利用導(dǎo)數(shù)工具，求解單調(diào)區(qū)間問題

■河南省商丘市第一高級中學(xué) 張志華

利用導(dǎo)數(shù)知識求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題,是考查學(xué)生知識掌握靈活程度的很好的一個(gè)題型,是高考命題的熱點(diǎn)問題。對于這一塊知識,我們主要把握以下三點(diǎn)。

設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且它的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)。

1.f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件。

2.f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的必要不充分條件。

3.由f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)可得f′(x)≥0(f′(x)≤0)在該區(qū)間內(nèi)恒成立,而不是f′(x)>0(f′(x)<0)在該區(qū)間內(nèi)恒成立。其中“=”不能少,必要時(shí)還需對“=”進(jìn)行檢驗(yàn),使得f′(x)在區(qū)間(a,b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零。

接下來,大家看幾道典型例題,感悟解題中的曲曲折折,做做思維的體操,以期有所提高。

例1已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)-f(x)≤0,對任意正整數(shù)a,b,若a

A.af(b)

B.bf(a)

C.af(b)≤bf(a)

D.bf(a)≤af(b)

因?yàn)閤>0,xf′(x)-f(x)≤0,所以g′(x)≤0,g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)或常數(shù)函數(shù)。

選C。

總結(jié):一定注意本題中的g′(x)≤0包括兩種情況:g′(x)<0,或g′(x)=0,即g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)或常數(shù)函數(shù),從而能夠?qū)τ诤瘮?shù)單調(diào)性的必要不充分條件有著更深入的理解。

例2已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。

解析:由題意可得:

(1)當(dāng)a≤0時(shí),由f′(x)>0,得01。

(2)當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0,得x=1或

總結(jié):分類討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容,它不僅是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn),而且是高考的難點(diǎn)。含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題一般需要分類討論。常見分類討論標(biāo)準(zhǔn)一般有以下幾種:(1)未知數(shù)系數(shù)含有參數(shù),該系數(shù)要與零比較大小;(2)方程f′(x)=0是否有根;(3)若方程f′(x)=0有根,求出根后判斷它們是否在函數(shù)定義域內(nèi);(4)若根在定義域內(nèi)且有兩個(gè),需要比較它們的大小。

例 3已知函數(shù)f(x)=lnx-

(1)若函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)若函數(shù)f(x)在[1,4]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

又因?yàn)閍≠0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞)。

總結(jié):根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的一般思路是:

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào),區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間;

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上存在單調(diào)區(qū)間,則f′(x)>0(或f′(x)<0)在區(qū)間(a,b)上有解集,從而把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成不等式問題;

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增,則f′(x)≥0在區(qū)間(a,b)上恒成立。

例4已知函數(shù)f(x)=2x3+a(x-1)ex在區(qū)間[0,3]上不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)>0;

當(dāng)x∈(1,3)時(shí),g′(x)<0。

所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減。

總結(jié):若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上不是單調(diào)函數(shù),則f′(x)區(qū)間(a,b)上有正有負(fù)。因函數(shù)f′(x)在區(qū)間(a,b)上是連續(xù)的,故方程f′(x)=0區(qū)間(a,b)上必有解。

學(xué)習(xí)包括兩個(gè)方面:學(xué)和習(xí),學(xué)是模仿,習(xí)是重復(fù)。通過老師講解或者例題示范,我們是在模仿現(xiàn)成的思路,而只有接著進(jìn)行重復(fù)演練,才能達(dá)到熟能生巧的效果。要做到:大家都會的題,不出錯;大家都怕的題,還能做。在關(guān)鍵點(diǎn)處進(jìn)行感悟,在猶豫不決處下功夫,及時(shí)解決問題,把一個(gè)個(gè)問號變成感嘆號,這才是學(xué)習(xí)的真正目的。