立足解析幾何本質(zhì)教學(xué)

王娜

【摘要】解析幾何綜合問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查的是用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問(wèn)題，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)內(nèi)容.文章以2021年北京市高考第20題為例，談在課堂教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生從解析幾何本質(zhì)的角度解決解析幾何綜合問(wèn)題，用以突破解析幾何教學(xué)中的難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】解析幾何；幾何特征；代數(shù)形式

解析幾何是數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的標(biāo)志性成果，是微積分創(chuàng)立的基礎(chǔ).平面解析幾何部分隸屬“幾何與代數(shù)”單元，是高中數(shù)學(xué)課程的主線之一.幾何與代數(shù)的主要內(nèi)容是用數(shù)、代數(shù)式、向量研究幾何圖形，在解析幾何的學(xué)習(xí)中主要是運(yùn)用代數(shù)式運(yùn)算、向量運(yùn)算研究圓錐曲線的幾何特征、位置關(guān)系和度量關(guān)系.所以我們可以從三個(gè)角度來(lái)把握幾何與代數(shù)的主線：第一，整體把握幾何圖形研究對(duì)象，將平面解析幾何的重點(diǎn)放在對(duì)直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的幾何特征的認(rèn)識(shí)上.對(duì)平面解析幾何的研究的順序都是先研究單個(gè)幾何對(duì)象，而后研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系.比如對(duì)圓的方程的研究就是先研究直線的方程、圓的方程，而后利用直線的方程、圓的方程研究直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系.第二，整體把握幾何圖形研究的基本思想方法.解析幾何的研究方法主要是坐標(biāo)法，即通過(guò)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡抽象出圖形的幾何特征，分析幾何特征，再將幾何特征在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)合具體問(wèn)題建立合適的坐標(biāo)系，用代數(shù)語(yǔ)言刻畫(huà)這些幾何特征與問(wèn)題，借助幾何圖形的特點(diǎn)，通過(guò)將幾何特征轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)代數(shù)形式，對(duì)代數(shù)形式進(jìn)行幾何解釋?zhuān)鸩叫纬山鉀Q問(wèn)題的思維路徑，最終用代數(shù)形式的結(jié)果進(jìn)行幾何解釋?zhuān)瑥亩鉀Q問(wèn)題.第三，整體把握代數(shù)基礎(chǔ)，包括數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式運(yùn)算、向量運(yùn)算，以及一些隱形運(yùn)算.平面解析幾何主要涉及的是代數(shù)運(yùn)算，教師教學(xué)時(shí)要關(guān)注的是幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法.

一、試題回顧

二、試題教學(xué)過(guò)程

從知識(shí)層面來(lái)看，題目考查的是橢圓和直線的位置關(guān)系，因此教師在教學(xué)過(guò)程中要用問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)橢圓和直線以及位置關(guān)系的幾何特征，幫助學(xué)生逐步將幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，再利用代數(shù)形式的結(jié)果進(jìn)行幾何解釋.

對(duì)于題目的解決，教師可以設(shè)置如下問(wèn)題.

問(wèn)題1：求橢圓方程需要知道哪些量？這些量有哪些幾何特征？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到橢圓曲線幾何特征和橢圓方程代數(shù)表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系，體會(huì)方程和曲線之間的幾何特征和代數(shù)形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

從本題來(lái)說(shuō)，通過(guò)對(duì)橢圓的幾何特征的認(rèn)識(shí)，學(xué)生可以意識(shí)到求出a，b，c中的兩個(gè)量即可求出橢圓方程.在利用代數(shù)方法解決問(wèn)題的過(guò)程中，需要兩個(gè)方程來(lái)解決問(wèn)題.a，b，c在橢圓曲線上都有具體的幾何特征，學(xué)生在曲線的方程和方程的曲線的對(duì)應(yīng)中，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A（0，-2）即為短軸的端點(diǎn)，而另一個(gè)方程的找尋過(guò)程就是對(duì)“以四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為45”的代數(shù)化過(guò)程，同樣通過(guò)橢圓中a，b的幾何特征的解釋?zhuān)涂梢缘玫酱鷶?shù)化的式子：2ab=45.通過(guò)對(duì)橢圓方程中的a，b的幾何特征和代數(shù)形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí)，學(xué)生可以順利解決求橢圓方程的問(wèn)題.

問(wèn)題2：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，-3）的直線l斜率為k，如何用代數(shù)形式表示？直線有哪些特征？能得到哪些幾何結(jié)論？如何用代數(shù)形式表示？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)直線方程的幾何特征和代數(shù)形式的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，利用代數(shù)結(jié)論解釋幾何圖形的性質(zhì).

具體來(lái)說(shuō)，學(xué)生通過(guò)對(duì)不同形式的直線方程的幾何特征的認(rèn)識(shí)，選擇利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線BC的方程y+3=kx，通過(guò)分析題目中直線的幾何特征發(fā)現(xiàn)直線BC的斜率一定存在，說(shuō)明B，C兩點(diǎn)不能與橢圓的上、下頂點(diǎn)重合，同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)直線BC在繞著點(diǎn)P（0，-3）旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，在與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)B，C的情況下，其斜率k是有限制的，從而利用橢圓方程與直線方程聯(lián)立求得k成立的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生利用圖形表示直線方程，幫助學(xué)生將題目中點(diǎn)M，N的幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，即將點(diǎn)M，N代數(shù)化.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形上找尋幾何特征，并進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，從而得到代數(shù)形式.

具體來(lái)說(shuō)，學(xué)生會(huì)通過(guò)畫(huà)圖找到PM，PN的具體位置，并嘗試對(duì)兩條線段的和小于等于15進(jìn)行其他的幾何形式的轉(zhuǎn)換，但是相應(yīng)的轉(zhuǎn)化都沒(méi)有得到比表示出PM，PN線段的長(zhǎng)度后直接相加更簡(jiǎn)單的幾何特征.但是這一步是不可缺少的，幾何特征的互相轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的過(guò)程若能化繁為簡(jiǎn)，則對(duì)應(yīng)的代數(shù)形式的表示也會(huì)變得簡(jiǎn)單，計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)減少.比較典型的是肖海英的《新高考背景下的解析幾何問(wèn)題解題策略探究———以2021年高考數(shù)學(xué)新高考卷Ⅰ第21題為例》中2021年高考數(shù)學(xué)新高考卷Ⅰ第21題的解法3就是對(duì)幾何特征的轉(zhuǎn)化.

三、教學(xué)反思

解析幾何的產(chǎn)生是為了使直觀形象的“形”能借助抽象精準(zhǔn)的“數(shù)”進(jìn)行計(jì)算，其源頭是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng).解析幾何的教學(xué)也要遵循這樣的原則，教師要讓學(xué)生分析每一個(gè)幾何特征，引導(dǎo)學(xué)生將幾何特征化繁為簡(jiǎn)地表示為代數(shù)形式，在幾何特征和代數(shù)形式互相轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)幾何圖形的特征，逐漸形成解決問(wèn)題的思維，再通過(guò)幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的互相轉(zhuǎn)化，得到結(jié)果，給出幾何解釋.比如，在解決上述問(wèn)題的過(guò)程中，教師通過(guò)問(wèn)題讓學(xué)生先分析單個(gè)幾何對(duì)象的幾何特征，即分析直線、橢圓的幾何特征，而后分析幾何對(duì)象之間的幾何特征，即直線和橢圓交點(diǎn)的幾何特征，引導(dǎo)學(xué)生將這些幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.可以發(fā)現(xiàn)，解決問(wèn)題的過(guò)程并沒(méi)有按照所謂的套路“將直線方程和曲線方程聯(lián)立，然后表示出判別式、兩根和、兩根積”，而是根據(jù)幾何特征代數(shù)化的需求逐步實(shí)現(xiàn)的.在完成了前述四個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生就可以整理出解決問(wèn)題的思維路徑，進(jìn)行幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的轉(zhuǎn)化，得到代數(shù)運(yùn)算結(jié)果，并對(duì)應(yīng)了幾何解釋.同時(shí)，對(duì)于幾何特征的分析要全面，比如“點(diǎn)M，N在y軸左右兩側(cè)的情況是對(duì)稱(chēng)的”在結(jié)果中也是有體現(xiàn)的，也是驗(yàn)證結(jié)果是否正確的依據(jù).

總之，在解析幾何的教學(xué)過(guò)程中，教師所謂的通性通法應(yīng)該處處體現(xiàn)的是解析幾何本質(zhì).教師如果在教學(xué)中讓學(xué)生理解幾何特征和代數(shù)形式，并在研究問(wèn)題的過(guò)程中不斷加深理解，就能讓學(xué)生在解決解析幾何問(wèn)題的過(guò)程中有法可依，增強(qiáng)解決問(wèn)題的信心，同時(shí)在解決問(wèn)題的過(guò)程中逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等意識(shí)，最終培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的根本任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的思維，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)說(shuō)到底就是學(xué)生在面對(duì)沒(méi)見(jiàn)過(guò)的問(wèn)題的時(shí)候如何想到解決的方法.因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)思考和解決問(wèn)題.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)不僅在于數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理的積累，更在于形成這些概念和定理背后蘊(yùn)含的一般觀念、一般方法和思維過(guò)程，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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