突出“兩個(gè)過(guò)程” 突破關(guān)鍵能力
——以“一類(lèi)曲線的切線問(wèn)題復(fù)習(xí)探究”為例

林 威, 姚佩峰

(1.余杭高級(jí)中學(xué),浙江 杭州 311100;2.瓶窯中學(xué),浙江 杭州 311115)

1 問(wèn)題緣起

通過(guò)對(duì)近幾年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷的分析,筆者發(fā)現(xiàn)過(guò)定(動(dòng))點(diǎn)向曲線作切線這一類(lèi)題目經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題和填空題中.曲線涉及的類(lèi)型有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)、三次函數(shù)等,涉及的圓錐曲線有橢圓、雙曲線、拋物線,涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,解題方法靈活多變,充分考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).本節(jié)課以“一類(lèi)曲線的切線問(wèn)題復(fù)習(xí)探究”為例,突出兩種方法(設(shè)切點(diǎn)解方程和數(shù)形結(jié)合找區(qū)域),重點(diǎn)探究過(guò)不同區(qū)域的點(diǎn)是否可以作曲線的切線以及可以作多少條切線的問(wèn)題,為學(xué)生解答類(lèi)似問(wèn)題提供一個(gè)新的視角.

2 教學(xué)方法的選擇

本節(jié)課以問(wèn)題鏈探究的方式:從問(wèn)題1開(kāi)始,設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題(問(wèn)題2～9)引發(fā)學(xué)生探究,用代數(shù)方法和信息技術(shù)手段進(jìn)行雙重驗(yàn)證,然后類(lèi)比遷移到一般情況下結(jié)論是否成立,再拓展研究其他曲線的情況.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅要讓數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程合理,也要讓學(xué)生在參與學(xué)習(xí)過(guò)程中認(rèn)知的過(guò)程、思維的過(guò)程合理[1](以下統(tǒng)稱“兩個(gè)過(guò)程”)是本節(jié)課設(shè)計(jì)的關(guān)鍵.筆者通過(guò)使用信息技術(shù),讓學(xué)生直觀感受過(guò)定點(diǎn)作雙曲線切線的動(dòng)態(tài)變化,將數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程充分地暴露在學(xué)生面前,吸引學(xué)生積極參與知識(shí)的再創(chuàng)造和發(fā)展的過(guò)程[2],在問(wèn)題解決的過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生的關(guān)鍵能力.

3 課堂實(shí)錄

3.1 問(wèn)題引入

問(wèn)題1已知雙曲線x2-y2=4,過(guò)點(diǎn)(-1,0)可以作雙曲線______條切線.

分析運(yùn)用方程的思想,根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,學(xué)生列式求解,得到結(jié)果.這類(lèi)求解是學(xué)生最熟悉的.

設(shè)切線方程為y=k(x+1),聯(lián)立

得

(1-k2)x2-2k2x-k2-4=0.

當(dāng)1-k2=0時(shí),k=±1,顯然所得直線不是雙曲線的切線,故k≠±1.由Δ=0,得

(-2k2)2+4(1-k2)(k2+4)=0,

整理得

從而

因此過(guò)(-1,0)可以向雙曲線左支作兩條切線(如圖1).

圖1

在課堂的實(shí)際教學(xué)中,學(xué)生解方程過(guò)程中往往會(huì)忽視二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況,要驗(yàn)證當(dāng)k=±1時(shí)的直線是否為雙曲線的切線.

設(shè)計(jì)意圖從特殊到一般,從熟悉到未知,從學(xué)生知識(shí)和方法的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),求過(guò)特殊點(diǎn)作雙曲線的切線,讓學(xué)生溫習(xí)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的代數(shù)求解方法,讓學(xué)生從已知的知識(shí)結(jié)構(gòu)入手,激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和探究新知識(shí)的欲望,為進(jìn)一步研究在平面直角坐標(biāo)系中不同區(qū)域的點(diǎn)作雙曲線的切線提供認(rèn)知和學(xué)習(xí)心理,讓求知和探索自然而然地發(fā)生.

分析這個(gè)問(wèn)題僅僅是把問(wèn)題1中的點(diǎn)(-1,0)改為(-1,1),學(xué)生很容易列式求解.

設(shè)切線方程為y-1=k(x+1),聯(lián)立

得

(1-k2)x2-2k(k+1)x-(k+1)2-4=0.

當(dāng)1-k2=0時(shí),k=±1,顯然所得直線不是雙曲線的切線,故k≠±1.由Δ=0,得

[-2k(k+1)]2+4(1-k2)[(k+1)2+4]=0,

整理得 3k2-2k-5=0,

圖2

追問(wèn)1若點(diǎn)為直角平面上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)可以向該雙曲線作幾條切線呢?

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題2是問(wèn)題1的一個(gè)變式,讓學(xué)生思考點(diǎn)的位置變化對(duì)代數(shù)方程的求解產(chǎn)生的影響.方程的系數(shù)為0引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突,通過(guò)數(shù)形兩個(gè)角度進(jìn)行操作確認(rèn),直觀感知下的操作確認(rèn)通過(guò)GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示,驗(yàn)證猜想,把抽象內(nèi)容可視化、靜態(tài)內(nèi)容動(dòng)態(tài)化,真實(shí)地展示學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)生和發(fā)展過(guò)程.有思維沖突才有進(jìn)一步深入思考的可能,從而培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng),為學(xué)生進(jìn)一步探究提供了知識(shí)、認(rèn)知和思維的準(zhǔn)備.

3.2 從特殊到一般

如圖3,漸近線和雙曲線將直角坐標(biāo)平面分成多個(gè)區(qū)域.學(xué)生給出以下猜想:

圖3

1)當(dāng)點(diǎn)在區(qū)域Ⅰ內(nèi)時(shí),通過(guò)點(diǎn)可以向雙曲線左支作兩條切線;

2)當(dāng)點(diǎn)在區(qū)域Ⅲ內(nèi)時(shí),通過(guò)點(diǎn)可以向雙曲線右支作兩條切線;

3)當(dāng)點(diǎn)在區(qū)域Ⅱ,Ⅳ內(nèi)時(shí),通過(guò)點(diǎn)可以向雙曲線左右兩支各作一條切線;

4)當(dāng)點(diǎn)在漸近線上時(shí)(除原點(diǎn)),通過(guò)點(diǎn)可以向雙曲線相近的一支作一條切線;

5)當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),無(wú)法向雙曲線作切線.

給學(xué)生充分的時(shí)間思考、討論、計(jì)算,最后教師給出答案(過(guò)程略).

評(píng)注學(xué)生在理解運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上提出運(yùn)算問(wèn)題,探究運(yùn)算思路,選擇運(yùn)算方法,進(jìn)而求得運(yùn)算結(jié)果.不過(guò)這里的運(yùn)算量比較大,分類(lèi)討論和代數(shù)式的化簡(jiǎn)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都是挑戰(zhàn),有些學(xué)生遇到代數(shù)式的化簡(jiǎn)就會(huì)“繳械投降”,此時(shí)教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)算下去,敢于“硬碰硬”,這樣有助于學(xué)生運(yùn)算能力的提升.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生在問(wèn)題鏈的指引下,由特殊到一般,思維層層遞進(jìn);從代數(shù)方法到幾何直觀,在研究“切線條數(shù)”這個(gè)問(wèn)題上認(rèn)識(shí)到幾何直觀的優(yōu)越性;通過(guò)幾何直觀總結(jié)規(guī)律,運(yùn)用代數(shù)方法小心求證,對(duì)問(wèn)題的理解會(huì)更加深刻.在問(wèn)題求解的過(guò)程中提升了數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).通過(guò)對(duì)這個(gè)猜想的證明,學(xué)生從之前的幾何作圖的操作階段進(jìn)入到代數(shù)運(yùn)算的邏輯推理階段,證明的過(guò)程讓學(xué)生體會(huì)了合理建立解析幾何數(shù)形對(duì)應(yīng)的必要性,整個(gè)證明過(guò)程讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維再一次得到發(fā)生和發(fā)展.

方法1設(shè)切線方程為y-2=k(x-2),聯(lián)立

得

(a2-k2)x2+4k(k-1)x-4(k-1)2-a2=0.

當(dāng)a2-k2=0時(shí),k=±a,所得直線不是雙曲線的切線,故k≠±a.由Δ=0,得

16k2(k-1)2+4(a2-k2)[4(k-1)2+a2]=0,

整理得

3k2-8k+4+a2=0.

過(guò)點(diǎn)(2,2)能作該雙曲線的兩條切線,則

Δ1=64-12(4+a2)>0,

從而

評(píng)注利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,聯(lián)立方程求解,思維簡(jiǎn)單,符合學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn).但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)計(jì)算量較大.

方法2(作圖象找區(qū)域)由上述結(jié)論可得點(diǎn)(2,2)在雙曲線外部,且不在雙曲線的漸近線上,從而

得

故

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生比較兩種運(yùn)算方法,鞏固探究成果.

3.3 拓展探究:從雙曲線到其他曲線

3.3.1 以飄帶函數(shù)為載體

( )

(2023年浙江省杭州市一模數(shù)學(xué)試題第8題)

答案:B.

3.3.2 以指數(shù)函數(shù)為載體

問(wèn)題6若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則

( )

A.eb

C.0

答案:D.

3.3.3 以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體

問(wèn)題7若直線y=ax-1(其中a>0)與曲線f(x)=ln(x+b)相切,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)_____.

3.3.4 以三次函數(shù)為載體

問(wèn)題8已知a>0,若過(guò)點(diǎn)P(a,b)可作曲線y=x3的3條切線,則

( )

A.b<0 B.0

C.b>a3D.b(b-a3)=0

答案:B.

3.3.5 以其他含有拐點(diǎn)切線的函數(shù)為載體

問(wèn)題9已知函數(shù)f(x)=ex-1+lnx,則過(guò)點(diǎn)(a,b)恰能作曲線y=f(x)的兩條切線的充分條件可以是

( )

A.b=2a-1>1 B.b=f(a)

C.2a-1

答案:AD.

評(píng)注以這5類(lèi)函數(shù)為載體的研究切線條數(shù)的問(wèn)題都可以通過(guò)作圖象找區(qū)域解決,關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)影響區(qū)域劃分的漸近線、拐點(diǎn)處的切線等,比設(shè)切點(diǎn)解方程要簡(jiǎn)潔明快.

4 反思與感悟

本節(jié)課是一節(jié)微專(zhuān)題復(fù)習(xí)拓展課.大多數(shù)教師喜歡直接給出結(jié)論,然后讓學(xué)生利用結(jié)論訓(xùn)練自己的解題能力.但筆者認(rèn)為從學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展來(lái)看,探究結(jié)論形成的過(guò)程,挖掘結(jié)論證明的價(jià)值,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力是對(duì)學(xué)生未來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種投資.

在結(jié)論形成的過(guò)程中,充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用,通過(guò)幾何直觀的建立,讓學(xué)生感受解析幾何的數(shù)形對(duì)應(yīng).以數(shù)學(xué)的方式循序漸進(jìn),充分暴露數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程,讓學(xué)生從已有的知識(shí)與方法體系出發(fā)通過(guò)再創(chuàng)造和發(fā)展不斷完善與提升,構(gòu)建更完整的知識(shí)與思想方法體系.在問(wèn)題解決的過(guò)程中,自然而然地用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

在結(jié)論驗(yàn)證過(guò)程中,重視學(xué)生代數(shù)運(yùn)算能力的培養(yǎng),從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā),鼓勵(lì)學(xué)生有“硬算”的勇氣,看似最笨的辦法實(shí)則是我們解決問(wèn)題最大的依賴.在硬算的基礎(chǔ)上多角度尋求運(yùn)算的優(yōu)化,代數(shù)運(yùn)算的分類(lèi)討論以及邏輯推理的過(guò)程使學(xué)生更規(guī)范地思考問(wèn)題、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟鉀Q問(wèn)題、更深刻地感悟問(wèn)題的本質(zhì),培養(yǎng)了學(xué)生良好的思維品質(zhì)和科學(xué)精神,從而使學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)得到進(jìn)一步的發(fā)展.

4.1 培養(yǎng)直觀想象能力

數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合的思想是高中數(shù)學(xué)很重要的一種思想方法,借助幾何直觀感知所研究問(wèn)題的形態(tài)與變化,利用幾何圖形描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立代數(shù)與幾何圖形的內(nèi)在聯(lián)系[3],構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的直觀模型,漸近線、拐點(diǎn)切線、曲線是劃分區(qū)域的關(guān)鍵,可以助力問(wèn)題求解.

4.2 微專(zhuān)題的復(fù)習(xí)課建議

習(xí)題課是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一個(gè)重要的課型.習(xí)題課的教學(xué)需要“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”,試題的選擇要“源于教材,高于教材,題在書(shū)外,根在書(shū)內(nèi)”,要設(shè)計(jì)具備典型思想和方法的問(wèn)題鏈.好的問(wèn)題與變式應(yīng)該是基于情境、思想豐富、知識(shí)完備、思維深刻,以數(shù)學(xué)思維為核心,從學(xué)生的學(xué)情出發(fā),符合學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)、能力基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律.好的數(shù)學(xué)問(wèn)題與變式能讓“兩個(gè)過(guò)程”更到位,學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)課堂,想著更多的問(wèn)題出課堂,思維能力在感悟問(wèn)題本質(zhì)中升華,解題后意猶未盡,回味無(wú)窮.

4.3 問(wèn)題鏈探究設(shè)計(jì)的思考

問(wèn)題鏈教學(xué)要以學(xué)生為中心,從基礎(chǔ)題和教材原題入手,兼顧每一名學(xué)生的認(rèn)知水平,讓每一名學(xué)生都能有所寫(xiě)、有所想、有所思.問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)并非隨意拼湊、雜亂無(wú)序,而是一個(gè)將問(wèn)題合理設(shè)計(jì)安排、環(huán)環(huán)相扣的過(guò)程.探尋試題的“源”與“流”是問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)的基本前提,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)是問(wèn)題鏈教學(xué)的核心目標(biāo),揭示問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是問(wèn)題鏈教學(xué)的頂層追求.通過(guò)問(wèn)題鏈逐步將學(xué)生的思維引向深入,從低階思維向高階思維不斷發(fā)展,促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí),為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)(如直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).