孔用楔形截面卡簧力學(xué)分析

黃澤康　宋東陽　呂海辰　趙晨　屠義承　譚穎穎

摘 要：卡簧是機(jī)械部件中常用的軸向緊固件，對軸承、齒輪等零部件軸向運(yùn)動(dòng)提供阻止作用，一方面可以保證機(jī)器設(shè)備工作可靠性并延長各零部件的工作壽命，同時(shí)其可以減少零部件間工作噪音的產(chǎn)生。本文基于材料力學(xué)方法推導(dǎo)出了孔用偏心卡簧受力與變形的理論計(jì)算式子，利用有限元仿真軟件ANSYS-Workbench對卡簧工作狀態(tài)下的徑向力、軸向力進(jìn)行了分析。結(jié)果表明，數(shù)值模擬分析推導(dǎo)結(jié)果與建模分析結(jié)果基本一致，為楔形截面偏心卡簧的設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供了理論參考。

關(guān)鍵詞：孔用卡簧 楔形截面 彈性變形 有限元分析

1 引言

零件軸向定位常用的方法有軸肩、套筒、圓螺母、擋圈、圓錐形軸頭等，卡簧是擋圈中的一種，是常用的軸向定位機(jī)械零件?？ɑ筛鶕?jù)使用場景可分為軸用卡簧與孔用卡簧，或稱為外卡簧與內(nèi)卡簧，按照其內(nèi)外圈是否同心可分為同心型卡簧與偏心型卡簧[1]；卡簧截面也有多種，常見的有矩形截面與楔形截面?？ɑ善木?、截面形狀尺寸等對卡簧的性能都有極大影響，對于標(biāo)準(zhǔn)卡簧不能滿足的工況，必要情況下可對卡簧參數(shù)（外徑、內(nèi)徑、偏心距厚度等）進(jìn)行調(diào)整以滿足特定工況需求。本文對孔用偏心楔形卡簧進(jìn)行力學(xué)分析，推導(dǎo)出卡簧受載時(shí)開口端產(chǎn)生彈性變形與載荷的關(guān)系，并根據(jù)有限元分析，進(jìn)一步驗(yàn)證卡簧計(jì)算的理論模型。

2 卡簧尺寸設(shè)計(jì)理論模型推導(dǎo)

2.1 中性面位置推導(dǎo)

孔用偏心卡簧簡化模型如圖1所示，由于截面無法做到任何角度都同時(shí)與內(nèi)外圓心重合，為方便計(jì)算，取截面與外圓圓心重合，外圓圓心為坐標(biāo)系原點(diǎn)；楔形截面形狀如圖2所示，楔形截面的β角為定值，故截面的梯形部分形狀尺寸固定；由于內(nèi)外圈偏心，所以不同的角度θ對應(yīng)的截面面積不同。

內(nèi)圓的直角坐標(biāo)方程為：

（x-e）2+y2=r2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-1）

將內(nèi)圓的直角坐標(biāo)方程（式1-1）轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程：

ρ=? ? （1-2）

如圖2，取ｙ為自變量，ｘ為因變量：

x=b? ? y∈（ρ，tan（-β）（b-a）+R）? （1-3）

x=+a y∈（tan（-β）（b-a）+R，R）? （1-4）

截面面積Ａ：

A=∫ρtan（-β）（b-a）+Rbdy+∫Rtan（-β）（b-a）+R+ady? ?（1-5）

截面對ｘ軸的靜矩Sx：

Sx=ydA=ydxdy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-6）

矩形部分對ｘ軸的靜矩Sx1：

Sx1=yxdy= yb dy

（1-7）

梯形部分對ｘ軸的靜矩Sx2：

Sx2=y×dy? ?（1-8）

截面對ｘ軸的靜矩Sx：

Sx=Sx1+Sx2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-9）

截面形心到ｘ軸的距離：

=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1-10）

是關(guān)于角度θ的關(guān)系式，可通過繪圖軟件繪制參數(shù)曲線得到與θ的圖像，如圖3所示，繪制出的圖像與圓形高度相似。

2.2 截面慣性矩推導(dǎo)

以上求得圖2截面形心到ｘ軸的距離為

在圖2中，取y=時(shí)為y軸原點(diǎn)，如圖4所示，此時(shí)有：

x=+a? y∈[tan（-β）（b-a）+（R-），R-]

（1-11）

在圖4中，以y=0為截面中性軸，截面對ｘ軸的截面慣性矩Iｘ：

Ix=y2da

矩形部分對ｘ軸的截面慣性矩Iｘ1：

Ix1=xy2dy=

by2dy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-12）

梯形部分對ｘ軸的截面慣性矩Iｘ2：

Ix2=xy2dy=

（+a）×y2dy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-13）

截面對ｘ軸的截面慣性矩Iｘ：

Ix（θ）=Ix1+Ix2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1-14）

2.3 徑向受載與變形分析推導(dǎo)

在生產(chǎn)線裝配過程中，孔用卡簧常用裝配方法為壓裝，即通過套筒進(jìn)行安裝，安裝過程中對孔用卡簧造成變形的載荷為徑向均布載荷；裝配后，對擋圈造成彈性變形的載荷主要為徑向載荷，如圖4所示。

由于卡簧具有對稱特性，取卡簧的一半作為研究對象[2]，卡簧外圈承受均布載荷q（均布載荷q單位為N/mm，在值上等于截面上的壓力與受壓寬度的乘積，若整個(gè)外圈受壓，外圈厚度為a，q=p×a，p為壓力，單位為MPa），在均布載荷作用下，擋圈開口處發(fā)生沿y軸的相對位移為δ1，沿x軸的相對位移為δ2，在截面處有彎矩Mθ、剪力Qθ、軸力Fθ。

由截面法可得截面處彎矩與軸力表達(dá)式：

Mθ=qR2sin（θ-φ）dφ=qR2[1-cos（θ-）]

（1-15）

Fθ=qRsin（θ-φ）dφ=qR[1-cos（θ-）]

（1-16）

截面處的正應(yīng)力由軸力與彎矩作用下產(chǎn)生，故截面處正應(yīng)力σθ為：

σθ=+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1-17）

式（1-17）中：W為抗彎截面系數(shù)，

W=

計(jì)算卡簧開口處位移δ1、δ2可利用材料力學(xué)計(jì)算彎曲變形時(shí)的莫爾定理進(jìn)行計(jì)算，在開口端施加垂直于x軸的單位力F1，垂直于y軸的單位力F2如圖7所示，所對應(yīng)的位移即為沿單位力方向的位移，由單位力在各截面產(chǎn)生的對應(yīng)彎矩為：

M1=R[1-cos（θ-）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1-18）

M2=R（sinθ-sin）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-19）

在卡簧正常工作時(shí)，變形由彎矩、剪力和軸力共同作用下產(chǎn)生，但軸力和剪力對變形的影響很小，為簡化計(jì)算可以忽略不計(jì)，故只考慮彎矩的影響[3]。

δ1=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1-20）

δ2=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1-21）

δ=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1-22）

式中：

E為材料彈性模量；

Ix為截面慣性矩，是關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；

M1為在單位力F1作用下對應(yīng)的彎矩，是關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；

M2為在單位力F2作用下對應(yīng)的彎矩，是關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；

Mθ為在均布載荷q作用下對應(yīng)的彎矩，是關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式。

將式（1-20）、（1-21）積分后可得到卡簧開口端沿y、x方向的位移δ1、δ2，將δ1、δ2合成得到卡簧開口端合位移δ與q的關(guān)系式：

δ=kq? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-23）

式（1-23）中，k為常數(shù)，由式（1-22）化簡后得出，本文是利用MATLAB進(jìn)行計(jì)算得到k值，當(dāng)q=1N/mm時(shí)，在數(shù)值上有δ=k。

式（1-23）中的均布載荷q與卡簧自身徑向彈力F彈的關(guān)系為：

q=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1-24）

2.4 軸向力推導(dǎo)

孔用楔形截面卡簧在工作中受力如圖8所示，當(dāng)卡簧安裝后，卡簧會受到擠壓產(chǎn)生彈性變形，從而自身產(chǎn)生彈力F彈，同時(shí)由于作用力與反作用力還受到對手件對楔形面的正壓力N和底面的軸向力F軸，自身彈力可為裝配體提供一定的預(yù)緊力。

當(dāng)設(shè)備工作運(yùn)行時(shí)，卡簧會受到的載荷越來越大，導(dǎo)致卡簧受力開始運(yùn)動(dòng)變形時(shí)，有：Fr=F彈+F1+F2cosβ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1-25）

式（1-25）中：Fr=Fttanβ=F軸tanβ，F(xiàn)1、F2分別為底面和楔形面受到的摩擦力

F1=F軸1，F(xiàn)2=N2=2=2

故當(dāng)卡簧受力開始運(yùn)動(dòng)變形時(shí)，有：

F軸=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-26）

將式（1-24）代入式（1-26），有：

F軸=? ? ? ? ? ? ? ? （1-27）

在卡簧未產(chǎn)生自鎖的情況下，即1=0，2=0，此時(shí)的F軸為卡簧變形產(chǎn)生的軸向預(yù)緊力。

3 模擬仿真分析與結(jié)果對比分析

本文使用的是ANSYS-Workbench軟件進(jìn)行仿真分析，有限元分析主要有三個(gè)步驟，前處理、求解和后處理，其中前處理（如圖9所示）包括幾何模型的導(dǎo)入、材料屬性定義、網(wǎng)格劃分、負(fù)載和邊界條件定義。

（1）導(dǎo)入幾何模型

在CATIA中繪制好三維模型后保存成ANSYS能夠識別的文件格式，在ANSYS的靜態(tài)結(jié)構(gòu)（Static Structure）導(dǎo)入幾何模型。由于導(dǎo)入的幾何模型表面會產(chǎn)生一些線條，對網(wǎng)格劃分會造成影響，所以在導(dǎo)入幾何模型后在Design Modeler模塊中對幾何模型表面進(jìn)行處理，將模型表面上的不必要的線條進(jìn)行合并處理，對需要進(jìn)行表面劃分的地方進(jìn)行分割。

（2）定義材料屬性

導(dǎo)入幾何模型之后，在工程數(shù)據(jù)（Engineering Data）欄中定義好材料參數(shù)，以備后續(xù)調(diào)用，本文分析的卡簧材料為C75S，材料參數(shù)如表1所示。卡簧賦予C75S材料。

（3）劃分網(wǎng)格

在有限元建模中，網(wǎng)格劃分是一個(gè)非常重要的步驟，它必須同時(shí)兼顧分析和計(jì)算的準(zhǔn)確性，又要考慮計(jì)算時(shí)間成本的問題，在對復(fù)雜模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，網(wǎng)格劃分的工作量比較大。在劃分網(wǎng)格時(shí)，需要參考的四個(gè)基本原則：單元類型、網(wǎng)格數(shù)量、網(wǎng)格疏密、網(wǎng)格質(zhì)量。

3.1 徑向受載模擬仿真及理論分析結(jié)果對比

本文使用CATIA對GB/T 893-2017中的多種規(guī)格卡簧進(jìn)行參數(shù)化建模，并使用ANSYS-Workbench對這多種規(guī)格卡簧進(jìn)行有限元分析，以驗(yàn)證理論方法的正確性。

表2為從GB/T 893-2017中隨機(jī)選擇的14種規(guī)格卡簧的參數(shù)，使用公稱規(guī)格為42mm的卡簧建立簡化三維模型如圖10所示，圖11為前處理模型，所使用的網(wǎng)格類型為四面體網(wǎng)格，約束類型為固定約束A，施加在截面處，載荷類型為圓周方向的均布載荷B，大小為1N/mm，在ANSYS-Workbench中施加壓力為0.74074MPa。圖12為有限元分析求解總變形結(jié)果云圖，圖13為有限元分析求解等效應(yīng)力結(jié)果云圖，表3為有限元分析結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果，圖14、圖15為理論計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果曲線圖，結(jié)果表明理論計(jì)算的變形結(jié)果、應(yīng)力結(jié)果與有限元計(jì)算變形結(jié)果、應(yīng)力結(jié)果基本一致，其中由于施加的均布載荷q=1N/mm，理論計(jì)算變形結(jié)果在值上與式1-23中的k相等。

3.2 軸向力模擬仿真及理論分析結(jié)果對比

式1-27為軸向力F軸與變形δ的關(guān)系，圖16為用ANSYS-Workbench對卡簧軸向受載創(chuàng)建的有限元模型，對模型劃分好網(wǎng)格之后進(jìn)行邊界條件的施加，底座施加固定約束，卡簧和底座之間定義為無摩擦接觸，卡簧和壓塊之間定義為無摩擦接觸，在壓塊上表面施加軸向0.4mm位移，由表3可知對于公稱規(guī)格為42mm的卡簧的k=0.645453，表4為公稱規(guī)格為42mm的卡簧的相同變形時(shí)的有限元與理論計(jì)算軸向力結(jié)果，圖18為總變形與軸向力對應(yīng)關(guān)系曲線圖，結(jié)果表明，有限元仿真分析與理論計(jì)算的結(jié)果偏差不大。

4 結(jié)論

本文建立了孔用楔形截面卡簧的數(shù)學(xué)模型，通過材料力學(xué)方法推導(dǎo)出孔用偏心卡簧的受力與變形的關(guān)系式，得出徑向受載與變形的關(guān)系，并得出卡簧徑向載荷與變形的比例系數(shù)k，進(jìn)而得到變形與軸向力的關(guān)系式。

通過有限元分析法與理論計(jì)算對多種規(guī)格卡簧進(jìn)行對比，結(jié)果表明在相同的徑向均布載荷條件下，理論計(jì)算變形結(jié)果的偏差在±5%之內(nèi)，在相同變形條件下，理論計(jì)算軸向力結(jié)果的偏差在±10%之內(nèi)，可為卡簧提供軸向力設(shè)計(jì)分析提供參考[4]。

基于以上方法論，可結(jié)合卡簧使用工況及外界受力對卡簧設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，以滿足相關(guān)工況需求，為卡簧及其對手件設(shè)計(jì)提供了行之有效的方法論支持及實(shí)踐指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)：

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