市場分數(shù)對期貨定價模型的影響

費 釗,楊 志,2,王 婧,2

(1.伊犁師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,新疆 伊寧 835000;2.伊犁師范大學應(yīng)用數(shù)學研究所,新疆 伊寧 835000)

0 引言

傳統(tǒng)的金融理論并不能很好地解釋金融市場中出現(xiàn)的某些現(xiàn)象,如波動聚集、過度波動、非正態(tài)性、長期反轉(zhuǎn)、中期動量、尖峰厚尾和貝塔異常等.因為傳統(tǒng)金融理論中假設(shè)投資者是理性的,但是經(jīng)過時間證明投資者并不總是理性的.經(jīng)過相關(guān)學者的進一步研究,金融市場模型得到了更好的發(fā)展.如BROCK和HOMMES[1]提出了投資者的信念隨著時間更新的適應(yīng)性測度模型,該模型通過內(nèi)生演化機制描述資產(chǎn)價格演化過程,研究參數(shù)對系統(tǒng)模型的影響.隨后,大多研究人員在BROCK和HOMMES[1]提出的模型基礎(chǔ)上進行了更進一步的研究[2-11].DIECI等[2]建立了異質(zhì)代理商下的市場分數(shù)模型,得出了不同投資者的市場占比對系統(tǒng)模型的影響.CHIARELLA等[3]研究了價格記憶長度對模型穩(wěn)定性的影響.GONG等[4]建立了期貨價格模型,研究了投資者之間的交易行為對價格發(fā)現(xiàn)的影響.王婧[5]研究了在不同角色下做市商制度對金融市場價格模型的影響,得到做市商的庫存調(diào)節(jié)速率對市場價格的影響.楊志[6]研究了具有融券的金融資產(chǎn)價格對穩(wěn)定金融市場價格模型的影響.

在傳統(tǒng)經(jīng)濟理論中,通常認為期貨價格反映現(xiàn)貨基本信息,在短期內(nèi)不會有快速和大幅度的變化,隨著交割日的臨近,理論上期貨價格會逐漸趨于現(xiàn)貨基本價值.然而相關(guān)研究表明,交易活動和不同的投資者結(jié)構(gòu)對期貨價格和現(xiàn)貨價格有重大影響.市場價格是通過不同投資者相互博弈而產(chǎn)生的動態(tài)均衡價格,異質(zhì)型投資者對價格和利潤有著不同的信念與預(yù)期,不同投資者采用不同策略.由于異質(zhì)投資者的行為對資產(chǎn)定價有一定的影響,考慮從行為均衡的角度來研究維持金融市場穩(wěn)定的一些條件.本文假設(shè)期貨市場含有三類投資者,即基本面分析者、技術(shù)分析者、套期保值者,通過建立期貨定價模型,研究不同類型投資者所占的市場分數(shù)對金融市場穩(wěn)定性的影響,通過研究得出,在一定范圍內(nèi)市場參與者的類型越豐富,越有助于市場的穩(wěn)定.

1 建立模型

假設(shè)期貨市場中含有三類投資者,即基本面分析者、技術(shù)分析者、套期保值者,假設(shè)投資者收益服從均值-方差效用模型[4]:

其中,Et、vart分別為投資者利用已有的信息所得的條件期望和條件方差;a是風險厭惡系數(shù);πt+1是t+1時刻的收益.

在期貨市場中投資者持有的合約不會產(chǎn)生紅利,收益主要表現(xiàn)為價差.對于基本面分析者和技術(shù)分析者,收益為

πi,t+1=(pt+1-pt)zi,t,i=1,2,

(1)

其中,pt為t時刻的期貨價格;zi,t為第i類投資者的期貨需求;i=1代表基本面分析者,i=2代表技術(shù)分析者.

套期保值者的主要目的是防范風險,在期貨市場和現(xiàn)貨市場以相反的方向和相同的數(shù)量進行交易以對沖風險,其收益為

π3,t+1=(pt+1-pt+st-st+1)z3,t,

(2)

其中,st為t時刻的現(xiàn)貨價格.

利用均值-方差最大化得出投資者的最優(yōu)需求zi,t:

(3)

其中,ai是第i類投資者的風險厭惡系數(shù);Bt=st-pt表示現(xiàn)貨價格與期貨價格的差額.

假設(shè)投資者是有限理性的,不同類型的投資者以不同策略形成他們的期望,基本面分析者利用已有知識,預(yù)計期貨價格趨近基準價值p*,在基準價值附近上下波動,條件期望為

E1,t(pt+1)=k(p*-pt)+pt,

(4)

其中,k表示投資者預(yù)期調(diào)整速率,k>0.

技術(shù)分析者根據(jù)以往的業(yè)績走勢來預(yù)測下一時期的期貨價格,條件期望為

E2,t(pt+1)=pt+g(pt-pt-1),

(5)

其中,g表示趨勢外推的速度.

套期保值者認為,隨著交割日的臨近,期貨價格和現(xiàn)貨價格會相互收斂,如果期貨價格與現(xiàn)貨價格之間的差價較大,預(yù)計在下一時期會收窄,條件期望為

E3,t(Bt+1)=Bt-α(st-pt),

(6)

其中,α表示調(diào)整速度.

假設(shè)這三類投資者對條件方差的信念是不變的,即

(7)

則投資者的最優(yōu)需求分別為

(8)

假設(shè)基本面分析者、技術(shù)分析者、套期保值者這三類交易者在t時刻所占的市場分數(shù)分別為qi,t(i=1,2,3).由于套期保值者在期貨市場做對沖來保值,而做對沖的一般是具有高度金融知識的機構(gòu)投資者,其在市場中所占的比例相對固定.因此假設(shè)套期保值者在市場中所占比例固定為n3.假設(shè)基本面分析者和技術(shù)分析者在市場中占有的市場分數(shù)分為固定部分和時變部分[2],固定部分分別為n1,n2,則(1-n3)(n1+n2)表示隨著時間的變化,基本面分析者和技術(shù)分析者保持交易策略不變的占比.(1-n3)(1-(n1+n2))表示基本面分析者和技術(shù)分析者改變交易策略的占比,并假設(shè)基本面分析者與技術(shù)分析者在t時刻的占比分別為n1,t,n2,t,且n1,t+n2,t=1.由此可得到

n1,t,n2,t由離散選擇模型決定[1]:

(9)

其中,β為選擇強度,用于衡量基本面分析者與技術(shù)分析者對不同投資預(yù)測規(guī)則的傾向程度;Ci是第i類投資者選擇策略所付出的信息成本;Ui,t為t時刻第i類投資者在期貨市場中所獲得的利潤,用來度量交易策略在期貨市場中的適應(yīng)程度,稱作適應(yīng)測度.

經(jīng)風險調(diào)整后的適應(yīng)測度[12]:

(10)

其中,η為記憶參數(shù),0<η<1,η代表過去適應(yīng)測度對投資者現(xiàn)有策略的影響,則有

(11)

假設(shè)期貨價格是通過做市商機制得出的[3,13],調(diào)整機制為

pt+1=pt+μDt,

(12)

其中,μ表示市場流動性水平,Dt表示市場需求.

Dt=q1,tz1,t+q2,tz2,t+q3,tz3,t.

(13)

現(xiàn)貨價格的調(diào)整是由期貨價格和現(xiàn)貨價格來決定的,其調(diào)整機制為

st+1=vp*+(1-v)pt+εt,

(14)

其中,0

由此,得到非線性差分方程的市場動力系統(tǒng):

(15)

2 穩(wěn)定性分析

令隨機項為零,并假設(shè)ai=a,i=1,2,3.

(16)

考慮平衡點的局部漸進穩(wěn)定性,基本面分析者與技術(shù)分析者在平衡點的市場分數(shù)分別為

定理2 由參數(shù)(μ,g)確定的區(qū)域Ω為平衡點E的局部漸進穩(wěn)定區(qū)域,

Ω={(μ,g):μ≤μ1, max{0,g1}

E經(jīng)歷了一個Hopf分支,其中,

證明 該模型在平衡點處所對應(yīng)的雅克比矩陣為

通過計算得出雅克比矩陣所對應(yīng)的特征方程為λ2(λ-η)2Γ(λ)=0,其中,

由于0<η<1,所以只考慮Γ(λ)的兩個特征根是否在單位圓內(nèi),由Jury判據(jù)可得

解上述不等式組即可使定理2得證.

由定理2可以看出,假設(shè)其他參數(shù)不變,當g1<0時,隨著n3的增大,Ω的區(qū)域逐漸增大,也就是在適當范圍內(nèi),隨著套期保值者占比增大,系統(tǒng)在平衡點的穩(wěn)定區(qū)域逐漸增大.在期貨市場中,套期保值者具有促進市場穩(wěn)定的功能.同樣,若其他參數(shù)不變,在適當范圍內(nèi),隨著k的增大,穩(wěn)定區(qū)域反而逐漸減小,也就是有了套期保值者的參與,市場情緒變得更加復雜.只有當各參數(shù)相互協(xié)調(diào)時,才能滿足穩(wěn)定條件.這意味著行為因素對市場穩(wěn)定有著綜合影響.

3 數(shù)值分析

基本平衡點E在(μ,g)空間上局部穩(wěn)定區(qū)域如圖1所示.由圖1(a)(c)(e)可知,當套期保值者的比例n3分別為0.1、0.5、0.7時,所對應(yīng)的系統(tǒng)在平衡點處的穩(wěn)定區(qū)域逐漸增大,這說明在市場中套期保值者的參與有助于維護市場的穩(wěn)定性.由圖1(b)(d)(f)可知,當基本面分析者和技術(shù)分析者在市場中占有的市場分數(shù)的固定部分n0分別取0.1、0.3、0.7時,所對應(yīng)的系統(tǒng)在平衡點處的穩(wěn)定區(qū)域逐漸減少,即時變部分(1-n0)逐漸減小,穩(wěn)定區(qū)域逐漸減少,說明在市場中基本面分析者和技術(shù)分析者根據(jù)已有信息改變交易策略,可維護市場的穩(wěn)定性.

(a)n3=0.1

(b)n3固定,n0=0.1

(c)n3=0.5

(e)n3=0.7

(f)n3固定,n0=0.7圖1 基本平衡點E在(μ,g)空間上局部穩(wěn)定區(qū)域

當所有參數(shù)在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)取值時,考慮價格的時序圖以及相圖.資產(chǎn)價格圖如圖2所示,資產(chǎn)價格相圖如圖3所示.由圖2可知,當參數(shù)在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)取值時,價格隨著時間的變化總會趨于基準價值.由圖3可知,當參數(shù)在邊界點取值時,會出現(xiàn)極限環(huán),價格圍繞著一定的范圍波動.

圖2 資產(chǎn)價格圖

圖3 資產(chǎn)價格相圖

4 結(jié)語

通過建立三類異質(zhì)性投資者(基本面分析者、技術(shù)分析者和套期保值者)形成的期貨市場動力學模型,利用離散動力系統(tǒng)理論以及數(shù)值分析,得到如下結(jié)論:第一,在金融市場中,異質(zhì)性投資者越多,金融市場就越有活力,對于維護市場穩(wěn)定具有促進作用;第二,基本面分析者與技術(shù)分析者根據(jù)市場信息調(diào)整交易策略,在一定程度上起到穩(wěn)定市場的作用;第三,隨著套期保值者的市場占比在一定范圍內(nèi)的增多,使得期貨價格與現(xiàn)貨價格趨向于基準價值,起到穩(wěn)定市場的作用.