同課異構(gòu) 切磋探究
——以“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”為例

趙 博

(山西大學(xué)附屬中學(xué),山西 太原 030006)

同課異構(gòu)是一種“直觀”的教學(xué)研究方式.2022年11月,筆者參加了一次這樣的活動(dòng),課題是人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》(必修第一冊(cè))第4.5.1節(jié)“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”,分別由3位教師執(zhí)教.

這是一節(jié)兼有概念與定理的課型.該課型的教學(xué)定位是在概念定理發(fā)生發(fā)展過(guò)程中,把概念定理的抽象理論轉(zhuǎn)化為學(xué)生能接受的具體知識(shí),通過(guò)知識(shí)的演練進(jìn)一步揭示它的本來(lái)面目.通過(guò)初中階段和高中階段前4章的學(xué)習(xí),學(xué)生能運(yùn)用列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)函數(shù)圖象,知道了一些基本初等函數(shù)的圖象,有一定的看圖識(shí)圖能力.因此,教學(xué)的思路是突出函數(shù)的核心地位,通過(guò)大量的函數(shù)圖形,讓學(xué)生觀察,進(jìn)而提煉概念,歸納定理.

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》建議的教學(xué)目標(biāo)及教材的教學(xué)內(nèi)容,本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容依次為:建立“函數(shù)零點(diǎn)”的概念;理解3個(gè)“等價(jià)關(guān)系”;學(xué)習(xí)一個(gè)定理(零點(diǎn)存在定理)并體會(huì)方程與函數(shù)的聯(lián)系,感悟“函數(shù)方程思想與數(shù)形結(jié)合思想”[1].在教學(xué)的實(shí)施中,3位教師呈現(xiàn)了不同的教材處理方式和教學(xué)理念.現(xiàn)把3節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)精彩之處記錄下來(lái),與廣大讀者分享和交流.

1 重視節(jié)引言的先行組織者作用

本節(jié)課是第4章的應(yīng)用課,這節(jié)課的引入是承上啟下,因此教師首先回顧之前的知識(shí),讓學(xué)生明確本章的任務(wù).

下面是教師A的教學(xué)片段.

師:前面,我們已經(jīng)掌握了函數(shù)的定義及研究的基本方法,并以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)這3個(gè)初等函數(shù)為例,從定義、圖象和性質(zhì)這3個(gè)角度展開(kāi)分析,初步熟悉了研究的基本方法.這節(jié)課,我們開(kāi)始學(xué)習(xí)第4.5節(jié)“函數(shù)的應(yīng)用(二)”．這一節(jié)我們將要學(xué)習(xí)什么內(nèi)容呢?那就是以函數(shù)的思想為統(tǒng)領(lǐng),研究如何用函數(shù)這一工具解方程,學(xué)會(huì)如何建立合適的函數(shù)模型,解決日常生活中的一些實(shí)際問(wèn)題．怎樣用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型呢?這是我們?cè)诤罄m(xù)要研究的內(nèi)容.今天我們研究函數(shù)的應(yīng)用之一——解方程.解方程我們很熟悉,為什么要研究利用函數(shù)解方程?如何利用函數(shù)來(lái)求方程的根?體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間怎樣的聯(lián)系呢?我們將逐一去探索.

評(píng)注以上引入說(shuō)明了本節(jié)課的整體結(jié)構(gòu),讓學(xué)生對(duì)新的一課有一個(gè)全局的把握,并指出本節(jié)課要用到的數(shù)學(xué)思想方法,讓學(xué)生在全局觀念下去逐一學(xué)習(xí),增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的針對(duì)性.

2 創(chuàng)設(shè)合理情境導(dǎo)入,激活學(xué)生的思維

教材的編寫(xiě)是在回憶初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)的圖象與一元二次方程關(guān)系的基礎(chǔ)上引入函數(shù)零點(diǎn)的概念.3位教師上課的班級(jí)是普通班,學(xué)生對(duì)二次函數(shù)方面的基礎(chǔ)知識(shí)掌握不夠牢固,在教學(xué)中如何處理、如何呈現(xiàn)才能揚(yáng)長(zhǎng)避短,從而降低學(xué)習(xí)新知識(shí)的門(mén)檻呢?3位教師對(duì)教材內(nèi)容作了合理的改編,以所教學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行重組,從復(fù)習(xí)回顧初中的知識(shí)入手,即一元一次方程與一次函數(shù)圖象的關(guān)系,逐步得到函數(shù)零點(diǎn)的概念.

下面是教師B的教學(xué)片段.

師:我們來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題,如圖1所示的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+2,這個(gè)式子表示什么?

生1:從代數(shù)角度看是一次函數(shù),從幾何角度看是一條直線.

師:將上式改寫(xiě)成x+y-2=0后呢?

生2:變?yōu)榈仁剑袃蓚€(gè)未知數(shù),就成為二元一次方程．

師(出示PPT):回答準(zhǔn)確．請(qǐng)同學(xué)們看如下對(duì)應(yīng)關(guān)系:函數(shù)(一次函數(shù))——圖象(一條直線)——方程(二元一次方程).

師:對(duì)于y=-x+2,令y=0,得-x+2=0,則x=2．這里的2與上式有何關(guān)系?

生3:從代數(shù)角度來(lái)看,2是方程-x+2=0的根;從幾何直觀分析,2是函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

師:若令函數(shù)值為0,則(2,0)是函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸的交點(diǎn),2就是相應(yīng)函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),此時(shí)把2稱(chēng)為函數(shù)的零點(diǎn)．這節(jié)課,我們就來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題．

評(píng)注教材編寫(xiě)的內(nèi)容是問(wèn)題生成的一種方式,是否適合所有的學(xué)生,這就需要授課教師選擇適合學(xué)生的授課方式和內(nèi)容.教師B的授課從初中的舊知識(shí)出發(fā),引出了新知識(shí),讓學(xué)生回憶的問(wèn)題恰好是函數(shù)零點(diǎn)概念的本質(zhì),并且由易到難,逐步深入,與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相符.

3 分析等價(jià)關(guān)系,揭示利用函數(shù)解方程的本質(zhì)

方程f(x)=0有實(shí)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).這3個(gè)等價(jià)關(guān)系是利用函數(shù)解方程的本質(zhì)所在,是溝通數(shù)與形的橋梁．函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),在數(shù)值上等于方程f(x)=0的根[2]．這里要強(qiáng)調(diào)從數(shù)值上看,它們是等價(jià)的.于是給出了解方程的新天地:當(dāng)方程的解容易求得時(shí),就用代數(shù)方法;當(dāng)方程的解不易求得時(shí),轉(zhuǎn)化為該方程相應(yīng)的函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),由形求數(shù),體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.

下面是教師C的教學(xué)片段.

師:對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).那么函數(shù)f(x)=x2-3x-1,f(x)=x2-2x+1,f(x)=x2-2x+4的零點(diǎn)分別是什么?

生5:函數(shù)f(x)=x2-2x+1的零點(diǎn)是1.

生6:函數(shù)f(x)=x2-2x+4沒(méi)有零點(diǎn).

師:那么,零點(diǎn)是不是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)呢?

(學(xué)生討論、思考.)

生7:零點(diǎn)不是y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn),而是y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),也是方程f(x)=0的根.

師:那么函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)、方程f(x)=0的根以及函數(shù)y=f(x)的圖象之間有怎樣的聯(lián)系呢?

教師C引導(dǎo)學(xué)生思考并幫助學(xué)生分析得到:函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),亦即方程f(x)=0有實(shí)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)有零點(diǎn).

評(píng)注教師C從零點(diǎn)定義出發(fā),找出具體函數(shù)的零點(diǎn),通過(guò)找到的零點(diǎn),是數(shù)而不是點(diǎn),進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是零點(diǎn).一環(huán)套一環(huán),幫助學(xué)生分析得到零點(diǎn)的意義,讓學(xué)生體會(huì)利用函數(shù)解方程的本質(zhì)所在,也為零點(diǎn)存在定理鋪平了道路.

4 豐富典型例證,促進(jìn)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)

探索發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)存在定理是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).為此首先設(shè)置具體問(wèn)題,接著給出大量圖示,引導(dǎo)學(xué)生從不同角度審視,獲得猜想.

下面是教師A的教學(xué)片段.

練習(xí)1求下列函數(shù)的零點(diǎn):

1)f(x)=2x+4;

2)f(x)=x2+x-2.

師:若把第2)小題中的2換成3,則函數(shù)f(x)=x2+x-3是否有零點(diǎn)?大家有什么辦法解決這個(gè)問(wèn)題?

生8:利用一元二次方程根的判別式定理進(jìn)行判斷.

生9:解方程x2+x-3=0,求出方程的兩個(gè)根x1,x2.

生10:利用列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)的圖象,觀察圖象.

師:同學(xué)們想出多種方法解決這個(gè)問(wèn)題,都是正確的.現(xiàn)在若把第2)小題中的x2換成3x,則得函數(shù)f(x)=3x+x-3是否有零點(diǎn)?

師:用大家之前想到的方法能給出方程3x+x-3=0的解嗎?

(全體學(xué)生陷入了思考.)

師:前面我們找到了“3個(gè)等價(jià)關(guān)系”,這是方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的工具,能否作為解決問(wèn)題的辦法?

生12:作出函數(shù)圖象.

(學(xué)生小組討論.)

師:哪個(gè)小組有初步的研究結(jié)果?

生13:取6個(gè)值(如表1所示),在同一坐標(biāo)系中描出當(dāng)x=-1,0,…時(shí)相應(yīng)的點(diǎn)觀察發(fā)現(xiàn),函數(shù)與x軸有交點(diǎn),根據(jù)等價(jià)關(guān)系,這就是函數(shù)的零點(diǎn).還能發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)所在的區(qū)間.

表1 y=3x+x-3的取值

師:用幾何畫(huà)板軟件畫(huà)出函數(shù)圖象驗(yàn)證,如圖2所示為函數(shù)f(x)=3x+x-3的圖象.據(jù)此觀察可知:函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn),在區(qū)間(0,1)內(nèi)．

圖2

圖3

師:同學(xué)們的討論結(jié)果完全正確．這個(gè)有零點(diǎn)的區(qū)間,函數(shù)值具有怎樣的特征?

評(píng)注通過(guò)具體的問(wèn)題,設(shè)計(jì)臺(tái)階式的問(wèn)題,逐步讓學(xué)生體會(huì)定理的生成過(guò)程.本問(wèn)題用代數(shù)的方法求出方程的實(shí)數(shù)根,就得到了函數(shù)的零點(diǎn),讓學(xué)生體會(huì)零點(diǎn)與方程的關(guān)系[3].接下來(lái)利用數(shù)形結(jié)合的思想,引導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)圖的方法,畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖象,找到零點(diǎn),這樣也可以解決問(wèn)題.

練習(xí)2分析函數(shù)y=f(x)的圖象并回答問(wèn)題,總結(jié)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的條件是什么?

1)f(x1)f(x2)______0,在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)______(有或無(wú))零點(diǎn);

2)f(x2)f(x3)______0,在區(qū)間(x2,x3)內(nèi)______(有或無(wú))零點(diǎn);

3)f(x3)f(x4)______0,在區(qū)間(x3,x4)內(nèi)______(有或無(wú))零點(diǎn);

完成練習(xí)2,并得出結(jié)論.

生15:函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)(f(a)>0且f(b)<0或f(a)<0且f(b)>0),則f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)．

于是可得零點(diǎn)存在定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

師:現(xiàn)在將定理中,兩端點(diǎn)函數(shù)值“異號(hào)”改成“同號(hào)”,即:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象連續(xù),且f(a)>0,f(b)>0(或f(a)<0,f(b)<0),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)仍有零點(diǎn)嗎?

生16:不一定,因?yàn)楦鶕?jù)現(xiàn)有條件,判斷不了函數(shù)圖象是否與x軸相交．

評(píng)注通過(guò)具體案例,教師C讓學(xué)生動(dòng)手操作感知,并發(fā)動(dòng)學(xué)生找例子來(lái)驗(yàn)證;對(duì)于探尋定理的條件和結(jié)論,教師C通過(guò)設(shè)計(jì)逐層深入的問(wèn)題,逐個(gè)擊破定理的關(guān)鍵點(diǎn),最終學(xué)生自主地得到該定理.

5 通過(guò)辨析,深化對(duì)定理的理解

通過(guò)定理的應(yīng)用,糾正錯(cuò)誤思維,深刻理解定理的內(nèi)涵和外延.零點(diǎn)存在定理只解決了零點(diǎn)存在的充分性,且該命題不可逆,無(wú)法判定唯一性.利用學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí),可以采取糾錯(cuò)法來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的思維.

下面是教師B的教學(xué)片段,通過(guò)判斷辨析達(dá)到深入學(xué)習(xí)知識(shí)的目的.

練習(xí)1

1)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上僅滿(mǎn)足f(m)<0且f(n)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(m,n)上存在零點(diǎn)嗎?(反例如圖4所示.)

圖4 圖5

2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上僅滿(mǎn)足f(m)>0且f(n)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(m,n)上存在零點(diǎn)嗎?(反例如圖5所示.)

3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上連續(xù)且滿(mǎn)足f(m)f(n)>0,那么函數(shù)y=f(x)區(qū)間(m,n)上一定沒(méi)有零點(diǎn)嗎?(反例如圖6所示.)

圖6 圖7

4)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上連續(xù)且滿(mǎn)足f(m)f(n)<0,那么函數(shù)y=f(x)區(qū)間(m,n)上一定有且只有一個(gè)零點(diǎn)嗎?(反例如圖7所示.)

接下來(lái)的目標(biāo)檢測(cè)又進(jìn)一步強(qiáng)化了對(duì)定理的理解.目標(biāo)檢測(cè)如下:

練習(xí)2

1)判斷下列說(shuō)法正確與否:

①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),則f(a)f(b)<0;

②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,若f(a)f(b)>0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)．

2)(教材習(xí)題)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如表2所示的對(duì)應(yīng)關(guān)系,指出函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間?

表2 函數(shù)f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

3)下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)?

①f(x)=4x-x2,其中x∈[-1,0];

②f(x)=-x3-x+3,其中x∈[1,2].

評(píng)注在思考這些辨析題目的過(guò)程中,學(xué)生結(jié)合舉出的反例,不斷糾錯(cuò),逐步建立完善的知識(shí)結(jié)構(gòu).典型習(xí)題的訓(xùn)練解決了學(xué)生“上課聽(tīng)得懂,作業(yè)不會(huì)做”的問(wèn)題.

6 注重知識(shí)的前后聯(lián)系,從整體把握授課內(nèi)容

在教材整體的把握上,教師B和教師C的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”這節(jié)內(nèi)容教材的設(shè)計(jì)意圖,那就是通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),為二分法求根做前期理論準(zhǔn)備,使學(xué)生了解求方程根的“逐步逼近”的依據(jù).

下面是教師C的教學(xué)片段.

師:對(duì)于函數(shù)f(x)=3x+x-3,它的零點(diǎn)個(gè)數(shù)還可以怎么確定?

生17:在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)y=3x與y=-x+3的圖象來(lái)確定.由圖8知,函數(shù)f(x)=3x+x-3有一個(gè)零點(diǎn)．

圖8

師:說(shuō)說(shuō)你的想法?

生18:函數(shù)y=3x與函數(shù)y=-x+3圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),是方程3x+x-3=0的解,也就是函數(shù)f(x)=3x+x-3的零點(diǎn)．

師:從圖象上能看出這個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間嗎?

生19:(0,1),(0.5,1),(0.7,0.8)等．

師:這種確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法,用到了函數(shù)圖象,這種數(shù)形結(jié)合思想,也是解決問(wèn)題的方法之一.對(duì)于得到的零點(diǎn)所在區(qū)間,后續(xù)學(xué)習(xí)中將進(jìn)一步研究:如何進(jìn)一步縮小這個(gè)區(qū)間的范圍,如何求出這個(gè)零點(diǎn)的近似值?這些問(wèn)題將在下次課中探討(為下節(jié)課學(xué)習(xí)“用二分法求方程的近似解”進(jìn)行鋪墊).

評(píng)注教學(xué)設(shè)計(jì)就是體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生逐步分析、理解知識(shí)的過(guò)程.教師C設(shè)計(jì)的結(jié)尾承上啟下,既讓學(xué)生學(xué)到了求函數(shù)零點(diǎn)的新方法,又為下一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容做鋪墊,引發(fā)學(xué)生的求知欲,讓學(xué)生期待數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).