探尋本質(zhì) 發(fā)展素養(yǎng)
——以《11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)》一課為例

文 周衛(wèi)東（特級(jí)教師）

“11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”是第一學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容。依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）中“學(xué)業(yè)要求”的相關(guān)描述，其具體學(xué)習(xí)目標(biāo)定位在“能用11～20的各數(shù)表示物體的個(gè)數(shù)或事物的順序；能認(rèn)、讀、寫(xiě)11～20各數(shù)；能說(shuō)出不同數(shù)位上的數(shù)表示的數(shù)值；形成初步的數(shù)感”。圍繞這些學(xué)業(yè)要求，顧悅老師的《充分感悟“十”在計(jì)數(shù)中的作用》（后簡(jiǎn)稱(chēng)設(shè)計(jì)一）和張嵐老師的《關(guān)注學(xué)生問(wèn)題探尋知識(shí)本質(zhì)》（后簡(jiǎn)稱(chēng)設(shè)計(jì)二），都能認(rèn)真研讀和落實(shí)新課標(biāo)的教學(xué)要求，能從學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)、認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，進(jìn)行精準(zhǔn)而生動(dòng)的教學(xué)設(shè)計(jì)，努力培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，以達(dá)到學(xué)科育人的目標(biāo)。

一、突出知識(shí)本質(zhì)，形成結(jié)構(gòu)理解

新課標(biāo)中明確指出：“教學(xué)內(nèi)容是落實(shí)教學(xué)目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的載體。在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系。”“強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)?！睌?shù)學(xué)課中“數(shù)學(xué)味”的彰顯表達(dá)在對(duì)知識(shí)本質(zhì)和結(jié)構(gòu)的把握，兩則教學(xué)設(shè)計(jì)在這方面下足了功夫，可謂精彩紛呈、獨(dú)具匠心。

1.注重“十”的生成

在數(shù)學(xué)史中，數(shù)1、2、5、10被稱(chēng)為“結(jié)繩數(shù)”，是形成自然數(shù)概念的“標(biāo)準(zhǔn)數(shù)”。其中，10是第一個(gè)明顯體現(xiàn)出“數(shù)位”這一概念的數(shù)，是理解位值制記數(shù)的重點(diǎn)。兩則設(shè)計(jì)都非常重視對(duì)10的教學(xué)，選擇了對(duì)“12”進(jìn)行重點(diǎn)研究，力求實(shí)現(xiàn)由感覺(jué)到感受再到感悟的過(guò)程。設(shè)計(jì)一精選了兩種研究材料并提出了具體的學(xué)習(xí)路徑，“擺12根小棒，要讓大家一眼就看出”“在草莓圖上圈一圈，也讓大家一眼就看出來(lái)是12個(gè)”。學(xué)生充分調(diào)動(dòng)已有經(jīng)驗(yàn)，著力聚焦“一眼就看出12”的要求，逐步形成“把10個(gè)看成一個(gè)整體比較簡(jiǎn)單、快捷”的學(xué)習(xí)認(rèn)知。設(shè)計(jì)二則通過(guò)三個(gè)層次展開(kāi)有結(jié)構(gòu)的研究，先讓學(xué)生自主擺12，在多種擺法對(duì)比的基礎(chǔ)上形成“1捆是10根”“先擺1捆，再擺2根”的認(rèn)知；再提供“古人擺12”的數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生感受古人“用10個(gè)小石子換1個(gè)大石子”的智慧，鞏固已經(jīng)形成的十進(jìn)制的經(jīng)驗(yàn)；最后呈現(xiàn)日常生活中計(jì)數(shù)的事實(shí)，再次強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“十進(jìn)制”計(jì)數(shù)法普遍性的認(rèn)同。

2.注重“十幾”的整體建構(gòu)

“11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”是學(xué)生第一次自主建構(gòu)“位值制”，這樣的建構(gòu)不是一蹴而就的，需要經(jīng)由對(duì)“十幾”的整體感知進(jìn)一步“提純”經(jīng)驗(yàn)。在著力以12的研究作為突破點(diǎn)之后，兩則課例均重視了對(duì)“十幾”的整體建構(gòu)，進(jìn)一步通過(guò)觀察和對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生把握“十幾”的特征，即“1個(gè)十和幾個(gè)一合起來(lái)就是十幾”。設(shè)計(jì)一中通過(guò)開(kāi)放式任務(wù)“想一個(gè)十幾的數(shù)，并用小棒表示出來(lái)”，出示了多位學(xué)生自主擺成的作品，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，促成學(xué)生對(duì)“十幾”形成整體性的認(rèn)識(shí)；設(shè)計(jì)二中亦通過(guò)“研究二”引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)由“想一想”“擺一擺”“說(shuō)一說(shuō)”這樣三個(gè)有層次的活動(dòng)，在動(dòng)手實(shí)踐中深化對(duì)“十幾”的認(rèn)識(shí)，并借助幾何直觀，完整呈現(xiàn)出11～19各數(shù)的小棒圖，引導(dǎo)學(xué)生“橫著、豎著觀察”，進(jìn)一步深化對(duì)“十幾”含義的理解，感受“位值制”的價(jià)值。

3.注重“幾十”的遷移

“20以?xún)?nèi)的數(shù)”是后續(xù)“100以?xún)?nèi)的數(shù)”乃至更大自然數(shù)認(rèn)識(shí)的“種子”，而生長(zhǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)是9、19等十進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng)下的“拐彎數(shù)”。兩則設(shè)計(jì)都注重了對(duì)“拐彎數(shù)”的探究，引導(dǎo)學(xué)生在探索中自然生長(zhǎng)出“幾十”，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。設(shè)計(jì)一讓學(xué)生進(jìn)行想象：“如果給19根再添上1根是多少？”“想一想，20根可以怎樣擺？”“為什么要這樣表示？”引導(dǎo)學(xué)生在想象中感受每滿(mǎn)十都要捆成一捆，有幾捆就是幾個(gè)十。而設(shè)計(jì)二則安排了一次“拿珠子”的活動(dòng)，“如果這里有10顆1串和1顆1顆的珠子，請(qǐng)你拿出19顆珠子，想想可以怎樣拿？”引導(dǎo)學(xué)生既可以順向先拿10顆再拿9顆，也可以先拿2串再拆開(kāi)拿走1顆珠子。這樣的教學(xué)，著力在學(xué)生認(rèn)知的拐點(diǎn)處、思維的難點(diǎn)處，促進(jìn)了自然數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)的完整建立。

二、重視抽象過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光

“抽象性”是數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科向教育者發(fā)出的“核心指示”。抽象，意味著一切數(shù)學(xué)活動(dòng)（包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)活動(dòng)）都指向“理念世界”，而非“經(jīng)驗(yàn)世界”。我們要?jiǎng)?chuàng)造條件，努力讓學(xué)生在經(jīng)歷逐漸抽象的過(guò)程中，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)眼光。

1.在數(shù)序感知中抽象

自然數(shù)的概念有著豐富的內(nèi)涵，在教學(xué)的過(guò)程中不僅要注重讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)概念的形成，感受其基數(shù)含義，也要引導(dǎo)學(xué)生從“計(jì)數(shù)的數(shù)”方面入手，感知其“序數(shù)”含義。正如弗賴(lài)登塔爾所言：對(duì)于數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而言，“計(jì)數(shù)的數(shù)”（序數(shù)）意義更大，無(wú)論從歷史的、發(fā)展的還是從系統(tǒng)的角度來(lái)看，數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)發(fā)展的基石。兩則設(shè)計(jì)都在有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)的順序，如設(shè)計(jì)一中引導(dǎo)學(xué)生將本節(jié)課學(xué)習(xí)的數(shù)請(qǐng)到數(shù)軸上，從而將數(shù)納入到一定的結(jié)構(gòu)中，并設(shè)計(jì)了“找鄰居”等兒童化的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)之間的聯(lián)系。設(shè)計(jì)二中也設(shè)計(jì)了兩次感知活動(dòng)，第一次是用小棒圖直觀呈現(xiàn)學(xué)生以往認(rèn)識(shí)的“1～9”和本課認(rèn)識(shí)的“11～19”，引導(dǎo)學(xué)生在觀察中感受數(shù)的結(jié)構(gòu)與聯(lián)系；第二次則是通過(guò)對(duì)“尺子上的數(shù)”和“電梯上的數(shù)”的觀察，結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步感知數(shù)的順序。這樣的活動(dòng)不僅加深了學(xué)生對(duì)數(shù)的含義的理解，也進(jìn)一步感知了數(shù)的順序。

2.在問(wèn)題導(dǎo)學(xué)中抽象

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)“提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要”。提出問(wèn)題是需要想象力的，標(biāo)志著真正的進(jìn)步。用屬于學(xué)生的真實(shí)問(wèn)題激發(fā)學(xué)習(xí)需求，引發(fā)認(rèn)知失衡，激發(fā)主動(dòng)建構(gòu)。設(shè)計(jì)一在課末設(shè)計(jì)了學(xué)生提問(wèn)的環(huán)節(jié)，努力把學(xué)習(xí)從課內(nèi)延展到課外；而設(shè)計(jì)二在課前安排了學(xué)生提問(wèn)的環(huán)節(jié)，然后把問(wèn)題分成了三類(lèi)，用問(wèn)題激發(fā)學(xué)生積極探究的興趣和主動(dòng)探究的欲望，為深度學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。兩則設(shè)計(jì)都能?chē)@核心問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)，即“擺12根小棒，怎樣擺能看得很清楚”“今天學(xué)習(xí)的這些數(shù)和1、2、3……10有什么聯(lián)系？”在凸顯“十”作為一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位的作用，體會(huì)“十進(jìn)制”的美妙與價(jià)值的同時(shí)，關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，加深數(shù)的記憶，豐富數(shù)的感悟，從而建立完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

3.在融入生活中抽象

數(shù)學(xué)的眼光來(lái)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的抽象，通過(guò)“剝離”或“去掉”真實(shí)對(duì)象的其他屬性，進(jìn)而找到其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系和空間形式。兩則課例都注重從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活中取材，在學(xué)習(xí)了11～20各數(shù)后讓學(xué)生帶著收獲重新回到現(xiàn)實(shí)生活中。兩則設(shè)計(jì)中出示了多種“10個(gè)一打包的物品”，讓學(xué)生從不同角度體味這種設(shè)計(jì)的便捷性，體會(huì)“十進(jìn)制”思想在日常生活中的價(jià)值，這一種“反觀”不僅讓學(xué)生感知到數(shù)學(xué)在生活中是無(wú)處不在的，感受到數(shù)學(xué)在生活中的價(jià)值，更讓學(xué)生在審視生活現(xiàn)象時(shí)多了一份理性思考，培養(yǎng)其逐步學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)的眼光來(lái)洞悉事物的本質(zhì)。

三、經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程，促進(jìn)意義建構(gòu)

新課標(biāo)中明確指出：“通過(guò)豐富的教學(xué)方式，讓學(xué)生在實(shí)踐、探究、體驗(yàn)、反思、合作、交流等學(xué)習(xí)過(guò)程中感悟基本思想、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮每一種教學(xué)方式的育人價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展。”遵循這一要求，兩則課例在設(shè)計(jì)中都引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“有過(guò)程”的學(xué)習(xí)，從而更好地習(xí)得知識(shí)、形成素養(yǎng)。

1.多樣化材料導(dǎo)學(xué)

皮亞杰曾說(shuō)：“數(shù)不是某個(gè)東西的名稱(chēng)，它是事物與事物之間的相互關(guān)系，表明的是一個(gè)物體在一個(gè)序列中的位置以及一組物體中包含了多少個(gè)物體，這種關(guān)系不是直接用語(yǔ)言來(lái)教的，而是兒童通過(guò)感知、操作活動(dòng)在動(dòng)作中體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的?！弊匀粩?shù)概念的形成必須經(jīng)過(guò)實(shí)際操作，在操作中感悟、體驗(yàn)。兩則設(shè)計(jì)都努力做到這一要求，均借助小棒這一直觀材料，通過(guò)啟發(fā)學(xué)生把10根小棒捆成一捆，在操作活動(dòng)中深化對(duì)“10個(gè)一就是1個(gè)十”的理解，并提供了草莓圖、石子、打包好的雞蛋和紙巾等生活化素材，素材不斷地發(fā)生變化，但不變的是數(shù)滿(mǎn)10個(gè)就聚在一起，10個(gè)一是1個(gè)十，讓學(xué)生在多元的“結(jié)構(gòu)化”材料中，經(jīng)由豐富的操作體驗(yàn)逐步理解抽象的“數(shù)位”，進(jìn)而體會(huì)十進(jìn)制思想。

除了結(jié)構(gòu)化的操作材料，兩則設(shè)計(jì)也都引入數(shù)學(xué)史作為資源引領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)，體會(huì)其中蘊(yùn)含的智慧和合理性。設(shè)計(jì)一在課的最后引入了中國(guó)古老的甲骨文，從甲骨文中10的寫(xiě)法讓學(xué)生感悟“一捆”，將漫長(zhǎng)的歷史和今日學(xué)生之探索遙相呼應(yīng)，讓學(xué)生深感震撼。設(shè)計(jì)二則在“探索12”的過(guò)程中，有機(jī)融入“古人擺石子計(jì)數(shù)”的故事，以“1個(gè)大石子換10個(gè)小石子”，讓學(xué)生進(jìn)一步感知“位值”在計(jì)數(shù)中的美妙。

2.體驗(yàn)性任務(wù)促學(xué)

一年級(jí)學(xué)生的思維以具體形象為主，有效的體驗(yàn)性任務(wù)有利于學(xué)生達(dá)成從直觀動(dòng)作思維到具體形象思維，最后再到抽象思維的進(jìn)階，也就是對(duì)計(jì)數(shù)單位“十”的理解。兩則設(shè)計(jì)都注重設(shè)計(jì)體驗(yàn)性的操作任務(wù)，整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)以“12怎么擺”這一體驗(yàn)性活動(dòng)為主體，展開(kāi)自主探索。此外，兩則設(shè)計(jì)也都非常關(guān)注“數(shù)數(shù)”活動(dòng)。充分的“數(shù)數(shù)”活動(dòng)是學(xué)生形成“數(shù)概念”的基礎(chǔ)，有利于對(duì)“數(shù)”概念的深刻理解。例如，在探究12的過(guò)程中，均讓學(xué)生數(shù)出12根小棒，通過(guò)1根1根地?cái)?shù)，學(xué)生知道了表示某一集合的數(shù)量，通過(guò)2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù)或5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，豐富了對(duì)“數(shù)”的認(rèn)識(shí)，通過(guò)把10根小棒捆成一捆再計(jì)數(shù)的方法，感受10參與計(jì)數(shù)的優(yōu)越性。此外，數(shù)數(shù)活動(dòng)中也滲透了對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。兩則設(shè)計(jì)都能突出“點(diǎn)數(shù)”（手指著一個(gè)物體，口中說(shuō)出一個(gè)數(shù)）的作用，讓學(xué)生建立起事物與事物之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，感受“一一對(duì)應(yīng)”的原則，為后續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)儲(chǔ)備經(jīng)驗(yàn)與方法；數(shù)的過(guò)程中“不遺漏、不重復(fù)”，也是在培養(yǎng)學(xué)生“有序地觀察”“有序地思考”等數(shù)學(xué)思想和方法。

3.反思性問(wèn)題深化

數(shù)概念的形成基于學(xué)生直接或間接的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，但又不能完全依賴(lài)經(jīng)驗(yàn)，也需要兒童理性的思考。兩則教學(xué)設(shè)計(jì)均在體驗(yàn)性活動(dòng)后有意識(shí)地通過(guò)反思性問(wèn)題將學(xué)生的思維活動(dòng)引向深水區(qū)。例如，設(shè)計(jì)一中，在第一次擺10根小棒后，就引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“都是10根，但擺得不一樣。你更喜歡誰(shuí)的擺法？為什么？”引導(dǎo)學(xué)生感受“位值”的價(jià)值。設(shè)計(jì)二則在“擺十幾”這一操作活動(dòng)結(jié)束后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了三次有價(jià)值的比較。第一次比較，是學(xué)生在擺12的過(guò)程中出現(xiàn)了不同的擺法，在討論中突出一捆小棒很方便，明晰計(jì)數(shù)單位“十”的簡(jiǎn)便性；第二次比較，是學(xué)生在自主用小棒擺了十幾以后觀察，大家都在數(shù)零散的單根小棒，沒(méi)有數(shù)整捆的小棒，讓學(xué)生再次體會(huì)到1個(gè)十的方便；第三次比較，是在學(xué)生自主擺出十幾后，整體進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)都有一捆小棒，對(duì)應(yīng)1個(gè)十，零散的小棒對(duì)應(yīng)幾個(gè)一。實(shí)踐之后的反思促進(jìn)學(xué)生的經(jīng)歷轉(zhuǎn)變?yōu)楦哂袃r(jià)值和生長(zhǎng)性的經(jīng)驗(yàn)，從而促進(jìn)了深度理解的產(chǎn)生，有效發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感。