挖掘課本“閱讀材料”教學潛能的著力點初探
——以人教A版高中數(shù)學必修教材的教學為例

徐長中

(江蘇省射陽中學 224300)

為體現(xiàn)《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出的“學生發(fā)展為本,立德樹人,提升素養(yǎng)”[1]2的基本理念,各種版本的高中數(shù)學教材都融入了“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”“信息技術(shù)應用”“文獻閱讀與數(shù)學寫作”等集知識性、思想性、科學性、趣味性、教育性于一體的“閱讀材料”,這些“閱讀材料”在激發(fā)學生學習興趣、拓寬學生知識視野、引領(lǐng)學生探究學習、發(fā)展學生核心素養(yǎng)、開發(fā)學生學習潛能等方面有著極其重要、不可低估的作用．但在實際教學中,“閱讀材料”并未引起一線教師應有的重視,甚至成為一個被遺忘的角落．挖掘教材中“閱讀材料”的教學潛能,將其巧妙地整合到日常教學活動之中,充分發(fā)揮其應有的教育和教學的價值,成為一個值得高度關(guān)注、需要認真研究的課題[2]．下面以人教A版高中數(shù)學必修教材的教學為例,談談筆者的一些做法和體會．

1 利用“閱讀材料”滲透數(shù)學文化、激發(fā)學習興趣

教材中呈現(xiàn)的“閱讀材料”,常常涉及豐富的數(shù)學史料、精彩的趣聞軼事、巧妙的數(shù)學方法和深厚的文化內(nèi)涵等,利用這些“閱讀材料”創(chuàng)設(shè)教學情境,向?qū)W生介紹數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程,講述歷代數(shù)學家們刻苦勤奮、不懈探究數(shù)學理論的故事和取得的燦爛輝煌的成就,展現(xiàn)數(shù)學與自然現(xiàn)象、社會生產(chǎn)、日常生活、科學技術(shù)、軍事活動、環(huán)境資源等的緊密聯(lián)系,將枯燥、抽象的數(shù)學概念、公式、法則變得豐富多彩、智慧靈動,不僅可以有效地激發(fā)學生的學習興趣,調(diào)動他們的學習熱情,煥發(fā)起學生學習新知的主動性,而且在再現(xiàn)積淀的數(shù)學文化的過程中,讓學生接受數(shù)學精神、數(shù)學思想和數(shù)學品質(zhì)的熏陶,有效地發(fā)揮出數(shù)學學科的育人功能[3]．

案例1“余弦定理、正弦定理的習題課”的教學片斷.

師:我們前面學習了余弦定理和正弦定理,已經(jīng)初步了解了這兩個定理的一些應用．今天這節(jié)課,我們就此問題作進一步的研究．請大家先看來自南宋數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中的一個問題:“問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里．里法三百步,欲知為田幾何?”你能用數(shù)學語言表述這一問題嗎?

生1:這個問題的實質(zhì)就是已知三角形的三邊,求其面積．可用數(shù)學語言表述為:“在△ABC中,a=13,b=14,c=15,求三角形的面積S△ABC．”

師:怎么解決這一問題呢?

師:有同學知道秦九韶是怎么解決這一問題的嗎?請大家看一段閱讀材料——“海倫和秦九韶”(見教材必修2第55～56頁)．(投影顯示,略)

學生閱讀,教師給出下列問題,供學生思考、討論和交流．

問題1 什么是海倫公式?其主要特點是什么?

問題2 什么是秦九韶公式?其主要特點又是什么?

問題4 談談你學習了這一段“閱讀材料”后的體會和感受．

案例分析海倫公式和秦九韶公式雖然形式不同,但本質(zhì)卻是相同的,兩者完全等價,可以互相轉(zhuǎn)化．它們都是用三角形的三邊長表示三角形面積的重要公式,與正弦定理、余弦定理等類似,在研究三角形的邊角關(guān)系時可以發(fā)揮重要的作用．在余弦定理、正弦定理的教學活動中,融入閱讀材料“海倫和秦九韶”,指導學生閱讀和思考、探索與研究,不僅可以很好地深化學生對余弦定理、正弦定理的認識和理解,有效地激發(fā)學生的學習興趣,喚起學生學習的內(nèi)驅(qū)力,使學生在愉悅的情境中獲取知識、內(nèi)化方法、提升能力、發(fā)展素養(yǎng),而且在數(shù)學史料和數(shù)學文化的滲透中,讓學生充分感受我國古代的先哲們在數(shù)學領(lǐng)域中的巨大成就和數(shù)學在服務生活需要、促進社會發(fā)展的過程中所發(fā)揮的巨大作用,體味中外數(shù)學家不斷追求真理、勇于探索創(chuàng)新的科學精神,樹立民族自信心和自豪感,達成文化浸潤,產(chǎn)生思想共鳴,有效升華數(shù)學的教育功能．

2 借助“閱讀材料”拓展知識視野、完善認知結(jié)構(gòu)

教材中的部分“閱讀材料”與所學章節(jié)中相應的知識內(nèi)容往往是息息相關(guān)、緊密聯(lián)系的,有的是對教材中正文內(nèi)容的橫向拓展,也有的是對教材正文內(nèi)容的縱向延伸,還有一些符合學生認知特點、具有高等數(shù)學背景的知識,對教材的正文內(nèi)容作出有益的補充和必要的銜接,彌補教材按模塊編排造成的缺陷,體現(xiàn)教材的系統(tǒng)性和完整性[4]．組織好這些“閱讀材料”的探究和學習,利用好這些寶貴的課程資源,將其融入到課堂教學活動之中,可以有效地幫助學生了解數(shù)學知識發(fā)生和發(fā)展的過程,促進和深化學生對教材中的重點內(nèi)容和難點知識的理解,使學生能夠站在系統(tǒng)和整體的高度認識數(shù)學的知識、思想和方法的來龍去脈、內(nèi)涵外延,牢固地掌握數(shù)學知識的本質(zhì)特征,深刻體會研究和解決數(shù)學問題的一般方法與基本套路,拓寬學生的知識視野,完善學生的認知結(jié)構(gòu),幫助學生形成牢固的知識體系,達成學生的深度學習．

案例2“對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的教學片斷.

師:剛才我們學習了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),了解了對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)是有聯(lián)系的.事實上,它們互為反函數(shù),那么什么是反函數(shù)?互為反函數(shù)的兩個函數(shù)之間具有怎樣的關(guān)系呢?

請大家結(jié)合下面的閱讀提綱,看一段閱讀材料——“互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象間的關(guān)系”(見教材必修1第135頁)．(投影顯示,略)

(2)函數(shù)y=2x與y=log2x的定義域和值域有著怎樣的關(guān)系?它們的圖象間又具有怎樣的關(guān)系?它們的單調(diào)性之間的關(guān)系如何?

(3)(2)中的結(jié)論對一般的指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與它的反函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)也成立嗎?說說你的理由．

(4)上述研究過程運用的基本方法是什么?你從上述研究過程中受到哪些啟發(fā)?

(5)一般地,怎樣的兩個函數(shù)互為反函數(shù)?你能求出一個函數(shù)的反函數(shù)嗎?如何求?

(6)給出互為反函數(shù)的兩個函數(shù),你能說出它們的定義域和值域、圖象、單調(diào)性之間的關(guān)系嗎?

(7)若方程2x+x-4=0的根是m,方程 log2x(a>0,且a≠1)的根是n,你能求出m+n的值嗎?

案例分析反函數(shù)是函數(shù)學習中的一個重要內(nèi)容,函數(shù)及其反函數(shù)之間有著緊密聯(lián)系和許多重要性質(zhì),這些重要性質(zhì)在數(shù)學解題中有著廣泛的應用,對進一步研究高等數(shù)學也有一定的幫助．教材的正文限于課時和篇幅等方面的原因,只是通過一個具體的對數(shù)函數(shù)給出了反函數(shù)的概念,指出指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),一般學生很難對其形成正確的認識和深刻的理解,更不能滿足一些優(yōu)等生深入研究的欲望．教學中,借助“閱讀材料”組織學生開展探究學習活動,讓學生體會數(shù)學探究的方法,嘗試從特殊到一般抽象出反函數(shù)的定義,概括總結(jié)出互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的定義域、值域、圖象及單調(diào)性之間的關(guān)系,了解函數(shù)存在反函數(shù)的條件,掌握求函數(shù)的反函數(shù)的方法及反函數(shù)基本性質(zhì)的應用,拓寬了學生的知識視野,完善了學生對反函數(shù)的認知,滿足了不同層次學生的學習需求．

3 依托“閱讀材料”引領(lǐng)探究學習、促進深度理解

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版》中指出:“教師要把教學活動的中心放在促進學生學會學習上,積極探索有利于促進學生學習的多樣化教學方式,不僅限于講授與練習,也應包括引導學生閱讀自學、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等．”“數(shù)學探究活動是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動,也是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容．”[1]35對于學生來說,掌握數(shù)學的知識并能在解決具體問題中熟練地運用固然不容忽視,但領(lǐng)悟數(shù)學家思考問題的方法和探究問題的途徑、學會自主探索、提高自學能力則顯得更為重要．教材中的一些“閱讀材料”有著豐富的知識背景和思想內(nèi)涵,課堂教學中要善于依托這些“閱讀材料”引領(lǐng)學生開展探究活動,讓學生重溫前人對數(shù)學知識的探索過程,或者嘗試用前人的方法去解決一些問題,培養(yǎng)學生探究、發(fā)現(xiàn)的能力,促進學生的深度學習．

案例3“簡單幾何體的表面積和體積的習題課”的教學片斷.

師:我們前面研究了簡單幾何體的表面積和體積,大家能很快地說出柱體、錐體、臺體和球體的體積公式嗎?

生1:V柱體=Sh(S為底面積,h為柱體高);

師:很好!這些公式同學們在小學和初中時就熟悉了,但是公式是怎樣來的,有同學知道嗎?下面,我們一起來欣賞教材中的閱讀材料——“祖暅原理與柱體、錐體的體積”(見教材必修2第 121～122頁)．(投影顯示,略)

探究1 請大家將20本數(shù)學必修2課本堆放在桌面上組成一個幾何體,使其傾斜一個角度,這時幾何體的形狀發(fā)生了改變,得到了另一個幾何體(圖1).多做幾次這樣的試驗,觀察結(jié)果,你能得出怎樣的結(jié)論?

圖1 圖2

探究2 夾在兩個平行平面間的幾何體(它們的形狀可以不同),被平行于這兩個平面的任何一個平面所截(圖2),如果截面(陰影部分)的面積都相等,那么這兩個幾何體的體積具有什么關(guān)系?

探究3 你能運用祖暅原理推導出柱體的體積公式嗎?如何推導?

探究4 試用祖暅原理和柱體的體積公式推導出錐體的體積公式．

4 憑藉“閱讀材料”提煉思想方法、訓練理性思維

數(shù)學是思維的科學,數(shù)學的思想方法是數(shù)學的靈魂和核心．日本數(shù)學教育家米山國藏曾經(jīng)說過:多數(shù)學生進入社會后,幾乎沒有機會應用他們在學校學到的數(shù)學知識,因而這種作為知識的數(shù)學,通常在學生畢業(yè)后不到一兩年就忘掉了,然而不管他們從事什么工作,那種銘刻于大腦的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法卻長期在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用[5]．因此,數(shù)學教學不僅要指導學生學好數(shù)學知識,更要關(guān)注數(shù)學思想方法的提煉和滲透,幫助學生學會數(shù)學思考,提高理性思維的能力,培養(yǎng)學生的數(shù)學精神,給學生更多有價值的、能夠終身受益的東西．教材中融入了不少再現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)過程、揭示數(shù)學知識的本質(zhì)特征的“閱讀材料”,其中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法和數(shù)學精神,是不容忽視的教學資源．教學中,對這些“閱讀材料”要充分加以利用,努力使隱藏在數(shù)學知識背后的數(shù)學思想方法和數(shù)學精神大放異彩．

案例4“對數(shù)的概念”的教學片斷.

師:同學們,在學習指數(shù)函數(shù)時,我們研究過下面的問題:某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過1年,這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%．寫出這種物質(zhì)的剩留量關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式．

我們知道,若設(shè)該物質(zhì)最初的質(zhì)量是1,則經(jīng)過x年,該物質(zhì)的剩留量為y=0.84x．建立了這個函數(shù)關(guān)系式,可以實現(xiàn)計算預測的功能,只要知道時間x就可以計算剩留量y．比如,經(jīng)過3年,剩留量是多少?

生1:經(jīng)過3年,剩留量為0.843=0．592 704．

師:這是一個指數(shù)運算的問題,可列表表示如下:

問題簡述經(jīng)過了3年,剩留量是多少?數(shù)學語言0.843=0.592 704.運算類型指數(shù)運算ab=N(已知底數(shù)a和指數(shù)b,求冪值N).

如果測得了剩留量y,怎么求出所經(jīng)過的時間x呢?比如若測得剩留量為0．23,則經(jīng)過了多少年?

生2:假設(shè)經(jīng)過了x年,剩留量為0．23,則有0.84x=0.23,只要從中求出x,問題就解決了．

師:將這個問題列表如下:

問題簡述剩留量為0.23,則經(jīng)過多少年?數(shù)學語言0.84x=0.23,則x=?.運算類型已知底數(shù)a和冪值N,求指數(shù)b(一種新運算).

怎么求x呢?一般地“已知底數(shù)和冪值,怎么求指數(shù)”是一種新運算,這就是我們下面要研究的問題——對數(shù)．

師:什么是對數(shù)?對數(shù)是怎么發(fā)明的?下面,先來看一段閱讀材料——“對數(shù)的發(fā)明”(見教材必修1第128～129頁)．(投影顯示,略)

閱讀提綱

(1)對數(shù)是基于什么背景、在什么時候、由哪一位數(shù)學家最先發(fā)明的?

(2)發(fā)明對數(shù),主要作用是什么?解決了天文、航海、工程、貿(mào)易和軍事中的什么問題?

(3)對數(shù)是如何發(fā)明的?定義對數(shù)運算的關(guān)鍵是什么?

(4)數(shù)學家在發(fā)明對數(shù)的過程中運用了哪些數(shù)學思想方法?體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學精神?

案例分析對數(shù)產(chǎn)生于17世紀初葉,隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事等行業(yè)的快速發(fā)展,面對大量繁雜數(shù)據(jù)的處理,急需找到簡化大數(shù)運算的有效工具,由此產(chǎn)生了對數(shù)．對數(shù)的發(fā)明在17世紀數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)舉,對推動社會生產(chǎn)、科學技術(shù)的發(fā)展作出了巨大貢獻．在學習對數(shù)伊始,將閱讀材料“對數(shù)的發(fā)明”展示給學生,讓學生從中了解對數(shù)產(chǎn)生的背景和過程,感悟在對數(shù)發(fā)明過程中數(shù)學家運用的“符號化”“對應與映射”“化歸與轉(zhuǎn)化”等數(shù)學思想方法和為科學研究獻身的精神,對于激勵學生的數(shù)學學習、訓練學生的理性思維、培養(yǎng)學生的科學精神等有著不容忽視和無法替代的功用．

5 通過“閱讀材料”培養(yǎng)應用意識、提升實踐能力

數(shù)學作為一種語言和工具,幾乎滲透到了每一個領(lǐng)域及生活的方方面面,在社會發(fā)展中發(fā)揮著無可替代的作用．掌握數(shù)學的知識、形成數(shù)學的技能、獲得數(shù)學的經(jīng)驗只是數(shù)學學習的目標之一,培養(yǎng)數(shù)學應用的意識、提升數(shù)學應用的能力、發(fā)展數(shù)學應用的素養(yǎng)才是數(shù)學學習的更高追求．現(xiàn)行教材中,融入了許多與社會生活、生產(chǎn)實際、科學技術(shù)等息息相關(guān)、緊密相聯(lián)的“閱讀材料”,在進行數(shù)學教學時,通過這些“閱讀材料”開展實踐活動,引導學生學會從數(shù)學的視角觀察生活、借數(shù)學的思維分析問題、用數(shù)學的語言表達結(jié)果,讓學生體驗數(shù)學與日常生活以及其他學科知識之間的聯(lián)系,感悟數(shù)學的應用價值,體會數(shù)學的工具作用,使學生形成數(shù)學應用的意識,提高數(shù)學應用的能力．

案例5“用樣本估計總體的習題課”的教學片斷.

師:馬克思曾經(jīng)說過:“一門科學只有成功地應用了數(shù)學時,才算真正達到了完善的地步．”生活中充滿著數(shù)學,人們的吃、穿、住、行都與數(shù)學有關(guān)．前面,我們學習了總體取值規(guī)律的估計、總體百分位數(shù)的估計、總體集中趨勢的估計等統(tǒng)計學的有關(guān)知識,已經(jīng)初步感受了統(tǒng)計知識的廣泛應用性,今天,上一節(jié)習題課,對統(tǒng)計知識的應用作進一步的研究．

請大家先來看一看教材中的閱讀材料——“統(tǒng)計學在軍事中的應用——二戰(zhàn)時德國坦克總量的估計問題”(見教材必修2第208～209頁)．(投影顯示,略)

師:大家在閱讀時請結(jié)合下列問題進行思考,同桌間可進行討論．

問題1 情報的收集與分析工作對于戰(zhàn)爭的勝負無疑是十分重要的．在第二次世界大戰(zhàn)期間,為了解德軍坦克的生產(chǎn)能力,以實現(xiàn)“知己知彼方能百戰(zhàn)百勝”的目的,統(tǒng)計學家是運用怎樣的方法實現(xiàn)了對德軍每個月生產(chǎn)坦克的數(shù)量做出精確估計的?

問題2 這種估計方法的統(tǒng)計學原理是什么?你還能想出其他估計德軍每月生產(chǎn)坦克數(shù)的方法嗎?

問題3 如果用樣本編號的平均數(shù)作為每月生產(chǎn)坦克編號的平均數(shù),與前面的方法相比,哪種方法更合理?

問題4 這種估計方法有什么現(xiàn)實應用?試列舉出一個具體的事例來加以說明．

問題5 通過對閱讀材料“統(tǒng)計學在軍事中的應用——二戰(zhàn)時德國坦克總量的估計問題”的學習,你有什么收獲?

案例分析數(shù)學不但是科學發(fā)展的基礎(chǔ),與我們的日常生活密切相關(guān),她對于航海、軍事等方面的影響更為深遠．“二戰(zhàn)時德國坦克總量的估計問題”就是一個十分典型的案例．早在遠古時代,人們就能巧妙地運用數(shù)學知識贏得戰(zhàn)爭,公元1053年,我國北宋名將狄青奉命征討南方儂智高叛亂,為了鼓舞士氣,振興軍心,運用了數(shù)學中概率的知識,成了千古佳話．通過教材中“閱讀材料”將這些生動精彩的事例融入到數(shù)學教學活動之中,引領(lǐng)學生閱讀、思考、分析、探究、討論、交流,開展操作、實踐活動,將數(shù)學的理論與生活的實踐結(jié)合起來,使學生在興致勃勃、趣味盎然的狀態(tài)下,嘗試從生活現(xiàn)象中抽象出數(shù)學問題,學會用數(shù)學的知識、思想、方法分析和解決實際應用中的問題,讓學生體驗數(shù)學與科學研究、日常生活以及其他學科知識之間的緊密聯(lián)系,感受數(shù)學的應用價值,欣賞數(shù)學的無盡魅力,從而提升數(shù)學應用的意識和能力．

總而言之,作為教材中的重要內(nèi)容,“閱讀材料”有著諸多不容忽視的教學功能,是一座急待開發(fā)的“金礦”．作為學生學習的指導者和引路人的教師,我們要積極杜絕功利化的做法,本著對學生的終身發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展負責的態(tài)度,充分發(fā)揮自身的教學智慧和創(chuàng)造力,結(jié)合學生的具體情況和教學內(nèi)容的特點,采取靈活多樣、生動活潑的教學策略,將“閱讀材料”與教材中的正文內(nèi)容有機地結(jié)合起來,使學生學到真正有價值的數(shù)學,給課堂帶來勃勃生機,讓教學更加本真高效．