也談數(shù)學閱讀及其教學

吳文娟

摘要：數(shù)學閱讀有助于學生數(shù)學語言理解和表達水平的提高、對數(shù)學知識的深度理解，以及自主學習能力的提升、對數(shù)學好奇心和求知欲的培養(yǎng)。開展數(shù)學閱讀教學，要用好數(shù)學教材中的例題、習題以及拓展閱讀內容，補充教材之外的數(shù)學史材料，開發(fā)教材之外的思維拓展類、跨學科實踐類閱讀材料；還要在課前設計“閱讀學習單”，在課中梳理閱讀問題，在課后拓寬學生眼界。對學生數(shù)學閱讀素養(yǎng)的評價可以從閱讀興趣、閱讀習慣和閱讀能力三個維度進行。

關鍵詞：小學數(shù)學；數(shù)學閱讀；閱讀材料；過程指導；素養(yǎng)評價

蘇霍姆林斯基曾說：“一個人的智力啟蒙、道德養(yǎng)成、素質培養(yǎng)以及創(chuàng)新能力的發(fā)展，都離不開閱讀?！睌?shù)學知識的掌握、數(shù)學方法的理解、數(shù)學思想的感悟等，都要通過對數(shù)學語言的閱讀來完成。

一、數(shù)學閱讀的內涵與價值

（一）內涵

數(shù)學閱讀是指學習者圍繞數(shù)學材料或數(shù)學問題，根據已有的數(shù)學知識或經驗，以數(shù)學語言為載體，以數(shù)學思維為基礎，用數(shù)學的方法、思想來理解、吸取知識，感受、領悟文化的學習活動。［1］根據上述對數(shù)學閱讀內涵的論述，我們可以從數(shù)學閱讀的一般性和特殊性來概括數(shù)學閱讀的特點：

首先，數(shù)學閱讀具有一般閱讀的共性。它是一種學習活動，需要學習者對閱讀材料進行內部言語的轉化，然后在頭腦中進行加工。這是發(fā)生在學習者頭腦中的，具有一定的內隱性。

其次，數(shù)學閱讀具有數(shù)學學科的特性。（1）數(shù)學閱讀的材料由文字語言、符號語言和圖表語言組成，具有簡潔、準確等特點，閱讀時需要在三種語言之間靈活轉換；（2）數(shù)學閱讀的材料主要用歸納和演繹的方法呈現(xiàn)，體現(xiàn)數(shù)學的嚴謹性，閱讀時需要用到抽象、概括、分析、綜合、比較、轉化等數(shù)學思維方法；（3）數(shù)學閱讀往往需要手腦并用、讀寫結合、認真細致，才能較好地理解、吸收閱讀內容；（4）數(shù)學閱讀的效果與學習者原有的數(shù)學知識和經驗密切相關。

（二）價值

第一，數(shù)學閱讀有助于學生數(shù)學語言理解和表達水平的提高。數(shù)學語言是溝通真實世界與數(shù)學世界的橋梁、理解數(shù)學世界的工具和解決數(shù)學問題的載體。［2］隨著時代的發(fā)展，數(shù)學語言的交流功能日益增強。要實現(xiàn)數(shù)學語言的交流，就要理解數(shù)學語言并用數(shù)學語言進行準確的表達。數(shù)學閱讀的材料正是用數(shù)學語言組織的，學習者在三種語言之間進行靈活的轉換，正是在促進數(shù)學語言的理解和表達。

第二，數(shù)學閱讀有助于學生對數(shù)學知識的深度理解。很多數(shù)學閱讀材料是對數(shù)學知識的拓展和延伸，或用另一種直觀趣味的形式表達數(shù)學知識，這樣更利于學生加深對所學數(shù)學知識的理解。例如，二年級教學“萬以內數(shù)的認識”，重點是理解十進位值制記數(shù)法。教師引導學生閱讀有關古人計（記）數(shù)的材料，了解十進位值制記數(shù)產生的歷史，使學生深刻理解十進位值制記數(shù)的原理。

第三，數(shù)學閱讀有助于學生自主學習能力的提升。“教是為了不教”的道理早就告訴我們要培養(yǎng)學生的自主學習能力，培養(yǎng)其成為終身學習者。閱讀是學生未來學習的主要途徑。數(shù)學閱讀有助于培養(yǎng)學生的自主學習習慣，提升自主學習能力。

第四，數(shù)學閱讀有助于學生個性化學習，培養(yǎng)對數(shù)學的好奇心和求知欲。數(shù)學閱讀豐富的內容能滿足學生個性化學習的需求，使不同的學生可以根據自己的興趣選擇閱讀材料，在點上深入，于面上擴展。比如，張景中院士的科普著作《數(shù)學家的眼光》，精心組織閱讀材料，充分挖掘了數(shù)學的趣味價值、生活價值、育人價值，展示了數(shù)學的知識源流、功能定位、審美娛樂與多元文化。

總之，數(shù)學閱讀對學生數(shù)學眼光、數(shù)學思維、數(shù)學語言的培養(yǎng)和訓練有不可或缺的積極作用，可以打通課堂內外、學校內外的學習壁壘，實現(xiàn)由學科教學到學科育人。

二、數(shù)學閱讀材料的利用和開發(fā)

除了教材，現(xiàn)有的數(shù)學閱讀材料，如一些數(shù)學科普讀物，絕大多數(shù)針對性不強、知識點分散，并不十分契合小學生數(shù)學閱讀的需要。因此，要開展數(shù)學閱讀教學，除了要用好教材，還要適度開發(fā)匹配學情的數(shù)學閱讀材料。

（一）用好數(shù)學教材中的例題、習題

現(xiàn)行小學數(shù)學教材多以問題驅動探索、引領發(fā)現(xiàn)知識的方式編排，其中例題和習題占據主要篇幅。而審題閱讀是一種十分重要的數(shù)學閱讀，因此數(shù)學教材中的例題和習題是學生數(shù)學閱讀最重要的資源?，F(xiàn)行小學數(shù)學教材中，例題的情境富有生活氣息，形式常為卡通人物對話，從而利于學生代入思考；習題采用文字語言、符號語言、圖表語言描述，從而利于學生在閱讀中不斷增強三種數(shù)學語言的理解、表達和意義轉換。

對于例題和習題，有時可以放手讓學生自主閱讀，尋找條件和問題，理清關系；有時則需要適度提問，使學生能聚焦閱讀的重點和難點，這樣的提問既是一種引導，也是一種自主閱讀的示范。

例如，引導學生閱讀蘇教版小學數(shù)學三年級下冊第27頁例1（如下頁圖1所示）時，教師提問：仔細讀題，已知哪些條件，要求什么問題？學生回答后發(fā)現(xiàn)條件很多。教師繼續(xù)提問：你打算選擇哪些條件來解決問題？為什么？將閱讀的重點引向對問題的理解。學生回答：應該選擇“單價為130元的運動服”和“單價為85元的運動鞋”這兩個條件，因為要使剩下的錢最多，就要買最便宜的商品。

（二）用足數(shù)學教材中的拓展閱讀內容

數(shù)學教材中的拓展閱讀內容（如蘇教版小學數(shù)學教材中的《你知道嗎》欄目）是非常適合學生拓寬、加深數(shù)學認識的數(shù)學閱讀材料。但是，很多教師囿于考試要求以及知識和技能目標，忽視了學生對拓展閱讀內容的閱讀，最多讓學生讀一遍就過去了。要用足拓展閱讀內容，需要充分挖掘教材限于篇幅所給的簡短內容背后更豐富的內涵。

例如，蘇教版小學數(shù)學六年級上冊“比的認識”內容后的《你知道嗎》欄目介紹了“黃金比”，只用了短短的三行字。如果只是讓學生讀一讀，則學生根本不能對“黃金比”有多少體會。所以，我們圍繞“黃金比”進行拓展設計，從讓學生選擇“最美長方形”的實踐活動入手，探索長方形最美的原因，發(fā)現(xiàn)當寬與長的比接近黃金比時，是大家公認的最美長方形。之后，又讓學生不斷了解生活中黃金比的應用，深化對黃金比的認識。用了整整一節(jié)課，讓學生對“黃金比”的歷史、定義、應用有了比較全面的了解。實際上，蘇教版小學數(shù)學教材中的每一個《你知道嗎》都能拓展開發(fā)出內容豐富的數(shù)學閱讀材料。

（三）補充教材之外的數(shù)學史材料

數(shù)學史不僅追溯數(shù)學內容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且探索影響這一過程的各種因素，以及數(shù)學學科的演變、發(fā)展對人類文明的影響。了解一些數(shù)學史，知道某個數(shù)學知識的學術意義和生活意義，感受數(shù)學家的執(zhí)著追求精神，展望數(shù)學發(fā)展的前景，對學生加深對數(shù)學知識的理解、感受數(shù)學思想方法、增強數(shù)學學習的興趣、培養(yǎng)嚴謹專注的學習態(tài)度都大有好處。

例如，教學“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”后，我們開發(fā)了有關乘法計算的歷史閱讀材料，展現(xiàn)從古人用算籌、算盤計算到“鋪地錦”、畫線計算，再到信息時代

用計算機計算的歷程，并將閱讀材料錄制成形象生動的視頻，使學生對枯燥的乘法計算有了全新的認識，驚嘆于人類的智慧。

（四）開發(fā)教材之外的思維拓展類閱讀材料

思維拓展類閱讀材料是基于教材內容適度提升，著重訓練學生數(shù)學思維的閱讀材料。學生閱讀這類材料時，在提示語的引導下，邊讀邊思，自主探索，用數(shù)學的知識和方法解決有關的問題。我們系統(tǒng)開發(fā)了三至六年級思維拓展類閱讀材料，編成學生讀物，仿照教材的設計，通過例題講解、卡通人物提問、“試一試”、“小試牛刀”等方式或板塊，引導學生自主閱讀；同時，對每道例題，都會進行方法或策略的總結，使學生在閱讀中發(fā)展分析、綜合、演算、推理等一系列思維能力。

例如，學習了“長方體表面積和體積的計算”后，學生雖然能熟練地計算長方體的表面積和體積，但是遇到長方體補、割、增、減（長、寬、高）等有所變化的情況時，常常不知道該怎樣思考，也很難發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律，算出相應的表面積和體積。這樣的“變化”內容（問題）對學生空間觀念的發(fā)展、數(shù)學思維的培養(yǎng)有很大的好處。因此，我們開發(fā)了《長方體表面積和體積的變化》思維拓展類閱讀材料，精心設計了兩道例題，引導學生畫出示意圖后解答，并總結解題經驗。例題如下：

1.兩個長、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的小長方體拼成一個大長方體。這個大長方體的表面積最小是多少平方厘米？

2.一個長方體長10分米、寬3分米、高5分米。如果要使這個長方體的表面積增加32平方分米，寬和高不變，求增加后長方體的體積。

（五）開發(fā)教材之外的跨學科實踐類閱讀材料

數(shù)學閱讀要更好地理解文字語言、符號語言和圖表語言，除了分析、綜合、演算、推理等思維活動，常常還需要借助工具、模型等，開展數(shù)學實驗，進行驗證。同時，數(shù)學也是其他學科研究和交流的工具，科學、藝術甚至語文中都藏著數(shù)學，生活中應用數(shù)學知識解決的實際問題更是舉不勝舉。因此，可以立足數(shù)學學科，開發(fā)跨學科實踐類閱讀材料，引導學生在閱讀時動手動腦，融合多學科知識解決實際問題。開發(fā)這類材料時，要找準學生的興趣點，把握學生的知識基礎，廣泛收集閱讀資料，進行合理的篩選和組合。

例如，我們開發(fā)了《神奇的莫比烏斯環(huán)》跨學科實踐類閱讀材料：

神奇的莫比烏斯環(huán)

傳說，古時候波斯的哈里發(fā)有一位才貌雙全的公主，吸引了眾多聰明英俊的小伙子前來求婚。哈里發(fā)為有這樣一個出眾的女兒而自豪，決定從求婚者中挑選一位才智超群的青年為女婿。他出了一道題目，并聲明誰最先解出這道題，便把女兒嫁給誰。哈里發(fā)的題目是這樣的：請用線把圖2中寫有相同數(shù)字的小圓圈連接起來，但所連的線不許相交，不許經過中間陰影區(qū)域。

追求者們紛紛連起線來，但他們抓耳撓腮，左連右接，也沒得出個結果，最后全都乘興而來，敗興而歸。

同學們，這個問題是不是很難呢？

【動手做】

實驗一：在一張長方形的紙條中間畫一條直線，再首尾相粘，做成一個紙圈。沿紙圈中間的直線剪開，會怎么樣呢？

實驗二：將一張同樣畫有直線的長方形紙條扭轉180度后再首尾相粘，做成一個紙圈。沿紙圈中間的直線剪開，會怎么樣呢？

【你知道嗎】

莫比烏斯環(huán)是由德國著名數(shù)學家和天文學家莫比烏斯在1858年發(fā)現(xiàn)的，他把一張二維平面的紙，變成了一個三維立體的莫比烏斯環(huán)，這樣的環(huán)只有單側的曲面。如果我們找一只螞蟻放在莫比烏斯環(huán)上爬行，螞蟻可以很輕松地爬遍整個曲面，而不需要翻越邊緣（如圖3）。

隨著科技的迅猛發(fā)展，莫比烏斯環(huán)在各個領域展現(xiàn)了十分廣闊的前景。圖4是荷蘭建筑公司以莫比烏斯帶為原型，利用3D打印技術創(chuàng)造的沒有起點，也沒有終點的建筑風景屋。還有哈薩克斯坦國家圖書館（如圖5），也是典型的采用莫比烏斯帶結構的建筑設計。

【小試牛刀】

1.你能解決文章開頭的問題了嗎？

2.你能根據莫比烏斯環(huán)設計一幅創(chuàng)意作品嗎？

從有趣的故事引入，讓學生在動手實踐中感受莫比烏斯環(huán)的神奇，再讓學生閱讀莫比烏斯環(huán)的歷史和生活應用，將數(shù)學、力學、美學等知識融合起來，使學生感悟數(shù)學的實踐意義。

三、數(shù)學閱讀教學要做好過程指導

作為基本的數(shù)學學習方式，數(shù)學閱讀應落實在日常的數(shù)學教學過程中。教師的指導應常態(tài)化，從而真正幫助學生培養(yǎng)閱讀習慣，掌握閱讀方法，形成個性化閱讀方式，有效提高數(shù)學閱讀能力。下面從日常教學的時段劃分入手，探索如何指導學生的數(shù)學閱讀。

（一）課前閱讀：設計“閱讀學習單”，擴大學生認知背景

作為基本的預習方式，課前閱讀除了讓學生初步理解新知，使課堂學習聚焦疑難問題，更加有效，還應讓學生充分感知，擴大認知背景，從而在課堂學習中更好地同化新知。為此，教師要精心設計“閱讀學習單”，以問題引領的方式，聚焦閱讀重點，指引閱讀路徑。

例如，蘇教版小學數(shù)學三年級下冊《年月日的秘密》一課，我們設計的“閱讀學習單”如下：

1.閱讀課本第44—45頁的內容，仔細觀察年歷，你能知道些什么？記錄下來。

（1）我知道了每個月的天數(shù)：

（2）我還知道了。

2.查一查資料，一年中有哪些有紀念意義的日子，在年歷上圈一圈，在下面寫一寫。

3.查一查資料或詢問家長，你還知道哪些有關“年月日”的知識和趣事？

4.關于“年月日”，你還有哪些問題？

這份“閱讀學習單”圍繞“年月日”，引導學生自主閱讀教材、查閱資料。通過指向學習目標的4個問題，使學生的閱讀有目的、有重點、有方向、有路徑，知道讀什么、怎么讀；并且用回答和提問的方式記錄閱讀的結果，也為教師準確了解學生課前閱讀后的學習基礎提供依據。

（二）課中閱讀：梳理閱讀問題，引領學生深度理解新知

課前閱讀后的課中學習不能再用常規(guī)的學習模式，而應該是“疑問導向式”學習：學生在自主探索、合作交流和進一步閱讀中，實現(xiàn)答疑解惑，獲得對新知的深度理解。在這個過程中，教師應該是引導者、組織者、支持者。引導者，即對學生自主閱讀后提出的問題進行梳理，明確重點問題、核心問題和次要問題、派生問題，引導學生集中解決重要問題、核心問題；組織者，即創(chuàng)設自主探索、合作交流和進一步閱讀的良好氛圍和環(huán)境，以驅動性任務使學生積極參與學習；支持者，即為學生提供相關的閱讀資源、學習工具、評價方案等，使學生在學習困難時能獲得有效的幫助。

例如，蘇教版小學數(shù)學三年級下冊《認識噸》一課，學生通過課前閱讀，知道了“噸是用來稱量比較重的或比較多的物品的質量單位，可以用字母t表示， 1噸=1000千克”，提出了“1噸到底有重？”的問題。解決這個問題既要讓學生閱讀，更要讓學生體驗。教學時，教師先出示教材中的情境圖，引導學生讀懂圖意：每袋大米100千克，有10袋大米，一共1000千克，就是1噸。學生了解了10袋100千克的大米是1噸，但對1噸仍然沒有感覺。教師再讓學生搬一搬一袋25千克的大米。1個學生搬不動，2個學生才能搬起來。又讓學生想一想：幾袋25千克的大米是1噸？學生口答：40袋。此時，教師讓學生想象一下，這樣的40袋大米堆起來有多高。學生驚訝地叫起來。此時，他們對1噸有了一定的感覺。教師接著出示教材中“想想做做”第1題的圖，引導學生讀懂圖意：每頭牛重500千克，2頭牛重1噸……這樣的“閱讀+實踐”的體驗方式，使學生逐漸形成對1噸的量感。

此外，對于課中閱讀，還要引導學生抓住數(shù)學表述的關鍵詞理解數(shù)學知識，體會數(shù)學語言的嚴謹性。例如，教學分數(shù)的基本性質“分子與分母同時乘或除以一個不為零的數(shù)，分數(shù)的大小不變”，要引導學生抓住“同時”“乘或除以”“不為零”等關鍵詞來理解。

（三）課后閱讀：拓寬學生眼界，倡導個性化學習

閱讀拉長了學習的時間軸，使學習不再是課堂的專利。課后閱讀應具有拓展性：基于教材又高于教材，是課內學習的延伸。學生通過課后閱讀解決課上沒有解決的問題，了解與新知相關的生活應用或其他學科聯(lián)系。這樣的閱讀更加符合學生的興趣愛好，更能體現(xiàn)數(shù)學的價值。例如，教學《用數(shù)對確定位置》后，教師推薦學生閱讀笛卡兒的故事，了解坐標系及用數(shù)對確定位置的歷史；教學《24時記時法》后，教師推薦學生閱讀地理學科中時區(qū)劃分的知識，了解更多有關時間的知識。實際上，上述第二至第五類閱讀材料都可以讓學生課后自主閱讀——當然，也可以在新知教學后組織補充閱讀，還可以開發(fā)成拓展性閱讀課或微課。我們基于微課短小精悍的特點，開發(fā)了100多節(jié)拓展性閱讀微課，讓一些數(shù)學閱讀能力弱、思維主動性差的學生通過觀看微課，獲得豐富的數(shù)學拓展知識。

除了紙質、電子材料的閱讀，還要基于其他載體將數(shù)學閱讀充分滲透學生的日常生活中，幫助學生在熟悉的情境中體驗數(shù)學閱讀無處不在。例如，認識千克后，讓學生到超市看看哪些物品的質量用千克表示，拎一拎這些物品有多重，再找找還有哪些地方有千克；認識小數(shù)后，讓學生到超市看看商品的價格，算一算購買某些商品一共要多少元，再找找還有哪些地方有小數(shù)。

四、通過素養(yǎng)評價及時反饋數(shù)學閱讀教學成效

對學生數(shù)學閱讀素養(yǎng)的評價可以從閱讀興趣、閱讀習慣和閱讀能力三個維度進行。

閱讀興趣、閱讀習慣的評價可以通過調查、訪問、觀察的方式獲得。評價量表如表1所示。

楊紅萍團隊的研究表明：三年級和六年級學生數(shù)學閱讀能力的結構相同，由概念理解能力、語言互譯能力、閱讀遷移能力、閱讀推理能力、空間想象能力和信息整合能力6個因素組成。［3］

概念理解能力是指對閱讀材料中涉及的數(shù)學概念理解和掌握的能力。概念是數(shù)學的基礎，概念理解是數(shù)學閱讀的基礎。一些學生之所以不能獨立地理解閱讀材料，往往是因為不理解其中涉及的數(shù)學概念，從而造成閱讀的斷裂、不連貫。

語言互譯能力是指閱讀數(shù)學材料時不斷地在文字語言、符號語言和圖表語言之間進行轉換的能力。例如，能夠用線段圖或示意圖表示題意，能夠由統(tǒng)計圖表準確地找到所要的信息，等等。

閱讀遷移能力是指將已有的數(shù)學知識和經驗自覺地應用到數(shù)學閱讀中，同時將閱讀中的收獲自覺地應用到下一次數(shù)學閱讀中的能力。例如，閱讀“神奇的黃金比”的材料，需要自覺應用比的知識理解黃金比的意義及形成。

閱讀推理能力是指閱讀數(shù)學材料時應用演繹或歸納法進行推理的能力。由此可以把握閱讀內容的邏輯關系，從而真正理解閱讀內容。例如，閱讀“圓面積的另一種計算”的材料，需要應用推理發(fā)現(xiàn)把圓轉化成近似的三角形后各部分之間的關系，再根據三角形的面積公式推導出圓的面積公式。

空間想象能力是指面對抽象、靜態(tài)的閱讀材料，通過自己的想象、思考形成直觀、動態(tài)的感受的能力。例如，閱讀《小圓點奇遇記》的故事，需要想象或畫圖，才能明白“過一點可以畫無數(shù)條直線”“過兩點只能畫一條直線”“從一點引出兩條射線就組成一個角”等內容。

信息整合能力是指對閱讀材料反映的信息優(yōu)化組合、綜合分析的能力。例如，閱讀一道數(shù)學題，需要從題目中抽取已知條件和所求問題，發(fā)現(xiàn)條件之間的聯(lián)系，挖掘問題背后隱藏的信息，等等。

以上六大閱讀能力的評價，可以通過觀察學生數(shù)學課堂的學習表現(xiàn)獲得；也可以通過設置閱讀表現(xiàn)性評價任務，觀察學生獨立完成數(shù)學閱讀任務的情況來分析獲得。評價量表如表2所示。

參考文獻：

［1］ 李興貴，幸世強，馮國衛(wèi)，等.新課程數(shù)學閱讀教學新論［M］.成都：四川大學出版社，2006：23.

［2］ 孫曉天，張丹.義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀：小學數(shù)學［M］.北京：教育科學出版社，2022：20.

［3］ 楊紅萍，楊捷，楊蓉蓉.中小學生數(shù)學閱讀能力結構發(fā)展研究［J］.數(shù)學教育學報，2022（4）：8085.