聚焦邊角特征，深化分類思想的內(nèi)涵
——以《三角形分類》為例

文 |吳林燕

【課前思考】

“三角形分類”是北師大版四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，本文通過對(duì)分類概念的理解，從大單元整體教學(xué)的視角分析分類活動(dòng)走向分類思想的學(xué)習(xí)路徑，促進(jìn)課堂的深度構(gòu)建，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、聚焦分類思想，探尋圖形本質(zhì)特征

分類思想是一種基本的數(shù)學(xué)思想，它是根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)事物進(jìn)行有序劃分和組織的過程。分類，不僅僅指將同類事物歸結(jié)到一起，還體現(xiàn)了“合理、有序、不重不漏”的思想。鄭毓信教授認(rèn)為，分類能夠?yàn)橄鄳?yīng)的抽象提供必要的基礎(chǔ)和為如何逐步深入地去開展認(rèn)識(shí)指明可能的途徑。它是聯(lián)系新舊知識(shí)的橋梁，是形成數(shù)學(xué)概念、建構(gòu)系統(tǒng)的知識(shí)體系、進(jìn)行大單元教學(xué)的重要手段。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出，要使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)分類思想的基本知識(shí)。在經(jīng)歷探索圖形特征的過程中，建立基本的幾何概念，發(fā)展空間觀念和幾何直觀。通過分類活動(dòng)，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，在活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中優(yōu)化分類方法，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”。

二、明確單元視角，理清主題任務(wù)層次

筆者通過對(duì)北師大版教材“認(rèn)識(shí)三角形和四邊形”的單元分析，發(fā)現(xiàn)教材重在通過“分類”區(qū)分三角形和四邊形，分類后繼續(xù)研究三角形和四邊形的特征，從而搭建出圖形單元的整體框架?！叭切畏诸悺笔茄芯咳切翁卣鞯谋匾獪?zhǔn)備和基礎(chǔ)，從分類開始，研究三角形角的特征、邊的特征，再學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)角和、三邊關(guān)系，認(rèn)知序列逐步推進(jìn)、螺旋上升。在大單元教學(xué)中，要通過“分類”這個(gè)教學(xué)活動(dòng)串起整個(gè)單元的學(xué)習(xí)，從而理解各類三角形、四邊形的特征，打通單元整體脈絡(luò)，形成結(jié)構(gòu)化的深度聯(lián)結(jié)。

在明確單元目標(biāo)的前提下，主題設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于淬煉大概念，轉(zhuǎn)化核心問題，使得學(xué)生獲得學(xué)習(xí)科學(xué)意義的有效建構(gòu)，打破原有的教學(xué)定勢(shì)?；趯W(xué)生本位的視角，筆者嘗試建立開放、融通的探索場(chǎng)域進(jìn)行單元整體設(shè)計(jì)，從接觸概念到明晰分類，從理解特征到抓準(zhǔn)性質(zhì)，串聯(lián)成有條理、成體系的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，致力于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力的培養(yǎng)。

【教學(xué)過程】

一、猜謎導(dǎo)入，從興趣走向思考

師：進(jìn)入魔法王國(guó)的金鑰匙就藏在這個(gè)圖形密碼里，想不想試一試？

師：聽好了，小小個(gè)子三條邊，瘦瘦高高三個(gè)尖，建筑設(shè)計(jì)用得廣，人人都夸穩(wěn)定堅(jiān)！猜猜它是什么圖形？

生：三角形！

二、任務(wù)驅(qū)動(dòng)，從淺表走向深刻

師：恭喜你們，拿到了通往魔法王國(guó)的邀請(qǐng)函。要想得到去魔法王國(guó)的船票，就必須將三角形準(zhǔn)確分類！想一想，三角形可以按照什么標(biāo)準(zhǔn)來分類呢？

●活動(dòng)一：認(rèn)一認(rèn)，剪一剪

1.呈現(xiàn)認(rèn)知沖突

生：可以按大小分。分為大三角形、中三角形、小三角形。大三角形有⑥⑦⑧⑨，中三角形有①，小三角形有②③④⑤。

師：你的想法很有意思。其他同學(xué)同意他的說法嗎？

生：我有不同的想法。（畫出一個(gè)更大的三角形）這個(gè)三角形比你的大三角形更大，所以它叫大大三角形。可以嗎？

生：不可以。

2.促進(jìn)思維進(jìn)階

師：為什么不行？

生：大和小都是相對(duì)的概念，因?yàn)榭傆懈蟮娜切?。不然就沒有辦法分完所有的三角形了。

生：這樣分就沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)了。

師：大家都總結(jié)得很好?？磥戆凑沾笮矸诸?，不行。

●活動(dòng)二：量一量，說一說

師：那還能怎么分？

生：可以按照形狀來分。

生：可以按照長(zhǎng)短來分。

師：你們提出了很多有趣的分類方法。但從數(shù)學(xué)的概念和角度上來看，你覺得還可以怎么分？

生：可以按邊分。

師：按邊分，根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，要怎么做？

生：要量一量。

師：行，那就在小組里量一量、說一說。把三角形的每條邊都量出來，并寫在你的《學(xué)習(xí)單》上。

學(xué)生作品1：

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)最特殊的是③號(hào)和⑤號(hào)三角形，三條邊都相等。

生：我發(fā)現(xiàn)②號(hào)和④號(hào)三角形分別有兩條邊相等。

生：其他的三角形三條邊都不相等。

師：是啊，數(shù)學(xué)家也有這樣的發(fā)現(xiàn)，為了區(qū)分，給它們各自取了名字。三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，兩條邊相等的叫等腰三角形，三條邊都不相等的叫不等邊三角形，也叫普通三角形。所以按邊分，可以怎么分？

學(xué)生作品2：按邊來分

師：要注意的是，等邊三角形是特殊的等腰三角形。你知道它特殊在哪兒?jiǎn)幔?/p>

生：等腰三角形需要兩條邊相等，而等邊三角形需要三條邊都相等。

師：是的，等邊三角形更特殊。用一個(gè)圖來表示，就是這樣。

師：除了這種分類方法，還能怎么分？

生：還能按角來分。

師：聯(lián)系我們以前學(xué)過的知識(shí)，我們學(xué)過哪些角？

生：直角、銳角、鈍角、平角、周角。

師：那按角分，你有什么方法可以快速分類？

生：我們可以直接根據(jù)學(xué)過的角，把每個(gè)三角形都有哪些角寫出來，然后再分。

學(xué)生作品3：

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)①號(hào)和②號(hào)三角形都是1個(gè)直角帶2個(gè)銳角。

生：我也發(fā)現(xiàn)了，⑥⑦⑧⑨號(hào)三角形都是1個(gè)鈍角帶2個(gè)銳角。

師：因?yàn)樗鼈兌紟Я?個(gè)銳角，所以我們根據(jù)第三個(gè)角來區(qū)分，那你猜猜，第三個(gè)角如果是直角的三角形，它會(huì)叫什么三角形？

生：直角三角形！

生：那我知道了，像⑥⑦⑧⑨號(hào)三角形也有2個(gè)銳角，但第三個(gè)角是鈍角，所以它們是鈍角三角形。

師：那剩下的幾個(gè)三角形，你又能發(fā)現(xiàn)什么？

生：剩下③④⑤號(hào)三角形，除了那2個(gè)銳角，第三個(gè)角也是銳角，所以它們就叫銳角三角形。

師：銳角三角形總共會(huì)有幾個(gè)銳角？

生：3個(gè)。

師：是的，必須3個(gè)角都是銳角，這樣的三角形才是銳角三角形。那我們按角分，可以怎么分？

學(xué)生作品4：

（學(xué)生判斷三角形類型教學(xué)活動(dòng)，活動(dòng)過程略）

師：（追問）如果有2個(gè)角是銳角，是不是一定是銳角三角形？

生：不一定。因?yàn)槿绻谌齻€(gè)角是直角，那就是直角三角形;如果第三個(gè)角是鈍角，就是鈍角三角形。只有3個(gè)角都是銳角，才是銳角三角形。

師：抓住三角形角的特征就能迅速判斷出是哪種三角形。

師：你能用簡(jiǎn)潔的方法表示三角形的分類結(jié)果嗎？

學(xué)生作品5：

三、關(guān)系探尋，從孤立走向聯(lián)結(jié)

●活動(dòng)三：畫一畫，說一說

師：三角形悄悄地藏在了信封里，你知道它是哪種三角形嗎？

生：第一個(gè)三角形有個(gè)直角符號(hào)，一定是直角三角形。

生：第二個(gè)三角形只露出1個(gè)銳角，無(wú)法確定，如果它有直角，就是直角三角形；如果有鈍角，就是鈍角三角形，如果3個(gè)角都是銳角，就是銳角三角形。

生：第三個(gè)三角形有個(gè)鈍角，因此是鈍角三角形。

●活動(dòng)四：辨一辨，分一分

（學(xué)生放完其他圖形，卻在⑧號(hào)和?號(hào)圖形面前犯了愁）

師：為什么臺(tái)上的同學(xué)遲疑了？

生：因?yàn)橹苯侨切魏偷妊切斡兄貜?fù)的。

生：⑧號(hào)和?號(hào)圖形既是直角三角形，又是等腰三角形，不好放。

師：那該怎么辦呢？

生：可以把兩個(gè)框移近一點(diǎn)，形成交叉，⑧號(hào)和?號(hào)就放在兩個(gè)框交叉的地方。

學(xué)生作品6：

師：⑧號(hào)和?號(hào)為什么放在交叉的地方？

生：因?yàn)棰嗵?hào)和?號(hào)既是直角三角形，又是等腰三角形，符合兩種圖形的特征。

師：解釋得非常清楚，這樣的三角形叫作“等腰直角三角形”。所以，有的三角形不僅角特殊，邊也特殊，我們?cè)谟^察的時(shí)候既要關(guān)注到角，又要關(guān)注到邊。

四、變式運(yùn)用，從習(xí)得走向遷移

師：同學(xué)們，回顧所學(xué)，你都有哪些收獲？

生：我學(xué)會(huì)了三角形的分類。

生：三角形不能按照大小來分類，這種分類方法不科學(xué)。

生：三角形可以按照“角”和“邊”來分類，不同的分法分出來的結(jié)果是不同的。

生：不同的分類方法可以相互關(guān)聯(lián)，要同時(shí)關(guān)注到三角形的角和邊。比如，有的三角形既是直角三角形，又是等腰三角形。

師：是的，“感覺不一定可靠，方法才格外重要”。我們要打破原有的思維定勢(shì)，用科學(xué)的方法來驗(yàn)證猜想。分類方法的提煉是我們需要具備的能力，接下來我們還將帶著所思、所想、所獲，繼續(xù)探尋數(shù)學(xué)的奧妙。四邊形的分類就在不遠(yuǎn)處等著大家，讓我們一起期待下次的精彩！