半畝方塘一鑒開 多維視角共徘徊
——2023年全國數(shù)學高考乙卷理科第20題的解法探究與拓展

陳熙春, 李小剛

(六盤山高級中學,寧夏 銀川 750002)

圓錐曲線中的定點、定值問題一直是高考中值得關注的問題.由于其形式多變,方法靈活,成了近幾年高考的熱點與難點之一.本文以2023年全國數(shù)學高考乙卷理科第20題的第2)小題為例,多角度探究求解,以期促進學生系統(tǒng)掌握解題方法,培養(yǎng)理性思維,并全面提升解題能力.

1 真題呈現(xiàn)

1)求C的方程;

2)過點(-2,3)的直線交C于點P,Q,直線AP,AQ與y軸的交點分別為點M,N,證明:線段MN的中點為定點.

(2023年全國數(shù)學高考乙卷理科試題第20題)

此題以橢圓為載體,背景是高等幾何中的極點極線模型.以極點極線為背景的問題一直是高考中的“常青樹”.試題新穎別致,立意高遠而厚重,構(gòu)思獨具匠心,突出關鍵能力考查,素養(yǎng)要求高,重視考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng),體現(xiàn)了高考試題從能力立意到素養(yǎng)導向的功能.此題解法十分靈活,解題入口寬,深入難,區(qū)分度較高,凸顯了高考試題的選拔性,是一道有豐厚內(nèi)涵的經(jīng)典試題[1].

2 多維視角,解法探究

思維視角1聯(lián)立方程,設而不求.

解法1(普通方程法)

由題意可知直線PQ的斜率存在.設P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ:y=k(x+2)+3.聯(lián)立方程

消去y,得

(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0.

由Δ>0,解得k<0,可得

故線段MN的中點是定點(0,3).

解法2(整體代換法)

設P(x1,y1),Q(x2,y2),B(-2,3),M(0,yM),N(0,yN),PQ:y=k(x+2)+3.聯(lián)立方程

消去y,得

(4k2+9)(x+2)2+(24k-36)(x+2)+36=0.

由根與系數(shù)的關系可得

因為A(-2,0),所以直線

故線段MN的中點是定點(0,3).

評注利用整體的思想,構(gòu)造出關于x+2的一元二次方程,得到斜率間的等量關系,把x+2看成整體以后,比解法1要簡潔,運算量大大簡化.這種整體代換的思想是處理解析幾何煩瑣運算的一種有效策略.

思維視角2構(gòu)造齊次式.

解法3(構(gòu)造和齊次化法)

9[(x+2)-2]2+4y2=36,

即

9(x+2)2-36(x+2)+4y2=0.

齊次化,得

9(x+2)2-36(x+2)[m(x+2)+ny]+4y2=0,

化簡得

4y2-36ny(x+2)+(9-36m)(x+2)2=0.

等式兩邊同除以(x+2)2,構(gòu)造斜率式,得

由根與系數(shù)的關系得kAQ+kAP=3.

由A(-2,0)可設直線AP的方程為

y=kAP(x+2).

令x=0,得

yM=2kAP,

同理可得

yN=2kAQ.

因此,線段MN的中點的縱坐標為

故線段MN的中點是定點(0,3).

解法4(平移變換和齊次化法)

將坐標系向左平移兩個單位,即點A(-2,0)平移至原點A′(0,0),此時定點B(-2,3)變?yōu)锽′(0,3).此時橢圓方程為

變形得 4y2+9x2-36x=0.

(1)

設平移后直線PQ的方程為mx+ny=1,且過點B′(0,3),從而

把直線PQ的方程mx+ny=1代入式(1),得

4y2+9x2-36x(mx+ny)=0,

整理得

4y2-36nxy+(9-36m)x2=0.

等式兩邊同除以x2,構(gòu)造斜率式,得

由根與系數(shù)的關系,得

kA′Q+kA′P=3,

由A′(0,0)可設直線A′P的方程為

y=kA′Px.

令x=2,得

yM=2kA′P.

同理可得

yN=2kA′Q.

因此,線段MN的中點的縱坐標為

故線段MN的中點是定點(0,3).

評注采用構(gòu)造齊次化運算主要解決直線與圓錐曲線中斜率之和或斜率之積為定值的問題．這個定的問題最后轉(zhuǎn)化成了斜率之和或斜率之積為定值的證明.齊次化運算比傳統(tǒng)的設而不求極大地簡化了計算量,其核心就是先構(gòu)造斜率的二次方程,再利用根與系數(shù)的關系求解.

思維視角3點差法.

解法5(點差法和三點共線)

即

同理可得

兩式相減,得

(2)

又知點B,P,Q共線可得

變形可得

即

k1+k2=3,

故線段MN的中點是定點(0,3).

評注利用“點差法”,通過設點、代點、作差構(gòu)造出kAP,kAQ的表達式,便可輕松解決.

解法6(點差法和斜率雙用)

設點B(-2,3),P(x1,y1),Q(x2,y2),直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,易得MN的中點坐標為(0,k1+k2).由

兩式相減,得

同理可得

不妨設k1+k2=m,則

化簡可得

4y1y2-9x1x2+18x1-18x2+36=4my2x1+8my2,

同理可得

4y1y2-9x1x2+18x2-18x1+36=4my1x2+8my1,

兩式相減,得

9(x1-x2)=m(y2x1-y1x2)+2m(y2-y1).

(3)

又由點B,P,Q共線,得

化簡可得

9(x1-x2)=3(y2x1-y1x2)+6(y2-y1),

(4)

將式(3)與式(4)對比,可得m=3,故線段MN的中點是定點(0,3).

評注此題為“斜率和”問題.在解題中涉及斜率和的問題時的解題規(guī)律:寫出原式→交叉使用→化整作差→對照兩點式.這種方法同樣可以解決“斜率積”問題.

思維視角4借梯登高思維.

解法7(參數(shù)方程法)

設直線PQ的參數(shù)方程為

(4+5cos2α)t2+12(2sinα-3cosα)t+36=0.

設P,Q對應的參數(shù)分別為t1,t2,則

又P(-2+t1cosα,3+t1sinα),Q(-2+t2cosα,3+t2sinα),直線AP的方程為

令x=0,得

同理可得

因此線段MN的中點的縱坐標為

故線段MN的中點是定點(0,3).

評注充分利用直線分別與橢圓相交這一幾何條件,利用參數(shù)方程實現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化,體現(xiàn)了解析幾何的基本思想——數(shù)形結(jié)合,有效地減少了運算量.應用參數(shù)方程法是破解此類問題的一種有效策略.

解法8(三角代換法)

于是設橢圓的參數(shù)方程為

設B(-2,3),點P,Q對應的參數(shù)分別為t1,t2,由點B,P,Q共線,得

化簡得

t1+t2=2.

又

同理可得

從而

由A(-2,0)可設直線AP的方程為

y=kAP(x+2).

令x=0,得

yM=2kAP,

同理可得

yN=2kAQ.

因此線段MN的中點的縱坐標為

故線段MN的中點是定點(0,3).

評注引入橢圓的參數(shù)方程,巧妙地實現(xiàn)了幾何問題與三角函數(shù)的精彩聯(lián)袂,使解題方向更加清晰明了.

解法9(定比插參法)

設點B(-2,3),P(x1,y1),Q(x2,y2),直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,易得MN的中點坐標為(0,k1+k2).因為點B,P,Q共線,所以

即

故線段MN的中點是定點(0,3).

評注解決此題的難點在于如何“設參”,焦點在于如何“用參”,重點在于如何“消參”.“設參—用參—消參”是解圓錐曲線問題的基本方法.因此定值問題的解題思路是:1)設參數(shù);2)用參數(shù)來表示要求定值的式子;3)消參數(shù).

思維視角5利用曲線系方程.

解法10(曲線系法)

設直線AP:x=m1y-2,AQ:x=m2y-2,PQ:y=kx+b,設直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,易得MN的中點坐標為(0,k1+k2).由直線PQ過點(-2,3),知3=b-2k.又點P,Q在橢圓上,故可設過點A,P,Q的橢圓方程為

(x-m1y+2)(x-m2y+2)+λ(x+2)(y-kx-b)=0,

變形可得

(1-kλ)x2+m1m2y2+(λ-m1-m2)xy+2(λ-m1-m2)y+(4-bλ-2kλ)x+4-2bλ=0.

與橢圓C:9x2+4y2=36比較系數(shù),得

評注一般地,高考中出現(xiàn)的二次曲線為兩對直線與一圓錐曲線組成的體系,通過添加系數(shù),可以用其中的任意兩個元素來表示第三個元素,從而建立等式,列出方程求解.利用曲線系方程,實際上把計算難度轉(zhuǎn)移到直線方程系數(shù)的比較上,調(diào)整兩個多項式恒等,其對應系數(shù)相等.

思維視角6同構(gòu)法.

解法11設直線AP:x=m1y-2,AQ:x=m2y-2,PQ:x=m0y+n,則聯(lián)立直線AP,PQ,可得

代入橢圓方程,得

同理可得

從而m1,m2為方程

(9n2-36)m2+(72m0+36m0n)m+4(2+n)2=0

(5)

的兩個根.

由直線PQ過點(-2,3),得

n=-2-3m0,

代入式(5),得

設直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,從而MN的中點坐標為(0,k1+k2),于是

故MN的中點是定點(0,3).

評注同構(gòu)是一種常見的思想方法,是映襯著數(shù)學的對稱和諧之美的數(shù)學方法,是“同理可得”的理論基礎,是函數(shù)與方程思想的代名詞與具體體現(xiàn).在解題中靈活利用同構(gòu)式,可以起到化繁為簡、“四兩撥千斤”的作用.

(4k2+9)x2+16k2x+16k2-36=0.

當Δ>0時,由根與系數(shù)的關系,得

又xA=-2,從而

設直線PQ:y=m(x+2)+3,將點P的坐標代入,化簡得

12k2-36k+36m+27=0.

同理可設直線AQ的斜率為k1,得

因此,k,k1是二次方程12x2-36x+36m+27=0的兩個根,故k+k1=3.下同解法3(略).

評注利用同構(gòu)思想解題相當于尋找斜率滿足的二次方程,可以取得事半功倍的效果．在此題中方程有一個根是-2,利用根與系數(shù)的關系求出另一個根,可以減少計算量.

思維視角7營造對稱,方便計算.

解法13(對偶式法)

設點B(-2,3),P(x1-2,y1),Q(x2-2,y2),因為點B,P,Q共線,所以

變形,得

y1x2-y2x1=3(x2-x1).

構(gòu)造對偶式

因為直線AP的方程為

令x=0,得

同理可得

因此,線段MN的中點的縱坐標為

故線段MN的中點是定點(0,3).

評注構(gòu)造對偶式重在“構(gòu)造”,在運用時要對已知等式進行整體觀察,利用代數(shù)式的對稱性,設法構(gòu)造有利于計算的代數(shù)式,簡捷獲解.對偶式主要是用于化簡、轉(zhuǎn)化定點、定直線的坐標表示,構(gòu)造對偶式法在解題中具有廣泛性、靈活性和簡潔性的優(yōu)勢.

思維視角8高等數(shù)學視角.

解法14(調(diào)和點列法)

圖1

2)調(diào)和線束的性質(zhì):若直線l∥MP,且與其他3條線分別交于點C,D,E,則D為CE的中點.

評注近年來,許多數(shù)學高考試題以極點、極線為背景進行命題.熟練使用極點、極線的結(jié)論,解題方向會更加清晰.以上相關的知識點在高考答題中不能直接使用,在應用時可以先利用調(diào)和線束的性質(zhì)“猜測”結(jié)果,然后再用一般的方法進行證明或驗證.極點、極線知識在解題中具有較強的優(yōu)越性,有利于學生“居高臨下”地站在系統(tǒng)的高度迅速地思考和解決問題,達到“會當凌絕頂,一覽眾山小”的功能,收到縮短思維長度、提高解題速度、節(jié)約解題時間的作用.

2 探究與拓展

限于篇幅,探究1～3的證明略.由此可見,例1是探究1結(jié)論的特殊情況.

3 往年高考試題鏈接

1)求E的方程;

(2022年全國數(shù)學高考乙卷理科試題第20題)

不難發(fā)現(xiàn),2023年全國數(shù)學高考乙卷理科第20題的第2)小題與2022年全國數(shù)學高考乙卷理科第20題極其相似,可以看作“姊妹題”.兩道題具有以下的共同特點:1)過橢圓外一點作直線與橢圓相交;2)線段的中點;3)極點、極線背景;4)方程相似,都為焦點在y軸上的橢圓;5)圖形(模型)相似;6)解題思路相同.

4 解題感悟

圓錐曲線中的定值、定點問題淋漓盡致地體現(xiàn)了“幾何”與“代數(shù)”的深度融合、“動態(tài)”與“靜態(tài)”的完美和諧統(tǒng)一.定點、定值問題是探求“變中有不變的量”.因此,要注意挖掘問題中各個量之間的相互關系,恰當適時地運用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊到一般、相關點法、設而不求、換元、消元等基本思想方法.

此類問題綜合性強,方法靈活.在解題過程中,既有探索性的歷程,又有嚴密的邏輯推理及復雜的運算,成為考查學生數(shù)學核心素養(yǎng)的一道亮麗的風景線.文中的14種解法,各有千秋,筆者從深度和廣度上進行了系統(tǒng)性探究、整合、推廣,實現(xiàn)了從“一道題”到“一類題”質(zhì)的飛躍,進而提升學生的核心素養(yǎng),真可謂“半畝方塘一鑒開,多維視角共徘徊”!