“考查素養(yǎng)、引導(dǎo)教學(xué)”是2023年高考數(shù)學(xué)北京卷的鮮明特色

【摘 要】2023年高考數(shù)學(xué)北京卷簡(jiǎn)潔基礎(chǔ)、回歸本質(zhì)、銳意創(chuàng)新，“考查素養(yǎng)、引導(dǎo)教學(xué)”是其鮮明特色.文章給出了多道試題的多種解法及部分創(chuàng)新試題的解法，還對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)及高考復(fù)習(xí)備考提出了合理化建議.

【關(guān)鍵詞】高考；數(shù)學(xué)；北京卷；回歸本質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；復(fù)習(xí)備考

1 “考查素養(yǎng)、引導(dǎo)教學(xué)”是2023年高考數(shù)學(xué)北京卷的鮮明特色

我們先以表格的形式展示2023年高考數(shù)學(xué)北京卷試題中各題的考查情況：

由表1可以看出2023年高考數(shù)學(xué)北京卷（下簡(jiǎn)稱(chēng)北京卷）有以下特點(diǎn)：

（1）北京卷全面考查了高中數(shù)學(xué)六大主干知識(shí)（函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式，三角函數(shù)與解三角形，平面解析幾何，立體幾何，統(tǒng)計(jì)概率，數(shù)列）中的基本概念與基礎(chǔ)知識(shí)，充分體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查的基礎(chǔ)性和全面性.

（2）北京卷通過(guò)多題、多角度出發(fā)，從數(shù)學(xué)學(xué)科整體意義和思想價(jià)值的高度立意，堅(jiān)持對(duì)數(shù)學(xué)基本思想方法的考查.

（3）北京卷延續(xù)已有的命題理念，守正創(chuàng)新，堅(jiān)持以素養(yǎng)立意.通過(guò)設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)性和綜合性問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)對(duì)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合考查.針對(duì)邏輯推理，北京卷通過(guò)寬入口，多思路設(shè)計(jì)了多道試題進(jìn)行考查，特別是對(duì)邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算考查深入，比如第9，10，19，20題.

（4）北京卷堅(jiān)持“立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的命題指導(dǎo)原則，堅(jiān)持“有利于高校選拔人才、有利于高中數(shù)學(xué)教學(xué)、有利于考生展示才華”的命題方向［5］.一是試題的設(shè)計(jì)緊扣課標(biāo)［1］和教材，回歸課堂、回歸學(xué)科本質(zhì)，突出“簡(jiǎn)潔、基礎(chǔ)、本質(zhì)、創(chuàng)新”的北京卷特色［6］，為中學(xué)生“減負(fù)”創(chuàng)建良好的教育生態(tài)，促進(jìn)新高考與新課程、新課標(biāo)和新教材的協(xié)調(diào)聯(lián)動(dòng)；二是試題的設(shè)計(jì)深入淺出，設(shè)問(wèn)層層遞進(jìn)，形式靈活多元，比如第20題（用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)）通過(guò)三層設(shè)問(wèn)環(huán)環(huán)相扣，又依次遞進(jìn)，對(duì)能力素養(yǎng)要求連續(xù)升級(jí)，通過(guò)“多問(wèn)把關(guān)”“多題把關(guān)”，將難度設(shè)置在對(duì)學(xué)生思維層級(jí)的考查上，對(duì)引導(dǎo)教學(xué)起到了積極作用.北京卷試題共21道，其中基礎(chǔ)題13道共74分，題量約占62%，分值約占49%；中檔題4道共48分，題量約占19%，分值約占32%；較難題4道共28分，題量約占19%，分值約占19%.基礎(chǔ)題較多且絕大部分是“不動(dòng)筆墨、一望而解”的；第20題是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)且該問(wèn)題本質(zhì)上是不含參數(shù)的.筆者認(rèn)為，這些都是正確的導(dǎo)向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)回歸基礎(chǔ)、回歸本原.前些年高考?jí)狠S題多是求不出來(lái)通項(xiàng)公式的遞推數(shù)列問(wèn)題，線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題多是含參數(shù)的“非線(xiàn)性”規(guī)劃問(wèn)題.而后，這兩者均得到了糾正：通常不再把求不出來(lái)通項(xiàng)公式的遞推數(shù)列問(wèn)題作為壓軸題，線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題也只考查不含參數(shù)的簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.這些都是回歸基礎(chǔ)、回歸本原的體現(xiàn)，并且與“高考選拔”不矛盾.

（5）北京卷試題的一大特色是高質(zhì)量“數(shù)學(xué)文化”試題的出現(xiàn).北京卷突出對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用和復(fù)雜情境中問(wèn)題的考查，試題關(guān)注生活，關(guān)注現(xiàn)實(shí)的情景，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活和社會(huì)中的問(wèn)題.比如第9題以坡屋頂為背景，考查五面體中的棱長(zhǎng)之和問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注勞動(dòng)，積極參與社會(huì)實(shí)踐，滲透美育與勞育；第14題以戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的“環(huán)權(quán)”為背景，考查數(shù)列基本知識(shí)，滲透德育教育，厚植愛(ài)國(guó)情懷，增強(qiáng)民族自信；第18題以農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格作為背景，考查統(tǒng)計(jì)學(xué)中預(yù)測(cè)方法應(yīng)用的全過(guò)程，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的結(jié)合，能夠“真懂會(huì)用”，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)民生問(wèn)題，成為有責(zé)任感的公民.

總之，“考查素養(yǎng)、引導(dǎo)教學(xué)”是2023年高考數(shù)學(xué)北京卷的鮮明特色.

2 對(duì)部分試題的分析

2.1 一題多解第3，7［7］，16，19題屬于一題多解的題目，下面以19題為例作闡述.

3 六條建議

（1）第7題的題干“在△ABC中，若（a+c）（sinA－sinC）=b（sinA－sinB），則∠C=”應(yīng)改為“在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若（a+c）（sinA－sinC）=b（sinA－sinB），則C=”.

實(shí)際上，普通高中教科書(shū)《數(shù)學(xué)·必修·第二冊(cè)·A版》（人民教育出版社，2019）（下簡(jiǎn)稱(chēng)《數(shù)學(xué)·必修·第二冊(cè)》）第43-61頁(yè)中有關(guān)解三角形的例題、練習(xí)題、習(xí)題及復(fù)習(xí)參考題也多有這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎?，比如?3頁(yè)第15題開(kāi)頭的敘述“△ABC的三邊分別為a，b，c”應(yīng)改為第54頁(yè)第20題開(kāi)頭的敘述“已知△ABC的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c”，否則，前者的結(jié)論是錯(cuò)誤的.（2）建議把第8題的選項(xiàng)“C.充分必要條件”改為“C.充要條件”.理由是［5］：①普通高中教科書(shū)《數(shù)學(xué)·必修·第一冊(cè)·A版》（人民教育出版社，2019）第20頁(yè)寫(xiě)的是“1.4.2 充要條件”，第21頁(yè)寫(xiě)的是“……我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)為充要條件”；②數(shù)學(xué)的表述應(yīng)當(dāng)遵循簡(jiǎn)潔原則，比如數(shù)“+3”應(yīng)當(dāng)寫(xiě)成數(shù)“3”，代數(shù)式“－1a”“0a”“1a”應(yīng)當(dāng)分別寫(xiě)成“－a”“0”“a”.

（3）第16題中的“四面體P-ABC”應(yīng)改為“四面體PABC”或改為“三棱錐P-ABC”.

實(shí)際上，《數(shù)學(xué)·必修·第二冊(cè)》第170頁(yè)第11題中的“四面體A-BCD”也應(yīng)這樣改動(dòng).

（4）第9題與第16題都是對(duì)二面角的考查，屬于重復(fù)考查，建議將其中之一改為對(duì)“異面直線(xiàn)所成的角”或“斜線(xiàn)與平面所成的角”的考查.（5）文［10］末對(duì)第21題提出了商榷.

（6）較2022年高考數(shù)學(xué)北京卷［5］，2023年高考數(shù)學(xué)北京卷中的基礎(chǔ)題（比如，第1-8，11，12，16，17題）要簡(jiǎn)單太多，而部分創(chuàng)新題（比如，第9，10，15，21題）的難度又增加了不少；作為倒數(shù)第二題（即第20題）用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，較去年的同類(lèi)問(wèn)題也容易了很多.而這作為高考試題的“保持穩(wěn)定”及“有效選拔”，還是有些不妥的.

4 對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)及高考復(fù)習(xí)備考的建議

關(guān)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)及高考復(fù)習(xí)備考，筆者在發(fā)表的文獻(xiàn)［5，13-16］中已闡述了一些有益的建議，下面再?gòu)?qiáng)調(diào)六點(diǎn)：

（1）第一輪復(fù)習(xí)要夯實(shí)基礎(chǔ)，堅(jiān)決丟掉“偏、難、怪”.老師的教學(xué)（包括解題教學(xué)），不可“深一腳淺一腳”，這樣會(huì)導(dǎo)致“學(xué)生很怕數(shù)學(xué)”.

（2）老師復(fù)習(xí)備考要讓學(xué)生感到心里有底，這是高效復(fù)習(xí)和減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的重要途徑之一及必由之路.

比如，對(duì)于試卷第19題，老師要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生揭示其背景，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（3）注重主干知識(shí)、聚焦核心考點(diǎn)、重視高頻考點(diǎn)；適當(dāng)加大運(yùn)算能力的培養(yǎng)，要知道梨子的味道一定要親口嘗一嘗；這道題難不難、會(huì)不會(huì)做，一定要親自動(dòng)筆認(rèn)真做.

（4）關(guān)注北京特色的試題，比如對(duì)三道壓軸題，平時(shí)要有針對(duì)性地訓(xùn)練，即使第21題也不可全然放棄，要做到分分必爭(zhēng)；多關(guān)注新高考劣構(gòu)題、數(shù)學(xué)文化試題、全國(guó)卷中的多選題等，并盡可能地做到學(xué)以致用、欣賞數(shù)學(xué)，還要盡可能地做到見(jiàn)多識(shí)廣，并關(guān)注三道壓軸題的變化，不可“刻舟求劍”.

（5）高中數(shù)學(xué)教學(xué)要永遠(yuǎn)做好四個(gè)關(guān)鍵詞：夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高.考生要盡可能地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課本之外的方法、知識(shí)，比如數(shù)學(xué)歸納法、反證法、同一法、合情推理、極限概念、極端化原理、容斥原理、抽屜原理等等.

（5）高中數(shù)學(xué)教學(xué)要永遠(yuǎn)做好四個(gè)關(guān)鍵詞：夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高［16］.考生要盡可能地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課本之外的方法、知識(shí)，比如數(shù)學(xué)歸納法、反證法、同一法、合情推理、極限概念、極端化原理、容斥原理、抽屜原理等等.

（6）高中基礎(chǔ)年級(jí)（高一、高二）的數(shù)學(xué)教學(xué)務(wù)必重視基本概念的教學(xué)，并且要重視概念的情境引入.老師先匆忙介紹概念再用盲目刷題的“簡(jiǎn)單粗暴概念教學(xué)”可以休矣，因?yàn)檫@樣的教學(xué)，學(xué)生不可能掌握概念的來(lái)龍去脈，除了會(huì)“套題型”的機(jī)械解題之外根本不會(huì)“用理解概念來(lái)解創(chuàng)新題目”.

通過(guò)老師的概念教學(xué)，爭(zhēng)取使學(xué)生達(dá)到“真懂、徹悟”的狀態(tài)；對(duì)數(shù)學(xué)的理論、方法或定理能洞查其直觀背景，并看清楚它是如何從具體特例過(guò)渡到一般（抽象）形式的，要弄明白整個(gè)思路的來(lái)龍去脈.

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作者簡(jiǎn)介 甘志國(guó)（1971—），男，筆名甘喆，湖北竹溪人，研究生學(xué)歷；民進(jìn)會(huì)員，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員，中國(guó)初等數(shù)學(xué)研究會(huì)常務(wù)理事，正高級(jí)教師、特級(jí)教師、湖北名師、政府專(zhuān)項(xiàng)津貼專(zhuān)家；對(duì)高考數(shù)學(xué)試題及重點(diǎn)高校強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題研究較深，鉆研教法與學(xué)法，提倡并關(guān)注學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，總結(jié)提出并踐行“懂、會(huì)、熟、巧、通”五步解題學(xué)習(xí)法，“思、探、練、變、提”五步解題教學(xué)法，“知、懂、熟、用、賞”五種解題境界及高中數(shù)學(xué)教學(xué)的四個(gè)關(guān)鍵詞“夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高”，倡導(dǎo)教師要做明師——明白的教師;出版著作多部，發(fā)表文章多篇.

基金項(xiàng)目 北京市教育學(xué)會(huì)“十三五”教育科研滾動(dòng)立項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)文化與高考研究”（FT2017GD003）.