巧用振幅矢量法求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

陳 龍 劉欽釗 馬仕彪

(安徽省濉溪中學(xué),安徽 淮北 235100)

在高中物理中,能精確求解時(shí)間的運(yùn)動(dòng)過(guò)程并不多,常見的是勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻變速直線運(yùn)動(dòng)。對(duì)于變加速直線運(yùn)動(dòng)偶爾也可以通過(guò)特殊方法求解,比如在機(jī)車啟動(dòng)過(guò)程中可以利用牽引力做功等于恒定功率乘以時(shí)間來(lái)求解,在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中可以利用動(dòng)量定理來(lái)求解。對(duì)于變加速運(yùn)動(dòng)求時(shí)間的問題,原則上都可以利用微積分求解,這種方法對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)要求較高。如果利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的知識(shí),很多變加速過(guò)程的時(shí)間問題都可以相對(duì)容易地得到解決,而不必借助微積分。

但是對(duì)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),高中階段也大多考查與周期等相關(guān)時(shí)間的求解,如果將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與旋轉(zhuǎn)矢量相結(jié)合,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中任意過(guò)程的時(shí)間都可以求解。

1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和振幅矢量法

物體在平衡位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)稱為振動(dòng)。從力的角度來(lái)說(shuō),物體之所以在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng),是因?yàn)樗x開平衡位置后會(huì)受到一個(gè)指向平衡位置的力,這個(gè)力稱為回復(fù)力。如果回復(fù)力的大小與物體相對(duì)平衡位置的位移成正比,且始終指向平衡位置,用公式表達(dá)為:f=-kx,其中負(fù)號(hào)表示回復(fù)力和位移的方向相反,k為比例系數(shù),這種回復(fù)力稱為線性回復(fù)力,此時(shí)物體的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

如圖1所示,水平放置的輕彈簧一端固定,另一端與滑塊相連,置于光滑水平面上,彈簧無(wú)形變時(shí)物塊處于O點(diǎn),將其移動(dòng)至a點(diǎn)由靜止釋放,滑塊開始做變加速運(yùn)動(dòng),從a點(diǎn)開始通過(guò)O點(diǎn)到達(dá)a′點(diǎn),然后又經(jīng)過(guò)O點(diǎn)回到a點(diǎn),此后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程。a點(diǎn)和a′點(diǎn)到O點(diǎn)的距離相等,這個(gè)距離稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅,記為A,它對(duì)應(yīng)物體離開平衡位置的最大位移。從a→O→a′→O→a,這個(gè)往復(fù)過(guò)程具有周期性,周期為T。物塊在位移x處,彈簧彈力與位移的關(guān)系為:f=-kx,其中k代表彈簧的勁度系數(shù),負(fù)號(hào)代表彈簧彈力與位移方向相反,可見彈簧振子滿足做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件。

圖1

圖2

旋轉(zhuǎn)矢量的角速度對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率,旋轉(zhuǎn)矢量在計(jì)時(shí)開始時(shí)與x軸的夾角對(duì)應(yīng)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相位,旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅。因此任意一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)都與一個(gè)上述的旋轉(zhuǎn)矢量相對(duì)應(yīng),簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的任意一個(gè)位置都與旋轉(zhuǎn)矢量圓上的點(diǎn)相對(duì)應(yīng),這種處理簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方法叫作振幅矢量法。如圖3所示,在物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,經(jīng)過(guò)的點(diǎn)分別與圓上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)。利用這種方法可以很直觀地描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),便于解決問題,特別是當(dāng)問題所對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程不是四分之一周期的整數(shù)倍時(shí),時(shí)間的求解就會(huì)變得非常直觀、簡(jiǎn)單。

圖3

2 振幅矢量法的應(yīng)用

例1:物體從傾角為θ的斜面頂端由靜止開始下滑,動(dòng)摩擦因數(shù)從頂端到底端按照μ=kx變化,且物體未到達(dá)底部前已停止運(yùn)動(dòng),求物體從開始到停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。

圖4

圖5

例2:勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直固定在水平桌面上,將小球放于彈簧上端,靜止時(shí)彈簧的壓縮量為x1。按壓小球使彈簧繼續(xù)被壓縮,壓縮的距離為x2,且x2>x1然后松開,求小球上升到最高點(diǎn)所需時(shí)間。

圖6

圖7

點(diǎn)評(píng):小球和彈簧構(gòu)成了豎直方向的彈簧振子,小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。但是從小球開始運(yùn)動(dòng)到脫離彈簧,整個(gè)過(guò)程大于四分之一周期而又小于半個(gè)周期,無(wú)法用常規(guī)的方法求解時(shí)間。利用旋轉(zhuǎn)矢量圓,時(shí)間的求解就轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)角度的求解。

例3:輕彈簧勁度系數(shù)為k,一端固定在墻壁,另一端連接質(zhì)量為m的物塊,物塊與桌面間的滑動(dòng)摩擦力為f。開始時(shí)彈簧處于自然長(zhǎng)度,物塊的初速度為v0,從開始?jí)嚎s彈簧到速度為零用時(shí)為t1,接著從速度為零到再次恢復(fù)原長(zhǎng)用時(shí)為t2,求t1和t2。

圖8

圖9

圖10

點(diǎn)評(píng):相比于例2,例3中物塊的平衡位置在改變,這是因?yàn)槲飰K在左、右運(yùn)動(dòng)時(shí)所受滑動(dòng)摩擦力的方向發(fā)生了變化,所以本題的關(guān)鍵是確定好這兩個(gè)不同的平衡位置,以及由于不同的平衡位置所導(dǎo)致的不同振幅。

綜上所述,只要我們能夠確定物體的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),結(jié)合振幅矢量法,很多常規(guī)方法很難處理的時(shí)間、速度等問題都可以輕松求解。