高考數(shù)學情境化試題分析與教學啟示

王智宇　張維忠

【摘 要】以學科核心素養(yǎng)為導向的高考評價體系為數(shù)學情境化試題的設計提供了廣闊的空間。研究者從“背景呈現(xiàn)”“數(shù)學表征”“任務要求”三個維度對數(shù)學情境化試題的水平進行分析和說明，并給出科學設計數(shù)學教學情境、強化數(shù)學表征能力以及深化對數(shù)學知識本質的理解與遷移等教學啟示。

【關鍵詞】高考數(shù)學；情境化試題；水平分析

以學科核心素養(yǎng)為導向的高考評價體系為高考數(shù)學情境化試題的設計提出了較高的要求?！吨袊呖荚u價體系說明》提出要發(fā)揮問題情境在考查學生在必備知識、關鍵能力、學科素養(yǎng)和核心價值四個層面的重要價值。其中，情境分為生活實踐情境和學習探索情境兩種類別，情境活動將分為簡單的情境活動和復雜的情境活動兩個層次［1］?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》也對高考命題進行了說明：選擇合適的問題情境是考查數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要載體。情境包括現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境，每種情境可以分為熟悉的、關聯(lián)性、綜合的。數(shù)學問題分為簡單問題、較復雜問題和復雜問題。［2］然而，上述兩種劃分辦法割裂了情境與問題的關聯(lián)，同時尚未明確各個層次的邊界，不能全面地分析情境化試題的特點。因此，本文將更細致地對數(shù)學情境化試題進行水平劃分和說明，并結合2022—2023年部分全國高考數(shù)學試題進行分析，從而形成對數(shù)學課堂教學的若干啟示。

一、數(shù)學情境化試題的水平分析框架

結合數(shù)學學科的特征以及我國高考數(shù)學試題的命制特點，本文嘗試從“背景呈現(xiàn)”“數(shù)學表征”“任務要求”三個維度對數(shù)學情境化試題的水平進行分析，具體劃分辦法如下。

（一）背景呈現(xiàn)

“背景呈現(xiàn)”指學生對試題中情境與問題的背景的親近感知程度，由近到遠分為“熟悉”“關聯(lián)”“綜合”三個層次。其中，“熟悉”是指學生在先前的數(shù)學課程學習中接觸過的、感興趣的、現(xiàn)實生活環(huán)境中常見的背景；“關聯(lián)”是指學生不太熟悉的、先前沒有接觸過的情境，可以是數(shù)學內部不同知識模塊的關聯(lián)背景，也可以是數(shù)學與生活實踐、歷史文化、其他學科以及科技應用等之間的關聯(lián)背景；“綜合”是指學生感到陌生的情境，需要學生開展探究與創(chuàng)新的情境，是數(shù)學知識內部與外部之間更廣泛的、更深層的、更隱蔽的關聯(lián)背景。

（二）數(shù)學表征

“數(shù)學表征”指學生在情境中提取數(shù)學信息并轉化為有利于問題解決的數(shù)學表征方式的能力，從低到高分為“解釋”“選擇”“設計”三個層次。其中，“解釋”是指學生能夠識別試題呈現(xiàn)的表征和直接利用文字、符號、操作性模型、圖形或圖表等表征進行解釋；“選擇”是指學生能夠為情境與問題的理解或問題解決選擇恰當?shù)谋碚鞣绞揭约澳軌蛟诓煌谋碚髦g進行相互轉換；“設計”是指學生在能夠熟練運用各種數(shù)學表征方式的基礎上，為情境的理解或問題解決的關鍵點設計特定的表征方式。

（三）任務要求

“任務要求”指學生分析情境與問題中蘊含的數(shù)學關系以及完成解題任務所需要達到的認知水平和動作水平，從低到高分為“理解”“分析”“創(chuàng)造”三個層次?！袄斫狻笔侵笇W生能夠理解情境與問題中蘊含的數(shù)學概念、性質、公式、定理和公理等的基本含義與特征，運用數(shù)學基礎知識、基本規(guī)則和基本方法解決簡單的數(shù)學問題等；“分析”是指學生能夠進行類比數(shù)學推理，區(qū)分和識別數(shù)學情境與問題蘊含的數(shù)學內容的本質屬性，將統(tǒng)一整體下的各部分數(shù)學內容分類和建構聯(lián)系，綜合運用各種知識和方法解決常規(guī)性的較為復雜的數(shù)學問題；“創(chuàng)造”是指學生在復雜的情境與問題中將源于不同整體下的關聯(lián)度更低的數(shù)學要素整合在一起形成內在一致的功能整體，能夠運用數(shù)學思維和思想方法創(chuàng)造性地通過猜想、驗證來解決非常規(guī)性的復雜的數(shù)學問題。

將“背景呈現(xiàn)”“數(shù)學表征”“任務要求”分別用字母X，Y，Z來表示，“背景呈現(xiàn)”的“熟悉”“關聯(lián)”“綜合”三個層次依次表示為X1，X2，X3，以此類推表示另外兩個維度，則每一道情境化試題的水平層次都可以表示為（Xi，Yj，Zk），其中i，j，k∈{1，2，3}。需要說明的是，三個維度之間不是相互獨立的，是彼此關聯(lián)的，共同構成了情境化試題的水平空間。

二、高考數(shù)學情境化試題分析

根據(jù)上述的劃分辦法，下面結合2022—2023年部分高考數(shù)學試卷中的典型試題進行分析和說明。

三、對數(shù)學課堂教學的若干啟示

結合上述分析發(fā)現(xiàn)：第一，刻畫試題情境化水平的三個維度之間存在關聯(lián)性，即改變一個維度的水平會影響另外兩個維度的水平；第二，同一學習者對于試題的理解會受到試題的情境化水平的梯度設置方式的影響；第三，擁有不同學習經驗的學習者對試題的情境化水平的理解會存在差異。這也為課堂教學提供了更多的可能性。教學的一個重要任務是幫助學生實現(xiàn)從“綜合情境”到“關聯(lián)情境”，再到“熟悉情境”的感知轉變，以及運用和設計數(shù)學表征解釋和闡明情境中的數(shù)學問題，將復雜的數(shù)學問題轉化為簡單的數(shù)學問題，并逐步建立關于數(shù)學知識本質的理解，實現(xiàn)知識遷移與創(chuàng)新，培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)。因此，在教學中，我們可以得出以下啟示。

（一）科學設計數(shù)學教學情境

情境學習和認知理論強調知識是主觀的，動態(tài)發(fā)展的，無法直接傳遞的，需要學習者在特定的情境脈絡中不斷地理解和建構中產生［3］。知識的遷移性孕育著素養(yǎng)的遷移性。這意味著促進素養(yǎng)發(fā)展的知識學習需要與多樣化的情境相聯(lián)系，使其遷移性獲得最大化［4］。因此，數(shù)學教學情境是落實數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體，直接影響著學生的知識建構和思維發(fā)展，具有不可或缺性。教師設計數(shù)學教學情境時需考慮三個方面：第一，把握情境設計的原則和方法，即聚焦于教學目標，符合學生認知和思維發(fā)展規(guī)律，體現(xiàn)出科學性、探究性和發(fā)展性等?；跀?shù)學知識內部的發(fā)展與社會生產生活的需要，從生活、社會、數(shù)學史料和其他學科中提取真實情境的原型，通過觀察生活現(xiàn)象和實物、實驗操作、利用信息技術資源、聚焦疑難問題等方式逆向設計教學情境。第二，把握情境創(chuàng)設的目的，即通過設計真實的情境，引導學生溝通數(shù)學與現(xiàn)實生活以及數(shù)學內部的聯(lián)系，激發(fā)學生的探究和挑戰(zhàn)的欲望，完整地經歷問題解決的過程，建立關于數(shù)學知識理解的記憶，逐漸學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)展“四基”“四能”。因此，教師在情境設計時要避開那些提不出問題或不具備研究價值的情境、平淡無奇或一目了然的情境、復雜古怪或晦澀難懂的以至于學生運用熟悉的知識與技能難以理解的情境。第三，把握情境設計的層次性。弗賴登塔爾提出數(shù)學教育的任務就在于確定各類學生不同階段必須達到的數(shù)學現(xiàn)實，將客觀現(xiàn)實材料與數(shù)學知識體系融為一體［5］。因此，情境設計的層次性應當與數(shù)學核心素養(yǎng)水平發(fā)展的層次性對應起來，并體現(xiàn)循序漸進的原則。比如在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題的原型以促進知識理解，在關聯(lián)的情境中將不熟悉的數(shù)學問題轉化為熟悉的數(shù)學問題以促進知識遷移，在綜合的情境中感悟到問題變形、拓展和延伸的脈絡以促進知識創(chuàng)新［6］。

（二）強化數(shù)學表征能力

數(shù)學試題是問題情境化和情境問題化的綜合體現(xiàn)。情境指向背景中蘊含的數(shù)學信息，問題指向問題解決所需要經歷的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等過程。情境與問題之間存在理解和建構的不確定性，蘊含召喚結構［7］。數(shù)學表征有助于建立一種映射關系，為“從情境中抽象出數(shù)學問題”“將一個數(shù)學問題轉化為另一個更容易理解的數(shù)學問題”“基于情境與問題的解決生成新的情境與問題”等環(huán)節(jié)提供支持。教師可以從以下三個方面強化學生的數(shù)學表征能力：第一，為學生識別與簡單運用熟悉的數(shù)學表征提供支持。教師要充分借助恰當?shù)默F(xiàn)代信息技術手段以及數(shù)學教學工具，增強學生的直觀認識，引導學生從情境中抽象出數(shù)學關系，能夠發(fā)現(xiàn)、提出以及用數(shù)學文字語言、符號語言和圖象語言表征數(shù)學問題，積累重要的數(shù)學模型的表征方法，比如用三種語言表征“基本立體圖形與立體圖形的關系、初等函數(shù)的性質、直線與圓錐曲線的位置關系”等。第二，為提高學生的表征轉換能力提供支持。教師首先要拓寬素材的來源，比如人教A版高中數(shù)學教科書編排函數(shù)的概念、函數(shù)模型的應用、建立數(shù)學模型解決實際問題、隨機變量的分布、樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析、裴波那契數(shù)列、楊輝三角、割線的斜率變化等內容運用了豐富的多元表征形式，研究表明使用多元表征比單一表征更容易理解數(shù)學［8］。此外，教師要鼓勵學生以小組合作的形式分析比較不同的數(shù)學表征對數(shù)學問題的遷移和解決的影響，提高學生靈活地選擇數(shù)學表征解釋和轉化數(shù)學問題的能力。第三，為學生創(chuàng)造性地設計數(shù)學表征提供支持。首先，教師所設計的情境的結構是不良的，情境與問題之間蘊含著召喚結構，從而使問題解決的方案是不明確的、多樣化的以及可持續(xù)優(yōu)化的，幫助學生自己形成問題解決的辦法。此外，教師在實施教學過程中要多鼓勵學生提出多元表征以及共同協(xié)作考察各種方案的可行性從而形成解決路徑。

（三）深化對數(shù)學知識本質的理解與遷移

數(shù)學情境化試題是以情境與問題為載體，數(shù)學表征為手段，數(shù)學認知為核心建構的數(shù)學知識內部與外部關聯(lián)的一個整體。高考數(shù)學試題以數(shù)學核心素養(yǎng)的評價為導向考查學生知識學習的水平。因此，教師可以從以下三個方面展開教學：第一，挖掘數(shù)學原始概念的關聯(lián)，拓寬認知的渠道。比如教師可以依托“向量內容”的教學讓學生認識到“點的直角坐標，向量的坐標分解，直角三角形的正弦、余弦，復數(shù)的實部與虛部四位一體，它們的原始概念彼此相通，只是形式上的不同”，從而更好地理解高考命題往往在知識點的交匯處這一特點。第二，強化數(shù)學思想方法的引領，明確解題路徑。近年來，高考試題中出現(xiàn)的諸如“求解三角形邊角及其關系的最值”“求立體圖形中的某個幾何量的最值”“證明與函數(shù)的零點與極值點有關的不等關系”“數(shù)列不等式的證明”等問題的本質是考查學生對函數(shù)思想的掌握與應用。解決此類問題的核心策略是基于各個知識模塊中的相等關系或不等關系，通過推理實現(xiàn)多個變量到單一變量的轉化，再選擇恰當?shù)暮瘮?shù)最值求解方法進行解題。第三，重視反思對于實現(xiàn)高質量學習的重要意義。教師要給予學生足夠多的機會反思他們的學習行為，包括為什么這么做，如何做，以及如何評價學習的效果。通過反思，學生進一步對舊的情境與問題進行變式，從而拓展和推廣生成新的情境與問題等，形成和發(fā)展數(shù)學思維。

參考文獻：

［1］中國高考評價體系說明. 教育部考試中心［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］BROWN J S，COLLINS A，DUGUID P. Situated cognition and the culture of learning［J］. Educational researcher，1989（1）：32-42.

［4］張華. 論核心素養(yǎng)的內涵［J］. 全球教育展望，2016（4）：10-24.

［5］弗賴登塔爾. 作為教育任務的數(shù)學［M］. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1995.

［6］喻平. 數(shù)學核心素養(yǎng)評價的一個框架［J］. 數(shù)學教育學報，2017（2）：19-23，59.

［7］丁福軍，張維忠. 學習機會視角下小學數(shù)學課堂中的情境任務教學質量分析［J］. 浙江師范大學學報（自然科學版），2023（2）：219-226.

［8］沈陽，張晉宇，鮑建生. 表征在數(shù)學教育中的研究現(xiàn)狀［J］. 數(shù)學教育學報，2022（2）：82-89.

（責任編輯：陸順演）

【作者簡介】王智宇，一級教師，浙江師范大學教育學院在讀博士研究生，主要從事數(shù)學課程與教學論研究；張維忠，浙江師范大學教授，博士生導師，主要從事數(shù)學課程與教學論研究。

【基金項目】全國教育科學“十三五”規(guī)劃教育部重點課題“指向深度理解的問題鏈教學研究”（DHA200318）