再議必要性探路策略 探索知識的“源”與“流”
——從一道數(shù)學(xué)高考試題談起

蔡南好, 陳飛伶

(余杭第一中學(xué),浙江 杭州 311100)

必要性探路是解決含參數(shù)問題的一種重要策略,也是解決含參復(fù)雜問題的一個有效手段.因為它可以把恒成立、含參問題、函數(shù)的性質(zhì)等綜合起來,能很好地考查學(xué)生對問題的認(rèn)知水平和解決問題的能力,所以它在高考中經(jīng)常被應(yīng)用.

1 試題初探

此題是2023年全國數(shù)學(xué)高考甲卷理科第21題的第2)小題,分析如下:

由g(0)=0,知必有g(shù)′(0)=a-3≤0,即

a≤3.

又g(x)關(guān)于a單調(diào)遞增,故只要當(dāng)a=3時成立即可.

當(dāng)a=3時,

則

cosx∈(0,1),

從而g′(x)<0恒成立,即g(x)單調(diào)遞減,于是g(x)

從分析過程可以發(fā)現(xiàn),這是典型的可以用必要性探路的問題,滿足了必要性探路的所有特征:有一個臨界值點、關(guān)于參數(shù)是單調(diào)性的、參數(shù)常數(shù)化后容易判定單調(diào)性等.這一策略在全國數(shù)學(xué)高考試題中常被應(yīng)用,如2017年全國新課標(biāo)Ⅱ卷(文科)第21題、2016年全國新課標(biāo)Ⅱ卷(文科)第20題、2010年新課標(biāo)(理科)第21題、2017年新課標(biāo)Ⅲ卷(理科)第21題、2020年全國新課標(biāo)Ⅰ卷(理科)第22題等,此外還有其他一些省份的高考題,也有相同的特征、相同的方法、相同的策略.

2 再品經(jīng)典

(2020年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)Ⅰ卷理科第22題)

g′(0)≥0.

g′(0)=0,

從而

g″(0)≥0.

又g″(x)=ex-3x+2a,則

g″(0)=1+2a,

得

但最終發(fā)現(xiàn):此時所得到的范圍與最終的范圍不一致,那么問題出在哪里呢?

利用必要性先行得到的參數(shù)范圍與答案的范圍是一致的.而例2具有同樣的特征、思路、策略,為什么結(jié)果不一樣呢?筆者帶著疑問,發(fā)現(xiàn)了問題所在:必要性探路的取值非常關(guān)鍵,即取什么值?為什么這樣取值?如何想到這樣的取值?

由以上的處理知直接取值不可行,不妨換一個角度看待問題,即“不等式問題→函數(shù)問題→函數(shù)圖象問題”.

帶著這樣的分析與發(fā)現(xiàn),筆者嘗試解決問題.

即

從而

即

解得x0=2,則原不等式為

即

e2+4a-2≥5,

得

亦即證

構(gòu)造函數(shù)h(x)=[2x3-(7-e2)x2+4x+4]e-x,則

h′(x)=[-2x3+(13-e2)x2+(2e2-18)x]e-x

=-x(2x+e2-9)(x-2)e-x,

h(x)max=max(h(0),h(2)).

又

h(0)=4e-0=4,

從而

h(x)max=4,

我們也發(fā)現(xiàn)這個求解過程有點煩瑣,特別是得到切點不太簡單,如何改進(jìn)呢?

從而

即

解得x0=2.下同方法1(略).

此時我們發(fā)現(xiàn),對于直線的構(gòu)造方式稍作改進(jìn)就能帶來很大的簡便.本著一探究竟的態(tài)度,筆者深究到底.

又

則

即

解得x0=2.下同方法1(略).

方法3在求解過程中是最簡單的、最直接的、最快速的.通過對比上述3種方法,我們發(fā)現(xiàn):這類問題在求切點時應(yīng)盡量讓直線的斜率確定,同時曲線不含有參數(shù),這樣利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到的方程是最簡潔的,求解就是最簡單的.

通過探究,還要讓學(xué)生明白:直線是二元一次方程的形式,滿足這種形式才是直線方程,這也是上述不等式等價轉(zhuǎn)化的原因.因此,這個過程并不突兀,不是無中生有的,而是水到渠成、自然而然的轉(zhuǎn)化結(jié)果.

3 教研相長

“教而不研則淺”,這告訴我們應(yīng)該去研究問題,為未知而研,為通法而研,為高效而研,為本質(zhì)而研.

通過以上高考題的分析可以發(fā)現(xiàn),在特殊值的取值上有這樣的特征:1)可以是區(qū)間的端點值,如2017年全國新課標(biāo)Ⅱ卷(文科)第21題、2016年全國新課標(biāo)Ⅱ卷(文科)第20題、2010年新課標(biāo)(理科)第21題;2)可以是兩個函數(shù)的切點的橫坐標(biāo),如2020年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第22題;3)可以是函數(shù)的極值點,如2017年新課標(biāo)Ⅲ卷(理科)第21題.綜觀這3類值也正好是函數(shù)圖象變化的關(guān)鍵位置、關(guān)鍵點.

學(xué)生對于壓軸題往往會感到束手無策,對于平時模擬題中學(xué)到的一些解題策略,在高考中會力不從心.反思教與學(xué),是教師沒把問題的本質(zhì)講解清楚,沒有弄清楚問題背后所蘊涵的思想方法,也就是我們常說的“源”與“流”,直接導(dǎo)致了學(xué)生的思維還處于低層次的認(rèn)知,缺乏高階思考和深度學(xué)習(xí).因此,教師在精選例題的同時,要剖析問題的本質(zhì),分析思維的起點,再總結(jié)思維的落腳點,還原問題的“源”與“流”,從而培養(yǎng)學(xué)生的高階思維,落實核心素養(yǎng).

研究題目,絕不僅僅是簡單的解題,更關(guān)鍵的是要研究解題思想方法的來源,多問為什么是這樣?如何才能想到是這樣的?還有其他的更優(yōu)策略嗎?做到“知其然,知其所以然”.要研究題目背后的命題思路,命題專家是怎么命制這樣一道題目的?還可以換種方式出題嗎?我們還能如何進(jìn)行改編呢?通過一系列的問題揭示題目的真正本質(zhì),做到舉一反三、融會貫通.