合理構(gòu)建函數(shù),巧解數(shù)學(xué)問題

? 江蘇省海安高級(jí)中學(xué) 張 梅

在教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)過程中,合理構(gòu)建函數(shù),可以更好地了解與認(rèn)識(shí)、處理與解決相關(guān)問題,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)解題中比較常用的一種基本技巧與方法.而函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一條主線,是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的一種具體數(shù)學(xué)抽象,利用函數(shù)模型加以合理處理,特別在一些代數(shù)式、方程、不等式、解三角形等其他知識(shí)中,或合理改進(jìn),或無中生有,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)模型,用函數(shù)的語言(包括概念、圖象與基本性質(zhì)等)來表達(dá)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題,從而使得問題得以巧妙解決.

1 破解代數(shù)式問題

分析:將條件關(guān)系式看作關(guān)于x的方程,利用求根公式用含y的關(guān)系式來表示x,再代入所求的代數(shù)關(guān)系式,通過構(gòu)造函數(shù)f(y),利用導(dǎo)數(shù)法確定所求代數(shù)關(guān)系式的最小值.

解析:由x+4y=x2y3,整理可得

y3x2-x-4y=0.

點(diǎn)評(píng):借助合理數(shù)學(xué)建模,利用方程的巧妙轉(zhuǎn)化與相關(guān)根的求解,結(jié)合代數(shù)式的變形,自然聯(lián)想到通過構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)解決問題.導(dǎo)數(shù)法是破解一些代數(shù)關(guān)系式最值問題常用的技巧方法,關(guān)鍵是通過合理變形,將代數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.

2 破解方程問題

例2(2023屆廣東省深圳市六校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·8)已知x1是lnx+x=5的根,x2是ln (4-x)-x=1的根,則( ).

A.x1+x2=4 B.x1+x2∈(5,6)

C.x1+x2∈(4,5) D.x1+x2=5

分析:結(jié)合對(duì)應(yīng)方程的根,通過“元”的認(rèn)識(shí),進(jìn)行整體化思維,合理轉(zhuǎn)化方程,巧妙同構(gòu)函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合兩函數(shù)值的相等關(guān)系,進(jìn)而建立函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的自變量之間的關(guān)系,最后得以確定兩方程的根的和式的值.

解析:由ln (4-x)-x=1,可得

ln (4-x)+4-x=5.

根據(jù)題意,可得lnx1+x1-5=0,ln (4-x2)+4-x2-5=0.

構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx+x-5,x>0,則有f(x1)=0,f(4-x2)=0,從而f(x1)=f(4-x2).

所以有x1=4-x2,即x1+x2=4.

故選擇答案:A.

點(diǎn)評(píng):借助整體化思維以及方程的轉(zhuǎn)化與對(duì)應(yīng)函數(shù)的同構(gòu),利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來分析并確定函數(shù)的單調(diào)性,利用兩函數(shù)值相等的條件進(jìn)行性質(zhì)的應(yīng)用,從而得以方程化處理問題.借助方程的轉(zhuǎn)化與函數(shù)的同構(gòu),通過函數(shù)單調(diào)性的確定,從“數(shù)”的視角來合理構(gòu)建,巧妙破解.

3 破解不等式問題

分析:不失一般性確定變量的大小關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)原不等式進(jìn)行恒等變形與轉(zhuǎn)化,合理構(gòu)建函數(shù),結(jié)合函數(shù)值的大小關(guān)系來確定該函數(shù)的單調(diào)性,通過求導(dǎo)處理,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的不等式恒成立來轉(zhuǎn)化,結(jié)合不等式的性質(zhì)以及對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性來確定參數(shù)的取值范圍問題.

解析:不妨設(shè)1≤x10.

即x1(lnx2+m)

因?yàn)楹瘮?shù)y=1-lnx在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞減,所以1-lnx的最大值為1-ln 1=1.

所以m≥1.

故填答案:[1,+∞).

點(diǎn)評(píng):借助不等式的巧妙轉(zhuǎn)化與變形,通過合理構(gòu)建,結(jié)合同構(gòu)函數(shù)法進(jìn)行處理是破解此類問題中比較常見的技巧方法.破解的關(guān)鍵就是合理恒等變形與轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的不等式或函數(shù)式,進(jìn)而合理構(gòu)建,利用函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性)來合理轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得以巧妙求解.

4 破解其他問題

分析:由已知結(jié)合余弦定理建立不等式b2>a2+c2,又結(jié)合三角形的性質(zhì)知a+c>b,放縮處理建立對(duì)應(yīng)的不等式,通過換元處理構(gòu)建單變量函數(shù),從不等號(hào)兩邊分別利用構(gòu)建函數(shù)并結(jié)合求導(dǎo)處理,通過函數(shù)的單調(diào)性與極值來確定對(duì)應(yīng)的取值范圍,進(jìn)而得以確定其對(duì)應(yīng)的取值范圍問題.

解析:由題意可知cosB<0,結(jié)合余弦定理,有

b2=a2+c2-2accosB>a2+c2.

又由三角形的性質(zhì),知a+c>b,則當(dāng)c≥a時(shí),

點(diǎn)評(píng):涉及解三角形最值問題的常見技巧策略是利用不等式和消元構(gòu)建函數(shù)求解,多元變量可以逐個(gè)消元,也可以利用齊次消元,還可以利用某些不等關(guān)系消元.構(gòu)建函數(shù),利用求導(dǎo)處理,是破解此類問題是比較有效的基本手段與方法之一.

構(gòu)建函數(shù)既是一種方法,更是一種意識(shí).合理根據(jù)數(shù)學(xué)思維方式,結(jié)合函數(shù)的概念、圖象與基本性質(zhì)等,建立起與相關(guān)問題相吻合的函數(shù)模型,合理改進(jìn),巧妙創(chuàng)新.在數(shù)學(xué)解題過程中不斷學(xué)習(xí)、深入、適應(yīng)、模仿、套用、改進(jìn)并創(chuàng)新,從而更加深入地借助函數(shù)來解決一些相關(guān)問題,不斷加深對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)概念的掌握、數(shù)學(xué)知識(shí)的理解以及數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用,舉一反三,融會(huì)貫通,進(jìn)而提高數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).