保斜漸近線和垂直漸近線的連分式插值

胡云飛, 趙前進(jìn)

(安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院, 安徽 淮南 232001)

連分式是一個(gè)十分古老的數(shù)學(xué)分支學(xué)科, 但是連分式插值與逼近[1]是一種新的非線性數(shù)值計(jì)算工具, 它提供了一種新的非線性數(shù)值計(jì)算方法, 連分式在工程技術(shù)領(lǐng)域得到了應(yīng)用[2-4], 近年來連分式成功地應(yīng)用于計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和數(shù)字圖像處理等領(lǐng)域[5-6]. Thiele型連分式插值[1, 7]是一種有理插值方法[8], 為函數(shù)的連分式展開提供了強(qiáng)有力的工具. 在工程技術(shù)中經(jīng)常遇到一些具有斜漸近線和極點(diǎn)的函數(shù), 采用多項(xiàng)式或者傳統(tǒng)的Thiele型連分式作為逼近工具是不合適的, 在逼近函數(shù)時(shí)無法保持被插值函數(shù)的斜漸近線, 也無法區(qū)分極點(diǎn)以及極點(diǎn)的重?cái)?shù), 逼近效果不一定十分理想. 通過研究連分式插值有理分式最高次項(xiàng)系數(shù)與函數(shù)極限之間的關(guān)系, 構(gòu)建保斜漸近線和垂直漸近線的連分式插值算法, 證明新算法的存在唯一性[9], 給出誤差分析[10-11]和數(shù)值例子證明新算法的有效性.

1 Thiele型連分式插值

設(shè)被插值函數(shù)y=f(x),x0,x1, …,xn是被插值函數(shù)y=f(x)的(n+1)個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn),yi=f(xi)(i=0, 1, …,n)是插值函數(shù)y=f(x)在插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值.

稱如以下公式(1)形式的連分式:

(1)

為Thiele型連分式, 其中Pn(x),Qn(x)為有理分式的分子分母.

式(1)中

bi=φ[x0,x1, …,xi],i=0, 1, …,n,

(2)

令

φ[xi]=yi,i=0, 1, …,n,

(3)

(4)

(5)

稱由以上式(2)～(5)確定的φ[x0,x1, …,xl]為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0,x1, …,xl處的l階逆差商, 且滿足下列條件

Rn(xi)=yi,i=0, 1, 2, …,n.

設(shè)P-1=1,P0=b0,Q-1=0,Q0=1, 則對(duì)n≥1有連分式的三項(xiàng)遞推關(guān)系[12]

(6)

由連分式三項(xiàng)遞推關(guān)系可知多項(xiàng)式Pn(x)和Qn(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)和次最高項(xiàng)系數(shù)具有以下系數(shù)關(guān)系[13]:

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

L(Pn(x))=1,

(7)

L(Qn(x))=b1+b3+…+bn,

(8)

L′(Pn(x))=b1b0-x0+b3(b0+b2)-x2+…+bn(b0+b2+…+bn-1)-xn-1,

(9)

L′(Qn(x))=0+b3L′(Q2(x))-b1x2+…+bnL′(Qn-1(x))-(b1+b3+…+bn-2)xn-1;

(10)

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

LPn(x)=b0+b2+…+bn,

(11)

LQn(x)=1,

(12)

(13)

(14)

(15)

易證明上式多項(xiàng)式最高次項(xiàng)系數(shù)和次最高次項(xiàng)系數(shù)關(guān)系:

L(d(x))=1,

(16)

(17)

設(shè)

(18)

由式(7)～(14)可得

當(dāng)n+1為奇數(shù)時(shí)

L(P1, n+1(x))=b1+b3+…+bn+1,

(19)

L(Q1, n+1(x))=1,

(20)

L′(P1, n+1(x))=b3L′(P1, 2(x))-b1x2+…+bn+1L′(P1, n(x))-(b1+b3+…+bn-1)xn,

(21)

L′(Q1, n+1(x))=b3b2-x2+…+bn+1(b2+b4+…+bn)-xn;

(22)

當(dāng)n+1為偶數(shù)時(shí)

L(P1, n+1(x))=1,

(23)

L(Q1, n+1(x))=b2+b4+…+bn+1,

(24)

L′(P1, n+1(x))=b2b1-x1+b4(b1+b3)-x3+…+bn+1(b1+b3+…+bn)-xn,

(25)

L′(Q1, n+1(x))=0+b4L′(Q1, 3(x))-b2x3+…+bn+1L′(Q1, n(x))-(b2+b4+…+bn-1)xn.

(26)

構(gòu)造連分式插值

(27)

滿足以下條件

r*(xi)=c(xi)=yid(xi),i=0, 1, …,n,

(28)

由式(15)(18)(27)可得預(yù)給極點(diǎn)的連分式插值

(29)

2 保斜漸近線和垂直漸近線的連分式插值算法

由式(15)(18)(29), 可得

(30)

使之滿足

(31)

式(30)中

φ[xi]=c(xi)=yid(xi),i=0, 1, …,n-1,

易證明

當(dāng)n+1為奇數(shù)時(shí)

(32)

當(dāng)n+1為偶數(shù)時(shí)

(33)

由于xn,xn+1未知, 故無法通過逆差商公式計(jì)算得到bn=φ[x0,x1, …,xn],bn+1=φ[x0,x1, …,xn+1].

由式(7)(8)(11)(12)(30)可得

當(dāng)n+1為奇數(shù)時(shí)

(34)

由式(34)計(jì)算可得

(35)

當(dāng)n+1為偶數(shù)時(shí)

(36)

由式(36)計(jì)算可得

bn+1=A-b0-b2-…-bn-1.

(37)

由式(16)(17)(18)(30)可得

(38)

由式(16)～(26)可得

當(dāng)n+1為奇數(shù)時(shí)

bn=

(39)

當(dāng)n+1為偶數(shù)時(shí)

bn=

(40)

3 存在唯一性證明

定理1：設(shè)

證明：利用逆差商的定義可得:

定理2:有理插值問題(30)(31)若存在解, 則解是唯一的.

證明：由式(30), 設(shè)

由

得

下設(shè)

則有

由式(35)(37)可得

同理, 由式(39)(40)可得

于是

唯一性即證.

4 誤差分析

定理3:設(shè)插值節(jié)點(diǎn){x0,x1, …,xn-1,xn}?(a,b),y=f(x)在(a,b)上有n階的導(dǎo)數(shù), 若

且有

其中ωn(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1),x0,x1, …,xn-1及x的最小開區(qū)間表示為Ι(x0,x1, …,xn-1,x).

證明:設(shè)E(x)=f(x)Qn+1(x)-Pn+1(x), 則有rn+1(xi)=yi(i=0, 1, …,n-1), 得

E(xi)=0,i=0, 1, …,n-1,

因此

E[x0,x1, …xk]=0,k=0, 1, …,n-1,

E[x0,x1, …xk]表示函數(shù)E(x)在點(diǎn)x0,x1, …xk的k階差商.

利用Newton展開式可得

因此

同時(shí)

5 數(shù)值例子

證明：由式(28)可得r*(x0)=5.25385602,r*(x1)=19.29152412,r*(x2)=49.21779912,r*(x3)=101.13430700, 由式(36)可得m=3.

將以上數(shù)據(jù)代入式(35)可知

將b5代入式(39), 得

b4=

將b4,b5代入保斜漸近線和垂直漸近線的連分式算法式(30), 得

(41)

將式(41)化簡(jiǎn)為有理函數(shù), 得

(42)

顯然

證畢.

若使用傳統(tǒng)的Thiele型插值連分式, 由式(1), 得

(43)

將式(43)化簡(jiǎn)為有理函數(shù), 得

(44)

被插值函數(shù)y=f(x)的圖像和斜漸近線與插值函數(shù)r5(x)的函數(shù)圖像如圖1所示.

圖1 插值函數(shù)與被插值函數(shù)圖像

由圖1可知, 保斜漸近線和垂直漸近線的連分式插值在逼近具有斜漸近線和極點(diǎn)的函數(shù)時(shí)具有較好的逼近效果, 可以保持被插值函數(shù)的斜漸近線和垂直漸近線.

計(jì)算被插值函數(shù)y=f(x)與插值函數(shù)r5(x)、R3(x)在某些點(diǎn)處函數(shù)值差的絕對(duì)值, |f(x)-r5(x)|和|f(x)-R3(x)|的誤差函數(shù)圖像如圖2所示.

圖2 誤差函數(shù)圖像

由圖2可知, 保斜漸近線和垂直漸近線的連分式插值在逼近具有斜漸近線和極點(diǎn)的函數(shù)時(shí)相比于傳統(tǒng)的Thiele型連分式插值具有更小的誤差.

6 結(jié)論

文章研究保斜漸近線和垂直漸近線的連分式插值問題, 通過對(duì)每個(gè)插值函數(shù)值乘以一個(gè)確定的數(shù)以及連分式的有理分式的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)和次最高次項(xiàng)系數(shù)存在的恒等關(guān)系, 構(gòu)建了保斜漸近線和垂直漸近線的連分式插值算法, 證明了新算法的存在唯一性, 給出了誤差分析并通過數(shù)值例子證明了新算法的有效性.