運(yùn)用Mathematica軟件進(jìn)行開普勒定律教學(xué)

鄭 磊 李 學(xué)

(1. 北京市第十三中學(xué),北京 100120;2. 北京市第九中學(xué),北京 100041)

1 引言

“行星的運(yùn)動(dòng)”是人教版高中物理必修第二冊(cè)第七章的內(nèi)容,教學(xué)重點(diǎn)是開普勒定律,理解該節(jié)內(nèi)容對(duì)接下來學(xué)習(xí)萬有引力定律具有至關(guān)重要的作用。開普勒定律是開普勒在第谷等人天文觀測(cè)的基礎(chǔ)上,運(yùn)用數(shù)學(xué)手段總結(jié)得出的,在常態(tài)化教學(xué)中一般通過史實(shí)的介紹,幫助學(xué)生了解開普勒定律,這種未經(jīng)鋪墊就直接給出開普勒定律的教學(xué)方式略顯突兀。如果能夠帶領(lǐng)學(xué)生“重走”開普勒的探究之路,引導(dǎo)學(xué)生自主觀察、歸納、總結(jié)得出行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律,便能更有效地幫助學(xué)生理解開普勒定律,為以后萬有引力定律的學(xué)習(xí)掃清障礙。

基于以上想法,利用Mathematica軟件就可以幫助我們解決這個(gè)問題,該軟件可以支持?jǐn)?shù)值和符號(hào)計(jì)算,實(shí)現(xiàn)引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)等多種模式的交互式組合,3D動(dòng)畫演示功能比較成熟。中學(xué)教師可以利用Mathematica軟件的3D建模與繪圖功能,帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)天體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行探究。

2 運(yùn)用Mathematica軟件進(jìn)行教學(xué)

運(yùn)用Mathematica軟件進(jìn)行“行星的運(yùn)動(dòng)”教學(xué)的思路如下:建立行星的動(dòng)力學(xué)微分方程,[1]仿真呈現(xiàn)其運(yùn)動(dòng)軌跡,分別創(chuàng)建出行星在不同狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)過程,引導(dǎo)學(xué)生觀察不同狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)軌跡,進(jìn)行歸納總結(jié),最終得出結(jié)論。

2.1 開普勒第一定律

利用Mathematica軟件對(duì)上述方程進(jìn)行數(shù)值求解,[2]即可得到該行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo),再通過軟件的3D繪圖功能可模擬行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)情況,圖1所示為行星初速度v0=30 km/s時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖1

圖2

從圖2我們可以發(fā)現(xiàn),行星繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)是個(gè)特例,只有行星在軌道上以特定的速度運(yùn)行時(shí)才能做圓周運(yùn)動(dòng),在其他初速度下的運(yùn)動(dòng)軌跡都為橢圓,且太陽處于橢圓的其中一個(gè)焦點(diǎn)上。通過軟件的動(dòng)畫模擬,如果初速度v0小于30 km/s,行星做向心運(yùn)動(dòng),速度先增大后減小;如果初速度v0大于30 km/s,行星做離心運(yùn)動(dòng),速度先減小后增大(圖3)。開普勒早在1605年,便試圖用磁力假說解釋行星運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道,只不過當(dāng)時(shí)的解析幾何學(xué)的發(fā)展不夠完備,開普勒只能根據(jù)當(dāng)時(shí)已有的理論推導(dǎo)行星運(yùn)動(dòng)軌道的特性,這大大增加了求解的難度,但經(jīng)過不懈的努力,他還是給出了橢圓軌道距離的正確表達(dá)式。[3]

圖3

2.2 開普勒第二定律

繼續(xù)利用Mathematica軟件處理該行星的運(yùn)動(dòng)(初速度v0=36 km/s),其強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算功能,取相等的時(shí)間間隔記錄一次行星的位置,將這些位置與太陽進(jìn)行連線,計(jì)算這些位置與太陽的連線所掃過的面積,并逐漸縮小時(shí)間間隔,發(fā)現(xiàn)行星與太陽的連線在任意相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積均相同(圖4)。結(jié)合圖3的動(dòng)畫演示,說明了行星在公轉(zhuǎn)軌道上運(yùn)動(dòng)的另一特點(diǎn):行星距離太陽較近時(shí),運(yùn)行速度較大;離太陽較遠(yuǎn)時(shí),運(yùn)行速度較小。

Δt=0.46yearS=4.1×1022 m2

Δt=0.15yearS=1.4×1022 m2

Δt=0.077yearS=6.43×1021 m2圖4

2.3 開普勒第三定律

為了重演開普勒探究第三定律的過程,將表1中各行星軌道的半長(zhǎng)軸與運(yùn)行周期進(jìn)行相關(guān)的排列組合,試圖找到行星軌道的半長(zhǎng)軸與運(yùn)行周期的規(guī)律,最為簡(jiǎn)單的方法就是描點(diǎn)繪圖,通過將每一個(gè)行星軌道的半長(zhǎng)軸與運(yùn)行周期作為坐標(biāo)點(diǎn)(x,y)繪制圖像,觀察圖像的形狀。

表1

當(dāng)然,我們不能僅探究周期一次方與半長(zhǎng)軸一次方之間的關(guān)系,通過圖5可以看出T-r圖線為一條曲線,我們不妨將行星的半長(zhǎng)軸和周期進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算,再一一將他們進(jìn)行排列組合,找到T-r2、T-r3等多種組合方式,利用Mathematica軟件強(qiáng)大的繪圖功能繪制出不同的Tm-rn圖像(圖5)。從圖5的6條函數(shù)圖像中,我們能夠發(fā)現(xiàn)一條最為特殊的函數(shù)圖像,就是T2-r3,它是一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線,這條直線告訴我們,繞太陽運(yùn)動(dòng)的所有行星,其公轉(zhuǎn)軌道半長(zhǎng)軸的立方跟公轉(zhuǎn)周期的平方之比為一定值。觀察這條直線,自然科學(xué)規(guī)律的簡(jiǎn)潔性與普適性一目了然,這正是無數(shù)物理學(xué)家堅(jiān)持不懈、為之奮斗的目標(biāo)所在。

圖5

開普勒經(jīng)過長(zhǎng)達(dá)十年的研究,在1619年發(fā)表了開普勒第三定律:所有行星軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等。當(dāng)然,開普勒提出開普勒第三定律的過程,遠(yuǎn)比我們通過簡(jiǎn)單的排列組合后描點(diǎn)繪圖尋找規(guī)律的方法要復(fù)雜得多,他為了找到太陽系行星公轉(zhuǎn)軌道的規(guī)律,嘗試了無數(shù)種組合方式,耗時(shí)數(shù)年以當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)手段成功得出了結(jié)論。數(shù)百年后的今天,我們的數(shù)字化技術(shù)已經(jīng)得到飛速發(fā)展。反觀當(dāng)時(shí)的開普勒,無論是他發(fā)表的科學(xué)成就,還是他探秘溯源的科學(xué)精神,無疑都是留給我們的寶貴財(cái)富。

3 反思與啟示

3.1 經(jīng)歷探究過程,養(yǎng)成科學(xué)態(tài)度

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中提出:“高中物理課程是普通高中自然學(xué)科領(lǐng)域的一門基礎(chǔ)課程,旨在落實(shí)立德樹人根本任務(wù),進(jìn)一步提高學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng),為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ),促進(jìn)人類科學(xué)事業(yè)的傳承與社會(huì)的發(fā)展。”物理學(xué)科核心素養(yǎng)包括物理觀念、科學(xué)思維、科學(xué)探究、科學(xué)態(tài)度與責(zé)任四個(gè)方面。在課堂上讓學(xué)生觀察行星的運(yùn)動(dòng)軌跡、行星位置與太陽連線的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),以排列組合的方式將(Tm-rn)坐標(biāo)描點(diǎn)繪制Tm-rn圖像,總結(jié)運(yùn)行周期與軌道半長(zhǎng)軸的關(guān)系等探究活動(dòng),重演開普勒觀察現(xiàn)象、提出猜想、總結(jié)規(guī)律的探究過程,培養(yǎng)學(xué)生自主實(shí)踐、獨(dú)立思考、總結(jié)規(guī)律的能力。學(xué)生在自主實(shí)踐活動(dòng)中,深刻理解知識(shí),養(yǎng)成科學(xué)態(tài)度與責(zé)任,學(xué)習(xí)科學(xué)家實(shí)事求是、認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神,引導(dǎo)學(xué)生以史為鑒,結(jié)合自身的探究經(jīng)歷進(jìn)行反思,領(lǐng)悟物理學(xué)的真諦。

3.2 在物理教學(xué)中科學(xué)地應(yīng)用信息技術(shù)

隨著數(shù)字信息化時(shí)代的到來,科技已經(jīng)滲透到生活中的方方面面,在教學(xué)中科學(xué)地應(yīng)用信息技術(shù),往往能夠達(dá)到事半功倍的效果。以開普勒三定律的教學(xué)為例,在教學(xué)中引入Mathematica軟件,利用其強(qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算和3D繪圖功能,省去了繁雜的計(jì)算過程,通過3D動(dòng)畫演示功能創(chuàng)設(shè)可視化環(huán)境,將行星的運(yùn)動(dòng)直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生,有效地培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和總結(jié)規(guī)律的能力。

科學(xué)計(jì)算軟件以其數(shù)字化編程的特點(diǎn),決定了它相比傳統(tǒng)教學(xué)手段具有一些特有的優(yōu)勢(shì):Mathematica軟件可以用于模擬理想實(shí)驗(yàn),打破了實(shí)驗(yàn)室的條件限制;利用Mathematica軟件可以生成3D動(dòng)畫進(jìn)行演示,能夠讓教師根據(jù)教學(xué)需求改變實(shí)驗(yàn)參數(shù),模擬、分析參數(shù)變化帶來的影響,可快進(jìn)、暫停、慢放動(dòng)畫,幫助教師引導(dǎo)學(xué)生觀察變化,總結(jié)物理規(guī)律,驗(yàn)證猜想;實(shí)驗(yàn)結(jié)果方便儲(chǔ)存,在科技如此便捷的今天,通過微信等即可完成傳輸,在一定程度上提高了教師的教學(xué)效率。

3.3 取其之長(zhǎng),避其之短

如何在教學(xué)中應(yīng)用信息技術(shù),需要教師不斷學(xué)習(xí),不斷創(chuàng)新。值得注意的是,應(yīng)用數(shù)字化教學(xué)工具并不是完全取代傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué),對(duì)于設(shè)備操作復(fù)雜或?qū)嶒?yàn)條件困難的課程,可以應(yīng)用科學(xué)計(jì)算軟件與傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)相結(jié)合,二者相輔相成,更能促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。對(duì)于本課例,學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)萬有引力定律,在行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程理解方面存在一定的困難,教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際,不必要求學(xué)生掌握3D建模原理,只需要通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié)規(guī)律即可。這樣不僅能減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),而且能夠激發(fā)學(xué)生的探索欲望,使其在動(dòng)態(tài)的教學(xué)環(huán)境下自主進(jìn)行歸納總結(jié),加深對(duì)物理規(guī)律的理解。