“微分幾何”課程分層次混合式教學(xué)模式探索

楊云龍

（大連海事大學(xué)理學(xué)院 遼寧 大連 116026）

全面實現(xiàn)以學(xué)生為中心是落實全國高校思想政治工作會議精神和黨的二十大精神的重要舉措，旨在實現(xiàn)三全育人，培養(yǎng)新時代接班人，具有重大的戰(zhàn)略意義。以學(xué)生為中心的教學(xué)是全面貫徹以學(xué)生為中心教育理念的重要方面，也是教師落實三全育人的主要途徑。

微分幾何作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)必修課，是一門高階課程，能將數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、常微分方程等先修課程內(nèi)容進行綜合，對拓寬學(xué)生視野具有重要作用。近五年來，該課程面臨一些挑戰(zhàn)，如學(xué)生在開課前的學(xué)業(yè)績點差距明顯，對先修課程內(nèi)容的掌握程度存在個體差異。為此，本文提出引入分層次教學(xué)方式。傳統(tǒng)的分層次教學(xué)因?qū)W時所限，難以獲得較好的效果，因此可借助混合式教學(xué)的方式來實現(xiàn)?；旌鲜浇虒W(xué)可根據(jù)知識點的難易程度，通過網(wǎng)絡(luò)資源對知識進行模塊化處理，為不同知識層次的學(xué)生提供不同難度和主線的課程內(nèi)容，因材施教，不僅體現(xiàn)課程的高階性，還符合國家教育數(shù)字化戰(zhàn)略。

“以學(xué)生為中心”教育理念最早起源于美國實用主義教育家杜威，我國對這一教育思想的研究始于20 世紀90年代初。2011 年，華中科技大學(xué)校長李培根在《以學(xué)生為中心的教育——一個重要的戰(zhàn)略轉(zhuǎn)變》中明確提出“以學(xué)生為中心”的教育理念，這關(guān)乎大學(xué)的核心理念、精神與文化，也關(guān)乎學(xué)校未來發(fā)展戰(zhàn)略。

盡管對公共基礎(chǔ)課程的混合式教學(xué)已有較多實踐[1-4]，但數(shù)學(xué)類課程，尤其是微分幾何這樣的專業(yè)必修課，其以學(xué)生為中心的混合式教學(xué)研究仍相對較少。因此，探索以學(xué)生為中心的混合式教學(xué)模式，對于達成育人目標并在其他高年級數(shù)學(xué)專業(yè)課程中借鑒是具有重要意義的。

結(jié)合近五年的課前學(xué)生學(xué)業(yè)績點數(shù)據(jù)來看，對數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生進行同等程度的混合式教學(xué)，既不能滿足新時代高層次人才培養(yǎng)的需求，也是一種不結(jié)合具體教學(xué)實際問題的盲目教學(xué)改革。從學(xué)生特點、課程特點和課程所承載的培養(yǎng)目標任務(wù)來看，在有限學(xué)時內(nèi)，既要確保學(xué)生掌握必要的知識，又要了解課程的實際應(yīng)用、拓寬學(xué)生視野，采用以學(xué)生為中心的分層次混合式教學(xué)是一種必然的選擇。

分層次教學(xué)在數(shù)學(xué)線下課程，尤其是高等數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課中，已進行相當(dāng)程度的實踐探索，參見文獻[5-8]。在化學(xué)[9]和計算機[10]等具有實驗要素的學(xué)科中，分層次混合式教學(xué)模式已得到嘗試，但其在數(shù)學(xué)專業(yè)課程的實踐探索中并不常見。因此，針對數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的特點，探索分層次混合式教學(xué)模式是非常有意義的。

1 微分幾何課程改革舉措

在以學(xué)生為中心的教育理念下，本文對大連海事大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的“微分幾何”專業(yè)課進行了課程框架內(nèi)容重塑。新的框架構(gòu)成了多層次多目標的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過“課前—課中—課后”教學(xué)過程的閉環(huán)設(shè)計，融入課程思政內(nèi)容，三位一體地實現(xiàn)全面育人的培養(yǎng)目標。課程內(nèi)容與畢業(yè)設(shè)計有效聯(lián)動，鼓勵學(xué)生在實踐中探索，加深對課程的理解，輔助完成協(xié)同育人中的重要一環(huán)。

在課程內(nèi)容修訂上，以課程自編講義內(nèi)容為藍本，嘗試將教材知識點分成A（基礎(chǔ)）、B（提高）和C（拓展）三個層次，探索與知識點對應(yīng)的課程思政元素，具體實施細節(jié)如下。

1.1 課程內(nèi)容分級

教材中A（基礎(chǔ)）層次知識點包括：內(nèi)積、外積、混合積及其運算性質(zhì)，向量函數(shù)的定義、一元（二元）向量函數(shù)的連續(xù)、極限、導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）及其性質(zhì)，平面曲線的定義、切向量、奇異點、正則點、平面曲線的弧長、曲率和Frenet 公式，空間曲線的定義、切向量、主法向量、副法向量、奇異點、正則點、空間曲線的弧長、曲率和撓率；不同參數(shù)下的Frenet 公式和曲率、撓率求法，平面凸曲線的概念、平面凸曲線的支撐函數(shù)和寬度函數(shù)，曲面的概念及其表示，曲面的第一基本形式、度量矩陣，曲面的第二和第三基本形式、法曲率、Gauss曲率、平均曲率、Euler公式，直紋面、可展曲面，Einstein 和式約定；Gauss 公式和Weingarten 公式，高斯絕妙定理及其應(yīng)用，測地曲率、測地撓率的定義與計算，測地線的定義及測地線方程，Gauss-Bonnet 公式。

教材中B（提高）層次知識點包括：Lagrange 恒等式、Jacobi 恒等式和Binet-Cauchy 恒等式，一元向量函數(shù)的積分及其性質(zhì)，平面曲線的Frenet 公式的應(yīng)用，平面曲線論基本定理、近似曲線、平面曲線的高斯映射幾何意義，平面常曲率曲線的分類，空間曲線的Frenet 公式的應(yīng)用，一般螺線，空間曲線論基本定理，平面曲線的切線極坐標和曲率中心軌跡，曲面的Gauss 映射和Weingarten 映射，可展曲面的特征，Gauss 方程和Codazzi 方程、曲率算子，曲面論基本定理，Liouville 公式，曲面上的半測地坐標網(wǎng)，常高斯曲率曲面分類，Gauss-Bonnet 公式的應(yīng)用。

教材中C（拓展）層次知識點包括：旋轉(zhuǎn)指標定理、四頂點定理，切線的球面標線、球面曲線的刻畫，常曲率和撓率的空間曲線分類，近似曲線、切觸、Fenchel 不等式，用Fourier級數(shù)表示平面凸曲線的幾何量，等周不等式的不同證明方法，反向等周不等式、Chernoff不等式和反向Chernoff不等式，近似曲面、Dupin 指標線、Minkowski 公式、球面的剛性，曲面論基本定理的應(yīng)用。

1.2 思政元素探索

針對不同層次的知識內(nèi)容，確立以培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、樹立科學(xué)精神、抱有家國情懷、欣賞數(shù)學(xué)之美、探索生活實踐、掌握哲學(xué)思辨為導(dǎo)向的課程思政融入方向，具體實例：

①微分幾何以向量函數(shù)微積分為主要工具，探索幾何研究對象的整體性質(zhì)，將“工欲善其事，必先利其器”的名句體現(xiàn)得淋漓盡致，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性和全局意識。

②微分幾何中一個重要研究對象——等周不等式，自古希臘時期開始一直研究至今，經(jīng)過不同時期數(shù)學(xué)家的深入思考，延拓出許多全新的主題，對等周不等式的不斷探索恰恰展現(xiàn)了不屈不撓的科學(xué)精神。

③國際著名微分幾何學(xué)家陳省身先生的幾何成就，激勵了一代又一代中國學(xué)生投身微分幾何學(xué)的研究。陳先生始終心系祖國，通過自身的國際影響，對國內(nèi)數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展起到了不可磨滅的作用。

④微分幾何中的研究對象出現(xiàn)在實際生活中的許多場景中，如飛機和輪船的航線設(shè)計與微分幾何學(xué)中的測地線理論密切相關(guān)，海圖與地圖的制作與可展曲面緊密相連，鳥巢等許多建筑身上都有直紋面的身影。這些微分幾何在生活中的應(yīng)用無不體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。

⑤由活動標架法所引導(dǎo)的黎曼幾何理論與物理學(xué)家探究廣義相對論的工具不謀而合，恰恰體現(xiàn)了哲學(xué)中的事物的統(tǒng)一性原則。

在課程資源拓展方面，結(jié)合自建課程資源內(nèi)容，篩選優(yōu)秀的網(wǎng)絡(luò)內(nèi)容資源，拓展學(xué)生的課后自主學(xué)習(xí)資源，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，具體實施細節(jié)如下。

1.2.1 學(xué)科史引入

介紹微分幾何的簡史，引入國際知名數(shù)學(xué)家丘成桐先生的“數(shù)學(xué)史：近代幾何的歷史”系列通識講座作為拓展資源，為學(xué)生搭建從學(xué)科史的角度去理解概念和定理的產(chǎn)生和發(fā)展過程的平臺，拓寬學(xué)生對微分幾何學(xué)科的認知，使學(xué)生理解和了解數(shù)學(xué)家思考問題的方式和角度，增加學(xué)生投身數(shù)學(xué)事業(yè)的熱情。

1.2.2 競賽試題選講

通過選講歷屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽專業(yè)組中的“微分幾何”試題，幫助學(xué)生厘清不同知識點的內(nèi)在聯(lián)系，從而深入理解課程內(nèi)容，形成運用幾何學(xué)思想解決問題的全局意識和系統(tǒng)性思維方式。

1.2.3 研究性課題探索

增設(shè)與課程內(nèi)容相關(guān)的研究性課題，供學(xué)有余力和對微分幾何有探究熱情的學(xué)生深入思考和拓展練習(xí)，如利用Fourier級數(shù)探究幾何不等式、利用活動標架法考慮球面的剛性問題等。

1.2.4 前沿應(yīng)用推送

精選張偉平院士《從三角形到流形——Atiyah-Singer指標理論簡介》和南京大學(xué)“本科生論壇”中涉及微分幾何課程的相關(guān)通識報告，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野和對微分幾何基本理論的理解。推送與課程內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)公眾號內(nèi)容，使學(xué)生了解微分幾何知識的前沿應(yīng)用，如國內(nèi)知名的數(shù)學(xué)公眾號“老顧談幾何”中介紹微分幾何在計算共形幾何等圖形圖像處理領(lǐng)域中的應(yīng)用。

在課程內(nèi)容與畢業(yè)設(shè)計聯(lián)動方面，依據(jù)課程內(nèi)容給出部分可以作為畢業(yè)設(shè)計的題目，將這些題目作為雨課堂討論區(qū)中的內(nèi)容，供有興趣的同學(xué)預(yù)研。預(yù)研有一定成果的同學(xué)一般都會以本課程的題目作為畢業(yè)設(shè)計選題，這種“從課程中來”到“課程中去”的畢業(yè)設(shè)計題目設(shè)計機制，實現(xiàn)了研究內(nèi)容與學(xué)生的雙向選擇，節(jié)省了畢業(yè)設(shè)計階段學(xué)生對選題的了解時間。實際應(yīng)用到畢業(yè)設(shè)計選題的內(nèi)容包括等周不等式的證明，平面凸曲線的幾何不等式，F(xiàn)ourier級數(shù)在幾何學(xué)中的應(yīng)用，非歐氏空間的曲線與曲面理論，平面曲線流的相關(guān)研究等。

2 建設(shè)情況與實踐效果

兩個學(xué)期的課程建設(shè)完善了“微分幾何”在雨課堂平臺上的課程內(nèi)容搭建，完成雨課堂資源包內(nèi)圖文、視頻類內(nèi)容共計10 章31 個學(xué)習(xí)單元（其中課程視頻資源40 個）及課程思維導(dǎo)圖與配套習(xí)題庫，為學(xué)生提供了不同程度的自主學(xué)習(xí)資源。

經(jīng)過一個學(xué)期的實踐教學(xué)，在不改變平時成績占比且考題難度與考點相同的前提下，以學(xué)生的實際期末考試試卷成績?yōu)闃藴剩?021―2022（2）學(xué)期（改革學(xué)期）與之前的學(xué)生成績數(shù)據(jù)相比，60 分以下的數(shù)量為0，90 分以上優(yōu)秀學(xué)生的數(shù)量提高，平均成績較往年也有提高，詳見圖1?！拔⒎謳缀巍被旌鲜浇虒W(xué)實踐踏出了以學(xué)生為中心的分層次混合式教學(xué)模式在大連海事大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課建設(shè)的第一步，對數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)等其他專業(yè)課程有一定指導(dǎo)意義。

圖1 改革前后學(xué)生成績對比

在課程內(nèi)容與畢業(yè)設(shè)計聯(lián)動方面，本課程的實踐也取得了一定成果，在課程改革周期內(nèi)累計指導(dǎo)與微分幾何課程內(nèi)容相關(guān)的畢業(yè)設(shè)計6 人次，相關(guān)成果已整理完成并投稿2 篇國際學(xué)術(shù)期刊論文，其中1 篇已被《數(shù)學(xué)物理學(xué)報（英文版）》接受待發(fā)表。