用GGB可視化探究一道新高考題

何 英

(福建省福清龍西中學,福建 福清 350315)

現(xiàn)代的教學方式只有在正確的教育理念的指導(dǎo)下,并且在相關(guān)教學資源的支持下,才有可能既充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用,又能突出體現(xiàn)學生的學習主體地位.本文在可視化視角下進行研究,通過GeoGeBra數(shù)學可視化軟件,試圖在數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動中更細致地對高中數(shù)學課進行設(shè)計研究.

解析幾何中圓錐曲線的綜合問題歷來是教學中的一大難點,縱觀全國高考數(shù)學卷,我們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的壓軸題都有一定的難度,尤其是定長定點問題對學生的直觀想象素養(yǎng)要求更高.為了突破這一難點,教學中利用GeoGeBra[1]數(shù)學可視化軟件的動態(tài)演示功能,幫助學生直觀感知定長定點,為學生理解圓錐曲線問題提供梯子,打造生動的教學課堂,提升學生的素養(yǎng),同時提高課堂教學的生動性、實效性.

1 試題呈現(xiàn)

題目(2022年全國高考數(shù)學甲卷第20題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點．當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3．

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．當α-β取得最大值時,求直線AB的方程．

2 解析探究

2.1 分析驗證第(1)問

分析本題第(1)問通過直線MD垂直于x軸時,點M的橫坐標與點D的橫坐標相等,再根據(jù)Rt△MDF中勾股定理得出點M的縱坐標,及點M在拋物線上就比較容易求出P值,從而求出C的方程.

【可視化演示驗證】

②拖動M,當M的橫坐標為2時,此時MD垂直與x軸,MF的長度顯示為3(如圖1),所有條件結(jié)論均成立,驗證完成.

圖1 可視化演示驗證示意圖

2.2 分析驗證第(2)問

解析直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．由(1)知F(1,0),D(2,0),由點的坐標可以設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4).

又N,D,B三點共線,則KND=KBD,

【可視化演示過程】

①利用工具欄的直線,點M,D做直線,取直線與拋物線交點A;利用工具欄的直線,點N,D做直線,取直線與拋物線交點B;利用工具欄的線段,點A,B做直線;

②利用工具欄的角度,點D,F,M得到角α即MN的傾斜角α;

③在AB右側(cè)x軸上取一點C(軟件量角需要),取AB與x軸的交點E;利用工具欄的角度,點C,E,B得到角β即直線AB的傾斜角β;

④輸入命令γ=α-β,輸入命令S=tanγ,

⑤隱藏我們不需要的對象

⑥滑動點M進行動態(tài)演示,如圖2觀察S值的變化與γ值的變化,發(fā)現(xiàn)M從左往右移動的過程,S與γ先慢慢增大再慢慢減小,通過值的變化找到最大值:S=tanγ≈0.35.

圖2 觀察S值的變化與γ值的變化示意圖

圖2

3 拓展探究

3.1 拋物線上動點M,N是否影響定點E

實驗1拉動點M,在動態(tài)演示的過程中,點A,B都會隨著點M的移動而移動,而直線AB與x軸的交點E卻沒有移動(如圖3),為了印證這個發(fā)現(xiàn),將點E坐標顯示出來觀察.

圖3 觀察直線AB與x軸的交點示意圖

結(jié)論1:拋物線上動點M,N不影響定點E.

3.2 拋物線的特征量P對定點的影響

實驗2控制滑動條P的值,如圖4,當P值為4時,點E(8,0);當P值為3.2時,點E(6.4,0);當P值為-4.5時,點E(-9,0).直線AB過定點(2p,0).

結(jié)論2:拋物線C:y2=2px的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點．直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,直線AB過定點(2p,0).

4 注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的深度融合

可視化不僅僅是通過動畫的方式來對數(shù)學知識進行展示說明,而且已經(jīng)成為培養(yǎng)數(shù)學推理能力的重要手段[2].數(shù)學作為具有高度抽象性的一門學科,數(shù)形結(jié)合能夠解決很多問題,還能利用信息技術(shù)深入理解問題本質(zhì).但是大多數(shù)軟件對于圖像的展示還停留在靜態(tài)圖像上,而GGB將代數(shù)與幾何結(jié)合,隨著參數(shù)的變化將圖像變化動態(tài)展示出來,更有助于我們理解發(fā)現(xiàn)探究.教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的深度融合,實現(xiàn)傳統(tǒng)教學手段難以達到的效果,合理利用GGB深入理解問題本質(zhì),以此提高數(shù)學教學的有效性[3].通過控制變量讓學生觀察、發(fā)現(xiàn)、探究,使抽象的數(shù)學知識變得形象生動,有助于培養(yǎng)學生的思維能力、直觀想象能力等.鼓勵學生運用信息技術(shù)學習、探索和解決問題.能夠熟練使用GeoGebra這款集合了眾多軟件所長的軟件,幫助教師提升備課效率,提高教學質(zhì)量,具有一定的實際意義[4].