二項(xiàng)式定理的拓展應(yīng)用

■江蘇省太倉市明德高級(jí)中學(xué) 王佩其

在各類考試中二項(xiàng)式定理的常規(guī)題考向都比較明確,試題難度也不大,只需按照題目要求并按部就班加以推理驗(yàn)算即可。但有些問題看似與二項(xiàng)式定理無關(guān),解答過程中卻往往離不開二項(xiàng)式定理,并且二項(xiàng)式定理能使解題過程更優(yōu)化。

一、利用二項(xiàng)式定理證明組合恒等式

證明:令函數(shù)f(x)=(1+x)n+2(1+x)n+1+…+m(1+x)n+m-1,其中m,n∈N*,m

函數(shù)y=f(x)中含xn項(xiàng)的系數(shù)即為多項(xiàng)式(mx-1)(1+x)m+n+(1+x)n中含xn+2項(xiàng)的系數(shù),為

點(diǎn)評(píng):證明組合恒等式的關(guān)鍵是構(gòu)造合理的函數(shù),并利用二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù),同時(shí)將該函數(shù)等價(jià)變形成另一種函數(shù)形式,再次利用二項(xiàng)式定理求出指定項(xiàng)的系數(shù),由系數(shù)相等得到組合恒等式成立,這類問題考查同學(xué)們的創(chuàng)新思維及推理能力與計(jì)算能力,難度較大。

二、利用二項(xiàng)式定理證明不等式

例2已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=6×3n-1=2×3n(n=1,2,3,…),證明:

證明:由題意知an=6×3n-1=2×3n(n=1,2,3,…)。

點(diǎn)評(píng):利用二項(xiàng)式定理證明不等式的關(guān)鍵,是將某數(shù)的冪拆分成兩個(gè)數(shù)的和或差的冪的形式,再利用二項(xiàng)式定理將其展開,并根據(jù)所證結(jié)論對(duì)展開式中的項(xiàng)進(jìn)行取舍,體現(xiàn)了不等式證明的放縮思想,具有一定難度。

三、利用二項(xiàng)式定理處理函數(shù)問題

例3已知函數(shù)f(x)=x(|x|-2),記,求集合[g(n),g(n+1)](n∈N*)中正整數(shù)的個(gè)數(shù)。

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),2n=3k+1;n為奇數(shù)時(shí),2n=3k-1。

且n-2,n同奇偶,n-1,n+1同奇偶。

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正整數(shù)個(gè)數(shù)為:

點(diǎn)評(píng):解答本題的關(guān)鍵是將2n變成(3-1)n,再利用二項(xiàng)式定理展開后考查它被3整除后的余數(shù),體現(xiàn)了二項(xiàng)式定理的靈活應(yīng)用,具有一定難度。

變式訓(xùn)練3:已知a為正實(shí)數(shù),n為自然數(shù),拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)A,設(shè)f(n)為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距。

(1)用a和n表示f(n);

(2)求對(duì)所有n都有成立的a的最小值。

解析:(1)由已知得,交點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(2) 由(1)知f(n)=an,則成立的充要條件是an≥2n3+1。

即an≥2n3+1對(duì)于所有的n成立,特別地,取n=2,得到a≥。

當(dāng)a=,n≥3時(shí),an>4n=(1+3)n

所以滿足條件的a的最小值是。