(xiàn).

教師不應(yīng)滿足于通過恰當(dāng)?shù)膯栴}，幫助學(xué)生掌握相關(guān)的知識(shí)和技能，而應(yīng)通過問題引領(lǐng)他們進(jìn)行更深入地思考，并能逐步地學(xué)會(huì)思維，從而讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.

因此，不管是從知識(shí)結(jié)構(gòu)的完整性考慮，還是在解題中的運(yùn)用方面，補(bǔ)充學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角形式都顯得很有必要.

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