核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的問題驅(qū)動式教學(xué)
——以“兩角差的余弦公式”為例

? 湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 趙 薇 徐運(yùn)閣

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出高中數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)之一就是發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),學(xué)者章建躍也提出“教好數(shù)學(xué)就是落實(shí)核心素養(yǎng)”.那么,六大核心素養(yǎng)怎樣才能落地生根?什么樣態(tài)的知識教學(xué)有利于學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展?學(xué)者李松林認(rèn)為問題驅(qū)動的整合式教學(xué)有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展,并提出學(xué)習(xí)即持續(xù)的自主建構(gòu),學(xué)生的學(xué)習(xí)及核心素養(yǎng)的發(fā)展最終依靠的都是學(xué)生本身的內(nèi)源性學(xué)習(xí)力.因此,教師需要做的就是通過自己精心設(shè)計(jì)的教學(xué)來驅(qū)動學(xué)生的內(nèi)源性學(xué)習(xí)力,無疑問題驅(qū)動式教學(xué)就是有效的教學(xué)模式之一.

1 教材分析

三角恒等變換是高一學(xué)生需要掌握的重點(diǎn)內(nèi)容,兩角差的余弦公式是“三角恒等變換”這一節(jié)的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn),也是前面所學(xué)三角函數(shù)知識的繼續(xù)與發(fā)展.由于和與差內(nèi)在的聯(lián)系性與統(tǒng)一性,教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ),使公式的證明過程盡量簡潔明了,易于學(xué)生理解和掌握.教材沒有直接給出兩角差的余弦公式,因此可以利用問題驅(qū)動學(xué)生結(jié)合本章已學(xué)的知識與方法進(jìn)行自主探究,引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、小心求證,鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維、創(chuàng)新方法.

2 教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握兩角差的余弦公式,能正確運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的求值運(yùn)算;

(2)經(jīng)歷用平面直角坐標(biāo)系、單位圓、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程,進(jìn)一步體會平面直角坐標(biāo)系和單位圓對于三角函數(shù)的重要作用;

(3)在探究過程中,體會“轉(zhuǎn)化與化歸”“分類討論”“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想方法,體會數(shù)學(xué)思維的合理性與條理性.

3 教學(xué)過程

3.1 課程引入,提出問題

問題1某城市電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上(如圖1),沿著山坡有一條坡度為15°,長為200 m的小路可以從山底直達(dá)塔底,在小路最底端測得電視信號發(fā)射塔塔尖的仰角為60°,求塔尖到地面的距離.

圖1 現(xiàn)實(shí)情境

圖2 數(shù)學(xué)模型

追問1:cos 15°=?

追問2:cos 15°=cos(60°-45°)=?

追問3:更一般地,對于任意角α,β,cos(α-β)=?

設(shè)計(jì)意圖:從實(shí)際問題出發(fā),有利于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系,使學(xué)生感受到研究差角公式的必要性,讓學(xué)生經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)情境抽象成數(shù)學(xué)問題的過程,有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).強(qiáng)調(diào)用已知角表示未知角,讓學(xué)生體會將未知轉(zhuǎn)化為已知的轉(zhuǎn)化與化歸思想.

3.2 聯(lián)系舊知,形成猜想

問題2同學(xué)們之前見過哪些兩角差的余弦呢?

追問1:觀察這6個(gè)式子的結(jié)果,有什么發(fā)現(xiàn)嗎?

師生活動:學(xué)生回答,教師總結(jié).這6個(gè)式子的結(jié)果涉及到cosβ,sinβ,cosα,sinα這4個(gè)三角函數(shù)值,于是猜想cos(α-β)與cosβ,sinβ,cosα,sinα有關(guān)!

追問2:cos(α-β),cosβ,sinβ,cosα,sinα的數(shù)學(xué)意義是什么?

師生活動:引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義回答.當(dāng)角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合時(shí),cosα與sinα;cosβ與sinβ分別是角α,β的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo);cos(α-β)是角α-β的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖:該環(huán)節(jié)體現(xiàn)了從特殊到一般的思想,聯(lián)系以前學(xué)過的誘導(dǎo)公式,讓學(xué)生經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)的過程,而不是直接告訴學(xué)生結(jié)論.最后引導(dǎo)學(xué)生從最本質(zhì)的定義出發(fā)說出各三角函數(shù)值的數(shù)學(xué)意義,也意在提示學(xué)生要注重對數(shù)學(xué)定義的理解和記憶.

3.3 探究發(fā)現(xiàn),得出結(jié)論

利用平面直角坐標(biāo)系、單位圓,結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式,推導(dǎo)兩角差的余弦公式.

師生活動:學(xué)生動手操作,將上述數(shù)學(xué)符號在圖中表示出來.有學(xué)生將角α,β的終邊畫在了一起(預(yù)設(shè)),此時(shí)α=β+2kπ(k∈Z),對應(yīng)cos(α-β)=1.接著探究一般情況,假設(shè)α,β的終邊不重合,也就是α≠β+2kπ(k∈Z),提示學(xué)生不必糾結(jié)角α,β終邊的位置問題,因?yàn)閏os(α-β)=cos(β-α),為了研究方便這里將角α的終邊畫在角β終邊的上方,就可得到角α,β的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1(cosα,sinα),A1(cosβ,sinβ).

問題3角α-β的始邊、終邊分別是什么?

師生活動:有學(xué)生提出∠A1OP1就是α-β(預(yù)設(shè)).教師提示,根據(jù)角的減法,角α-β的始邊就是角β的終邊,角α-β的終邊就是角α的終邊,則α-β=∠A1OP1+2kπ(k∈Z),但此時(shí)∠A1OP1沒有在標(biāo)準(zhǔn)位置上,也就是始邊沒有與x軸的非負(fù)半軸重合,無法得到cos(α-β),所以將角α-β的始邊、終邊一起旋轉(zhuǎn),使其始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,則角α-β的終邊與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos(α-β),sin(α-β)),令單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)為A(1,0).

問題4觀察圖3,并聯(lián)系剛才得到的點(diǎn)的坐標(biāo),可以得到什么等量關(guān)系?

圖3

追問:到此我們的探究過程就結(jié)束了嗎?

師生活動:教師指出上述結(jié)果是在α≠β+2kπ(k∈Z)的前提下得到的,還需驗(yàn)證α=β+2kπ(k∈Z)時(shí)等式是否成立.經(jīng)驗(yàn)證,特殊情況下等式依然成立.因此,當(dāng)α,β為任意角時(shí),都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

設(shè)計(jì)意圖:在該環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生分類討論,體現(xiàn)數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性.同時(shí),讓學(xué)生知道平面直角坐標(biāo)系和單位圓在解決三角函數(shù)問題中的重要作用,而且證明過程環(huán)環(huán)相扣,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯性,有利于培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng).

3.4 牛刀小試,加深理解

問題5利用兩角差的余弦公式求cos 15°的值.

引導(dǎo)學(xué)生通過15°=60°-45°和15°=45°-30°兩種方式求解,具體過程如圖4.

圖4 該題對應(yīng)的教學(xué)PPT(截取)

設(shè)計(jì)意圖:幫助學(xué)生掌握兩角差的余弦公式的應(yīng)用,拓展數(shù)學(xué)思維,體會角拆分的多樣性決定了變換的多樣性,但是最后都殊途同歸.

追問:現(xiàn)在能解決“求電視信號發(fā)射塔塔尖到地面的距離”問題嗎?

師生活動:學(xué)生計(jì)算,教師播放PPT展示答案.

3.5 深入思考,更新認(rèn)知

問題6問題5中分別令α,β為特殊值來求得cos 15°的值,能否令α,β為其他形式,從而得到一些公式?

師生活動:教師提示,若令β=-β,則可以得到cos[α-(-β)]=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,這個(gè)公式叫做兩角和的余弦公式;還可以令β=-α,則可以得到cos[α-(-α)]=cos 2α=cos2α-sin2α,這個(gè)公式是二倍角的余弦公式.給出課后思考題——利用今天所學(xué)的兩角差的余弦公式推導(dǎo)剩下的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式.

設(shè)計(jì)意圖:幫助學(xué)生理解α,β的任意性,同時(shí)理解公式不僅能正用、逆用,還能變形用.

3.6 課堂小結(jié),鞏固知識

問題7本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識?

(1)兩角差的余弦公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

(2)體會到了平面直角坐標(biāo)系、單位圓在解決三角函數(shù)問題中的便利性.

(3)解決數(shù)學(xué)問題的一些思想和方法:轉(zhuǎn)化與化歸、由特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合.

4 教學(xué)反思

4.1 反思學(xué)生

學(xué)生雖有一定的認(rèn)知基礎(chǔ),但在單位圓中證明兩角差的余弦公式,容易犯思維不嚴(yán)密的錯(cuò)誤.教學(xué)時(shí),需要引導(dǎo)學(xué)生正確表述終邊與單位圓的各個(gè)交點(diǎn),找到正確的等量關(guān)系,再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算差角終邊與單位圓交點(diǎn)間的距離并化簡.

4.2 反思教學(xué)

本節(jié)課的主要流程為“創(chuàng)設(shè)問題情境—抽象數(shù)學(xué)問題—形成猜想—驗(yàn)證猜想—得出結(jié)論—解決問題—深化結(jié)論”,以問題鏈的形式驅(qū)動學(xué)生思考,以問題情境和學(xué)生的舊知(誘導(dǎo)公式)為出發(fā)點(diǎn),利用研究三角函數(shù)的常用工具——平面直角坐標(biāo)系和單位圓,不斷探究,自然“生長”出新的知識點(diǎn)——兩角差的余弦公式,然后回歸到最開始的問題情境解決問題,最后深化主題,將公式的變形應(yīng)用留作課后思考題,引發(fā)學(xué)生的進(jìn)一步思考.整個(gè)教學(xué)過程讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題,其間滲透了數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).