利用導(dǎo)數(shù)探究不等式恒成立中的參數(shù)范圍

■河南省商丘市永城市小龍人高中 張振繼(特級(jí)教師)

已知不等式在某個(gè)范圍內(nèi)恒成立,確定參數(shù)的值或取值范圍是高考中的?？碱}型,此類問(wèn)題綜合性強(qiáng),解法靈活,備受命題者青睞,本文給出幾種探究方法,供同學(xué)們參考。

一、賦值法

例1已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3x+1,當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),不等式f(x)≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____。

再令h(x)=x3-3x-2,則h′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),h′(x)>0,所以h(x)在[2,+∞)上是增函數(shù)。當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),h(x)≥h(2)=0,即g′(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,所以g(x)在[2,+∞)上是增函數(shù),g(x)min=

點(diǎn)評(píng):利用賦值法,可以縮小參數(shù)的取值范圍,回避復(fù)雜的討論過(guò)程,使問(wèn)題快速獲解。

二、分離參數(shù)法

例 2【2019 年天津卷】已知函數(shù)若關(guān)于x的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,則a的取值范圍是( )。

A.[0,1] B.[0,2]

C.[0,e] D.[1,e]

解析:由題意知,當(dāng)x≤1時(shí),x2-2ax+2a≥0。當(dāng)x=1時(shí)顯然成立;當(dāng)x<1時(shí),則

令g′(x)=0,得x=e。當(dāng)1e時(shí),g′(x)>0,此時(shí)g(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增。

所以當(dāng)x=e時(shí),函數(shù)g(x)取得最小值g(e)=e,故a≤e。

綜上所述,解得a的取值范圍是[0,e],選C。

點(diǎn)評(píng):利用分離變量法,若a≥f(x)恒成立,則a≥f(x)max;若a≤f(x)恒成立,則a≤f(x)min。將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值問(wèn)題。

三、數(shù)形結(jié)合法

例3已知f(x)=x+xlnx,若k∈Z,且k(x-2)2恒成立,則k的最大值為( )。

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:由k(x-2)

易得直線y=k(x-2)恒過(guò)定點(diǎn)(2,0),由,得m-4-2lnm=0。

令g(m)=m-4-2lnm,則g′(m)=,所以g(m)在(2,+∞)上單調(diào)遞增。

因?yàn)間(e2)=e2-8<0,g(e3)=e3-10>0,所以e2

所以整數(shù)k的最大值為4,選B。

點(diǎn)評(píng):依據(jù)圖形的直觀性,可以借助函數(shù)的圖像與性質(zhì),數(shù)形結(jié)合來(lái)解題。

四、構(gòu)造函數(shù)法

1.作差構(gòu)造輔助函數(shù)

例4【2006 年全國(guó)Ⅱ卷】已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1)。若對(duì)所有x≥0,都有f(x)≥ax成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,則g′(x)=ln(x+1)+1-a。

令g′(x)=0,解得x=ea-1-1。

(i)當(dāng)a≤1時(shí),對(duì)所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)。又g(0)=0,所以對(duì)?x≥0,有g(shù)(x)≥g(0),即當(dāng)a≤1時(shí),對(duì)于所有x≥0,都有f(x)≥ax。

(ii)當(dāng)a>1 時(shí),對(duì) 于01時(shí),不是對(duì)所有的x≥0都有f(x)≥ax成立。

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1]。

另解:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,不等式f(x)≥ax?g(x)≥0。而g(0)=0,則g(x)≥0等價(jià)于g(x)≥g(0)對(duì)所有x≥0恒成立,只需要g(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),即g′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立。

因?yàn)間′(x)=ln(x+1)+1-a≥0 在[0,+∞)上恒成立,所以g′(x)min=1-a≥0,解得a≤1。

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1]。

點(diǎn)評(píng):通過(guò)作差構(gòu)造函數(shù),分類討論,剔除不合題意的參數(shù)取值范圍,從而求得參數(shù)的取值范圍。

2.同構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)

例5已知不等式ex+alnx≥xa+x對(duì)任意x>1恒成立,求正數(shù)a的取值范圍。

解 析:ex+alnx≥xa+x?ex-x≥

令f(x)=ex-x(x>1),則f′(x)=ex-1>0,所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增。

于是ex-x≥elnxa-lnxa?f(x)≥f(lnxa)。

①當(dāng)xa≤e時(shí),lnxa≤1。因?yàn)閤>1,所以x≥lnxa。

②當(dāng)xa>e時(shí),lnxa>1,已知x≥1,由函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,得x≥lnxa。

所以當(dāng)x>1時(shí),總有x≥lnxa。

所以g(x)min=g(e)=e。因此,0

點(diǎn)評(píng):通過(guò)構(gòu)造同構(gòu)函數(shù),進(jìn)一步把參數(shù)分離出來(lái),從而求得參數(shù)的取值范圍。

練一練:

1.已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ln(2x+1)。

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(2)當(dāng)x≥0 時(shí),f(x)≥2ax恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

2.已知不等式(x-2)ex+ax2-2x>-e-1在R 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

參考答案:

1.(1)y=2x。

(2)實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1]。

2.令x=1,得a>1,先猜后證,求得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+∞)。