追根溯源，深化理解

桑坤

摘要：調(diào)查發(fā)現(xiàn)，“簡(jiǎn)便”是學(xué)生對(duì)豎式運(yùn)算順序的主要認(rèn)知依據(jù)。對(duì)此，教師帶領(lǐng)學(xué)生展開一場(chǎng)對(duì)“豎式”追根溯源的探尋，借助相關(guān)史料，引導(dǎo)學(xué)生在不斷地“猜想—驗(yàn)證”中，明了豎式的“前世今生”，深化對(duì)豎式的理解。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；豎式；數(shù)學(xué)史料；質(zhì)疑精神

一、教學(xué)背景

三年級(jí)教學(xué)“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”時(shí)，有學(xué)生會(huì)問(wèn)：在用豎式計(jì)算加法、減法、乘法的時(shí)候都是從低位算起，為什么在用豎式計(jì)算除法的時(shí)候就要從高位算起？除法豎式是否也能從低位算起？受到之前學(xué)習(xí)的加法、減法和乘法豎式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移，學(xué)生產(chǎn)生這樣的疑惑是非常自然的。這個(gè)問(wèn)題也具有

研究的意義和價(jià)值。筆者翻閱了各個(gè)版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材后發(fā)現(xiàn)，只有北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《除法》單元中對(duì)這一問(wèn)題有所提及（見圖1），但并未作出詳細(xì)的解釋與說(shuō)明。圖中女孩的回答僅僅是：“從低位算起，有時(shí)很麻煩！”但“麻煩”并不意味著不能從低位算起。

鑒于此，筆者在所執(zhí)教的六年級(jí)一個(gè)班做了一次“關(guān)于‘豎式’，你知道多少？”的學(xué)情調(diào)查，想了解一下即將畢業(yè)的小學(xué)生對(duì)于“豎式”知道些什么、思考過(guò)什么、是否產(chǎn)生過(guò)質(zhì)疑。具體調(diào)查內(nèi)容如下：（1）在用豎式計(jì)算乘法的時(shí)候，我們是從低位算起，是否也可以從高位算起？你是怎么想的？試著將你的想法寫出來(lái)。（2）在用豎式計(jì)算加法、減法和乘法的時(shí)候，我們是從低位算起，為什么除法豎式卻從高位算起？是否也可以從低位算起？你是怎么想的？試著將你的想法寫出來(lái)。

關(guān)于問(wèn)題1，所有學(xué)生都認(rèn)為可以從高位算起，但基本上都認(rèn)為從高位算起比較麻煩（圖2所示即為一名學(xué)生的回答）。關(guān)于問(wèn)題2，64%的學(xué)生認(rèn)為可以從低位算起，同樣認(rèn)為從低位算起比較麻煩；36%的學(xué)生認(rèn)為不可以從低位算起（圖3所示即為一名學(xué)生的回答）。

從調(diào)查的結(jié)果來(lái)看，“是否簡(jiǎn)便”是學(xué)生對(duì)豎式運(yùn)算順序的

主要認(rèn)知依據(jù)。而對(duì)于豎式的書寫格式，以及豎式的運(yùn)算順序等規(guī)定的緣由，學(xué)生沒有做過(guò)多思考，屬于“接受型學(xué)習(xí)”。即使有一些疑惑，

可能也在教師“就是這樣規(guī)定的”“從來(lái)如此”等簡(jiǎn)單粗暴的解釋下，被按回了心里。這無(wú)疑扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造性，限制了學(xué)生探究能力的發(fā)展。

如何抓住學(xué)生的質(zhì)疑，讓他們對(duì)“豎式”的相關(guān)內(nèi)容有更為深入的了解？筆者認(rèn)為，可以帶領(lǐng)學(xué)生展開一場(chǎng)對(duì)“豎式”追根溯源的探尋，借助相關(guān)史料，引導(dǎo)學(xué)生在不斷地“猜想—驗(yàn)證”中，明了豎式的“前世今生”，深化對(duì)豎式的理解。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）問(wèn)題引領(lǐng)，自主探尋揭本質(zhì)

1.問(wèn)題引領(lǐng)，聚焦本質(zhì)

師同學(xué)們，今天我們一起研究的關(guān)鍵詞是——豎式。

關(guān)于“豎式”，你們都知道些什么呢？

生我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法、減法、乘法和除法豎式。

生我們學(xué)習(xí)的豎式中，有整數(shù)和小數(shù)的豎式。

生用豎式計(jì)算加法、減法、乘法的時(shí)候，都是從低位算起的。

生用豎式計(jì)算除法的時(shí)候，是從高位算起的。

師對(duì)于我們一直在用的豎式，你是否產(chǎn)生過(guò)一些疑惑？

生在用豎式計(jì)算加法、減法、乘法的時(shí)候都是從低位算起，為什么在用豎式計(jì)算除法的時(shí)候就要從高位算起呢？

生除法豎式是否也能從低位算起？

師為你們善于思考、敢于質(zhì)疑的學(xué)習(xí)品質(zhì)點(diǎn)贊

。今天這節(jié)課，我們就圍繞這兩個(gè)問(wèn)題，開啟我們的探索之旅。

2.合作交流，探尋本質(zhì)

師對(duì)于“除法豎式為什么要從高位算起？”“除法豎式是否也能從低位算起？”這兩個(gè)問(wèn)題，大家有什么想法？四人小組交流，將你們的思考過(guò)程寫下來(lái)。

（學(xué)生交流、匯報(bào)。）

生我們小組交流后的思考是這樣的：豎式計(jì)算除法的時(shí)候是可以從低位算起的，（展示做法，如下頁(yè)圖4所示）以58÷2這道除法豎式為例，但計(jì)算的過(guò)程會(huì)比較麻煩，步驟比較多。

生我們同意第一小組的想法，如果是三位數(shù)除以一位數(shù)的豎式，步驟會(huì)更多、更麻煩。

生我們還可以借助小棒來(lái)理解。例如，（展示做法，如圖5、圖6所示）在列豎式計(jì)算32÷2時(shí)，先分十位，再分個(gè)位只需要平均分2次；而從個(gè)位分起，需要平均分3次。

師我們?cè)谘芯繂?wèn)題的時(shí)候，都是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的。之前，大家舉的例子都是能夠整除、沒有剩余的情況，那不能整除、有剩余的情況是否也一樣呢？大家試著再舉例說(shuō)明。

（學(xué)生討論、匯報(bào)。）

師我們通過(guò)舉例子、擺小棒，用自己的方法對(duì)除法豎式的計(jì)算順序進(jìn)行了分析與說(shuō)明。大家明確了兩點(diǎn)：（1）豎式計(jì)算除法的時(shí)候是可以從低位算起的；（2）從低位算起會(huì)比較麻煩，步驟較多。這是同學(xué)們共同思考的成果，為大家點(diǎn)贊。

（二）回顧歷史，追溯除法豎式的根源

師通過(guò)自主探究，同學(xué)們清楚地認(rèn)識(shí)到用豎式計(jì)算除法從高位算起的緣由。可是，對(duì)于即將小學(xué)畢業(yè)的你們，僅僅知道這些

是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們需要進(jìn)一步探尋除法豎式背后的故事。除法豎式是如何演變成現(xiàn)在的樣子的？接下來(lái)，我們就一起走進(jìn)數(shù)學(xué)歷史的長(zhǎng)河中去一探究竟。歷史上出現(xiàn)過(guò)許多看起來(lái)極其煩瑣的除法豎式計(jì)算方法。

（出示圖7）我們先來(lái)看清代《御制數(shù)理精蘊(yùn)》一書中介紹的一種極具特色的除法計(jì)算方法。原書中對(duì)計(jì)算過(guò)程的描述為：“法以六十四石為實(shí)列于下，八人為法列于上，因法之八大于實(shí)之首位之六，故將法退一位書之。再看實(shí)足法幾倍，今足八倍，故書八于法上。乃以得數(shù)之八與法之八相因得六十四書于實(shí)下，與實(shí)相減恰盡，得數(shù)為八石也?！闭?qǐng)結(jié)合這個(gè)豎式和這段文字，同桌互相說(shuō)一說(shuō)這個(gè)除法豎式的計(jì)算過(guò)程。

（學(xué)生同桌交流。）

師（出示下頁(yè)圖8）這一計(jì)算過(guò)程可以用現(xiàn)在的語(yǔ)言結(jié)合圖示作出解釋。第一步，把被除數(shù)“64”寫在下面，除數(shù)“8”寫在上面。因?yàn)槌龜?shù)“8”大于被除數(shù)最高位上的“6”，所以要退一位寫。這實(shí)際上是運(yùn)用乘法計(jì)算除法，相當(dāng)于思考“8乘以多少等于64”。第二步，看被除數(shù)最多包含除數(shù)的幾倍，可以看出最多包含8倍，所以在除數(shù)上面寫“8”。第三步，將得數(shù)“8”與除數(shù)“8”相乘得“64”，寫在被除數(shù)“64”的下面。第四步，與被除數(shù)相減，恰好得“0”。說(shuō)明得數(shù)就是“8”。這種豎式書寫格式和我們現(xiàn)在什么計(jì)算的格式比較像？

生像乘法的豎式。

師確實(shí)，它是在利用乘法豎式的寫法來(lái)計(jì)算除法。這本書中對(duì)于比較復(fù)雜的除法也采用了同樣的計(jì)算方法，（出示圖9）如9225÷45。同桌互相說(shuō)一說(shuō)被除數(shù)、除數(shù)、商在哪？

生其中的“九二二五”是被除數(shù)“9225”，“四五”是除數(shù)“45”，上面的“二〇五”是商“205”。

師誰(shuí)還有補(bǔ)充？

生把豎式中的除數(shù)“四五”移到左側(cè)，加上“丿”，就和我們現(xiàn)在所寫的除法豎式很接近了。

師你觀察得很仔細(xì)，（出示圖10）我們整理一下看看?，F(xiàn)在，對(duì)于除法豎式的書寫格式和從高位算起的緣由，大家是否有不同的體會(huì)了？

生現(xiàn)在除法豎式的書寫格式，其實(shí)是從乘法豎式得來(lái)的，只是稍

微做了調(diào)整。

生我知道了除法豎式可以從低位算起，并通過(guò)舉例得到了證明，但從高位算起更簡(jiǎn)便。

（三）融入乘法，建構(gòu)豎式的“前世今生”

師剛才我們一直在研究除法豎式，想不想了解一下乘法豎式的運(yùn)算順序和書寫格式是怎么發(fā)展的？

生（齊）想。

師在乘法豎式計(jì)算中，我們是從低位算起的，而在歷史上并非一直如此。比如，（出示下頁(yè)圖11、圖12）“135×12”豎式的計(jì)算方法是這樣的。

請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)這兩道乘法豎式，同桌合作完成探究。探究?jī)?nèi)容如下：（1）同桌互相說(shuō)一說(shuō)兩道豎式的計(jì)算過(guò)程，它們分別是從哪一位算起的？（2）兩種算法有什么不同的地方？（3）比較現(xiàn)在乘法豎式的計(jì)算過(guò)程，你有什么想說(shuō)的？

生左邊的豎式是將135分成“100＋30＋5”，分別和12相乘來(lái)計(jì)算的；右邊的豎式是將12分成“10＋2”，分別和135相乘來(lái)計(jì)算的，都是從高位算起的。

師說(shuō)得真好！從歷史上的算法來(lái)看，我們現(xiàn)在所規(guī)定的從“從低位算起”并不是唯一的。從計(jì)算的過(guò)程和步驟中，我們能體會(huì)到“從低位算起”書寫的簡(jiǎn)約與

方便。同學(xué)們，今天我們一起探尋了乘法、除法豎式的“前世今生”，從歷史的視角探尋了豎式的演變過(guò)程。希望通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們對(duì)“豎式”

能有更多不一樣的認(rèn)識(shí)。最后，我們能否大膽猜測(cè)一下：在若干年后，豎式是否還會(huì)發(fā)生變化？會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

三、教學(xué)思考

對(duì)于數(shù)學(xué)規(guī)定，如果教師按部就班地施教、學(xué)生不假思索地接受，這些約定成俗、理所應(yīng)當(dāng)?shù)囊?guī)定就如水中的浮萍，容易導(dǎo)致學(xué)生“一學(xué)就懂，一做就錯(cuò)”。因此，教師需要

引導(dǎo)學(xué)生把目光聚焦于數(shù)學(xué)規(guī)定背后所隱藏的思考過(guò)程?！皵?shù)學(xué)是積累的科學(xué)，它本身就是歷史的記錄。或者說(shuō)，數(shù)學(xué)的過(guò)去融合在現(xiàn)在與未來(lái)之中?！保?］以“史”化人的理念給當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂注入了新的能量。將數(shù)學(xué)知識(shí)背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)史等相關(guān)

內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié)，能讓學(xué)生在感受數(shù)學(xué)理趣的同時(shí)，厘清數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，并深化理解。

本課中，筆者先呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)史料中除法的豎式格式及其計(jì)算過(guò)程，讓學(xué)生初步感受古代的除法豎式與現(xiàn)在的乘法豎式很像。然后，引導(dǎo)學(xué)生帶著這樣的感受，一步一步地揭開除法豎式的秘密，從而讓學(xué)生對(duì)“除法豎式為什么從高位算起？”這一問(wèn)題有更為清晰且深刻的理解。緊接著，筆者順勢(shì)引出乘法豎式的相關(guān)數(shù)學(xué)史料，讓學(xué)生在小組交流與合作中繼續(xù)思考。

六年級(jí)學(xué)生有能力自主探究豎式的“前世今生”，體會(huì)與感悟現(xiàn)在的豎式與過(guò)去的豎式的異同，從根本意義上理解我們所認(rèn)為的“約定俗成”“簡(jiǎn)便”的深層含義。在演算、證明的過(guò)程中，學(xué)生提升了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；在回顧歷史、審視計(jì)算方法的過(guò)程中，學(xué)生深化了對(duì)知識(shí)的理解。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)史料的使用不是簡(jiǎn)單的呈現(xiàn)，而應(yīng)融入具體的教學(xué)情境中。具體地，筆者創(chuàng)設(shè)了兩處認(rèn)知沖突，助力學(xué)生的探究學(xué)習(xí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神。其一，除法豎式通常從高位算起，是否也能從低位算起？其二，乘法豎式通常從低位算起，是否也能從高位算起？調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生目前的認(rèn)知僅停留在除法豎式從高位算起、乘法豎式從低位算起的簡(jiǎn)單理解層面。這樣的兩處認(rèn)知沖突，從兒童的認(rèn)知視角出發(fā)，翻轉(zhuǎn)約定俗成，在充分體現(xiàn)知識(shí)之間的密切聯(lián)系的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生自主探究的意識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生積極、主動(dòng)地參與探究活動(dòng)，并在探究活動(dòng)中更好地感悟數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵與外延。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 郜舒竹.小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教（第2版）［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：6469.