高中概率統(tǒng)計的大單元教學(xué)分析

黎華斌

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；概率統(tǒng)計知識；大單元教學(xué)

前言

概率統(tǒng)計涉及的思想方法與其他模塊的數(shù)學(xué)知識相比有很大差別，即實用性強，教師如果在短時間內(nèi)上完全部課程，就會導(dǎo)致學(xué)生的習(xí)題訓(xùn)練少，不能進行客觀分析，解相關(guān)問題時難以得分．基于此教師要優(yōu)化高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計知識，以大單元教學(xué)的模式整合教學(xué)內(nèi)容，科學(xué)分配課時，讓學(xué)生能夠深入學(xué)習(xí)與思考概率統(tǒng)計方面的知識，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

一、概率統(tǒng)計的教學(xué)要求

概率部分的知識在高中數(shù)學(xué)人教版教材必修二中有提及，要求學(xué)生在初中概率知識基礎(chǔ)上，深化理解概率的概念與性質(zhì)，如什么是樣本點、樣本空間、事件與它們之間的基本關(guān)系等，從數(shù)學(xué)的角度知道隨機現(xiàn)象，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．同時該部分內(nèi)容講解了概率的計算，并分別提出古典概型（使用計算原理排列數(shù)組合數(shù)分析）、乘法公式和加法公式（條件概率和全概率公式），提出幾種特殊的隨機變量中的均值方差、概率分布，隨機變量的分布等，此部分的內(nèi)容對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算、建模與邏輯推理能力有重要意義．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》中對于概率統(tǒng)計部分的知識要求學(xué)生在日常生活中學(xué)會數(shù)據(jù)的收集，能夠使用統(tǒng)計的基本方法進行決斷，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，掌握統(tǒng)計部分的知識包括數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、直觀表示、數(shù)據(jù)的收集等，以及抽樣的方法、獲取數(shù)據(jù)的途徑、用樣本估計統(tǒng)計等知識，利用科學(xué)的方法分析數(shù)據(jù)，掌握一元線性回歸模型，使用2x2列聯(lián)表進行檢驗，

二、基于高考試卷對概率統(tǒng)計考題的分析

對近五年高考數(shù)學(xué)試卷中概率統(tǒng)計考題進行分析，筆者發(fā)現(xiàn)試卷中以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力與邏輯推理能力為主呈現(xiàn)概率統(tǒng)計的知識，主要內(nèi)容有排列內(nèi)容、計數(shù)原理、古典概型、多項式運算、二項式定理、利用隨機變量分析事件、分布問題、獨立性檢驗等，注重學(xué)生對概率統(tǒng)計知識的本源學(xué)習(xí)．例如，2021年高考數(shù)學(xué)全國甲卷中第2題就是考查頻率分布直方圖中讀取數(shù)據(jù)的知識，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力：第10題考查的是排列組合問題與古典概型的綜合運用，考查學(xué)生的邏輯思維能力，第17題考查的是樣本頻率、獨立性檢驗，考查學(xué)生對不確定性問題的統(tǒng)計決斷能力．另外近幾年的考題也越來越體現(xiàn)生活化，不再固定于一個知識點，而是利用實際生活情境引導(dǎo)學(xué)生靈活運用所學(xué)的概率統(tǒng)計知識．

三、高中概率統(tǒng)計大單元教學(xué)的研究

（一）概率統(tǒng)計大單元教學(xué)的目標

從逆向角度分析學(xué)生掌握的知識，大單元教學(xué)的目的是讓學(xué)生在概率統(tǒng)計知識的學(xué)習(xí)中，建立能夠用樣本估計總體與統(tǒng)計推斷的思想，進而解答生活中與概率統(tǒng)計有關(guān)的不確定的問題，統(tǒng)計的過程是需要學(xué)生在研究完基礎(chǔ)問題之后，能夠合理使用調(diào)查方法，收集對應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，然后通過數(shù)據(jù)的處理，對其進行推斷．因此，概率統(tǒng)計大單元的教學(xué)目標為：1．通過完整的統(tǒng)計推理過程，能夠了解問題結(jié)果的判斷標準有好有壞，而不是通過對與錯判斷，基于此選擇適合的調(diào)查形式，有效整理數(shù)據(jù)的圖表；2．學(xué)習(xí)分層抽樣、隨機抽樣，讓學(xué)生能夠在不同的情境中選擇最正確的抽樣方法，抽取最有代表性的樣本，發(fā)展學(xué)生的抽象概念；3．學(xué)生學(xué)會使用概率分布直方圖，了解各種呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的圖標的優(yōu)缺點，特別是扇形統(tǒng)計圖、頻率分布直方圖等；4.了解頻率分布直方圖，能夠正確計算并判斷數(shù)據(jù)的中位數(shù)、頻率、眾數(shù)、方差等，知道這些數(shù)據(jù)特征，建立分析數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；5．學(xué)會獨立性檢驗，知道怎樣計算并利用其判斷產(chǎn)生相關(guān)問題錯誤的概率：6．了解相關(guān)性的定量分析方法與定性，知道散點圖分析數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負相關(guān)，了解求解系數(shù)r的相關(guān)公式與對應(yīng)范圍，進而正確計算出r的值：7．學(xué)會線性回歸方程，可以將非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從最小二乘法算線性回歸方程系數(shù)的角度，計算線性回歸方程系數(shù)，通過方程的轉(zhuǎn)化體會復(fù)雜問題的解決；8.了解決定系數(shù)R2，了解判斷回歸模型好壞的幾種方法，如殘差平方和、殘差圖等，

在學(xué)生完成概率的部分知識學(xué)習(xí)后，如概率乘法公式、排列組合等，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生進一步學(xué)習(xí)更有深度的知識內(nèi)容，用于更精準地計算隨機變量的均值及方差：1．通過計數(shù)原理的分析，學(xué)會分類分析結(jié)果、分析結(jié)果，讓學(xué)生知道什么是分布計數(shù)原理，形成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2．學(xué)生通過組合數(shù)的計算與排列數(shù)的計算的學(xué)習(xí)，掌握概率統(tǒng)計相關(guān)題型的解法，順利解答分配問題、定序問題等；3．學(xué)生學(xué)會二項式定理，可以從計數(shù)原理的角度理解二項式系數(shù)，并利用賦值的方法分析系數(shù)和問題，形成數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)；4．學(xué)習(xí)概率的本質(zhì)定義；5學(xué)會概率的計算方法；6．學(xué)會特殊的隨機變量概率分布、均值方差計算方法．

（二）概率統(tǒng)計大單元課時設(shè)計

概率統(tǒng)計大單元教學(xué)設(shè)計的邏輯順序就是從簡單到復(fù)雜解釋清楚基本概念，引入復(fù)雜的情境培養(yǎng)學(xué)生基本概念的運用能力．基于此課時的設(shè)計為：教授樣本空間、樣本點、隨機事件的基本概念（1課時），通過上節(jié)課講述的概念解釋古典概型，進行復(fù)雜古典概型概率的計算（1課時）；教授概率的性質(zhì)，并事件、積事件、交事件的概念與其概率的計算（2課時）；獨立事件的概率運算法則（1課時）；習(xí)題課（1課時）；頻率分布直方圖（1課時）；通過對頻率分布直方圖的分析，估計方差與平均數(shù)（1課時）；通過對頻率分布直方圖估計百分位數(shù)（1課時）；習(xí)題課（1課時）；計數(shù)原理的學(xué)習(xí)（2課時）．

（三）概率統(tǒng)計大單元教學(xué)過程分析

1．數(shù)據(jù)特征的教學(xué)

在初中學(xué)生初步學(xué)習(xí)了統(tǒng)計的相關(guān)知識，如幾何數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、頻率與平均數(shù)，了解了樣本與總體的概念．但是初中與高中對于這些數(shù)學(xué)要素的運用在不同的情境，即初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)背景是直接的、靜態(tài)的，而高中階段相關(guān)數(shù)據(jù)的背景則是動態(tài)的、估計的．高中教材中使用的是頻率分布直方圖為學(xué)生呈現(xiàn)數(shù)據(jù)特征與數(shù)據(jù)的計算，教師可以直接使用教材中給出的圖示創(chuàng)建情境，帶領(lǐng)學(xué)生通過對比判斷出數(shù)據(jù)特征，以此感受統(tǒng)計推斷中蘊含的數(shù)學(xué)思維、不確定思維，同時知道對于統(tǒng)計判斷評價的標準是“好和壞”．教師可以在講授此部分內(nèi)容之后，再以此為情境直接教授學(xué)生抽樣方法：知道如何才可抽出適合的樣本，在學(xué)生學(xué)會此部分知識之后在教授后面的知識點．教師通過重新調(diào)整教學(xué)內(nèi)容進行大單元教學(xué)，讓學(xué)生了解初中與高中階段對于概念統(tǒng)計知識學(xué)習(xí)的差異，同時不會在后期學(xué)習(xí)時再重新復(fù)習(xí)之前的內(nèi)容，既能減少反復(fù)學(xué)習(xí)，又能幫助學(xué)生明確在統(tǒng)計知識的學(xué)習(xí)中選擇合適方法的重要性，從而確定學(xué)習(xí)目標，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)數(shù)據(jù)特征的推斷與計算，選擇最適合的方法是概率統(tǒng)計領(lǐng)域中比較重要的內(nèi)容，也是易錯點，教師在此重新整合知識點進行教學(xué)，可以簡化教學(xué)流程，加強學(xué)生的理解．

2．雙變量數(shù)據(jù)分析的教學(xué)

高中階段的雙變量數(shù)據(jù)分析的教學(xué)主要內(nèi)容是相關(guān)性分析、地理性檢驗、建立回歸方程預(yù)測等．此部分知識內(nèi)容是存在矛盾點的，如果從操作方法角度教學(xué)，只要學(xué)生正確計算、記住結(jié)論就能在考試中獲得滿分，基于此教師會將教學(xué)重點放在數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運算上．但是這種教學(xué)方法對學(xué)生的深入學(xué)習(xí)是有影響的．如果教師在建模與計算基礎(chǔ)上進行教學(xué)，還從根本上講述概念的由來，那么能夠更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)公式模型，加深記憶．但是這種方法對學(xué)生的要求較高，需要學(xué)生自主構(gòu)建知識體系，需要教師為學(xué)生提供更多自主思考與合作探究的時間內(nèi)化知識．雖然教材中將相關(guān)性的知識放在獨立性檢驗的前面，但是經(jīng)過作者教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)相關(guān)性部分的內(nèi)容較多，且獨立性檢驗的知識點比較集中，兩者關(guān)聯(lián)性不大，所以也可以將獨立性檢驗的內(nèi)容放在相關(guān)性部分前面進行教學(xué)，所以教師先進行對變量進行獨立性檢驗的教學(xué)，然后具體研究相關(guān)性也是可以的．

獨立性檢驗，就是檢驗兩個變量之間是否有關(guān)系，兩個變量是獨立的前提下，這兩個變量無論怎樣取值也都是互相獨立的，再根據(jù)獨立事件的概率計算進行倒推，得到頻數(shù)的估計值，若此與對應(yīng)的實際統(tǒng)計值相近，則表明這兩個變量是獨立的，如果與對應(yīng)的實際統(tǒng)計值相差較多，則表示兩個變量是有關(guān)系的，假設(shè)不成立．這種說法有一定風(fēng)險，即在互相獨立的時候的確可能出現(xiàn)差距較大的問題，因為統(tǒng)計的不確定性特點，小概率事件發(fā)生的可能性小，但也會發(fā)生，在講述完上述知識點之后，學(xué)生一般都能理解，并根據(jù)此推理，可知頻數(shù)估計值與實際統(tǒng)計值的差值有四個，怎樣將這幾個差值組成一個能夠進行獨立性檢驗的統(tǒng)計量？小概率事件發(fā)生的可能性是多少？這兩個問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)此部分知識之后仍然會產(chǎn)生疑問．下面教師來幫助學(xué)生答疑解惑：差值能夠確定正負號，若使用差值的方法分析，可以將其標準化，即將差值的平方和都除以對應(yīng)的頻數(shù)估計值，將上面四個標準化的差值相加，組成新的統(tǒng)計量x2，此處所說的“標準化”，是對隨機變量的標準化，根據(jù)方差與均值的性質(zhì)，能夠推導(dǎo)出標準化后的值Z是0，方差為1．而此處的偏差也服從正態(tài)分布，所以標準后的差值則服從標準正態(tài)分布，所以近似服從自由度是1的X2分布，因為這部分內(nèi)容不是高中生必須掌握的，所以教師通過表格為學(xué)生呈現(xiàn)局部概率的分布數(shù)據(jù)，但是這種簡單的描述還不能讓學(xué)生對知識形成透徹地了解，根據(jù)相關(guān)性的分析來說，如果學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)不足，教師可以嘗試直接給出幾個關(guān)鍵的形式，例如高中階段涉及的X2概率分布圖，教師可以直接講解，只要學(xué)生了解就可以，并能根據(jù)表格中的X2概率的關(guān)系進行正確判斷．這一過程強調(diào)學(xué)生對整個發(fā)展過程的理解，弱化個別知識點的深入了解．

獨立性檢驗講解之后再進行相關(guān)性知識的教學(xué)就簡單得多，只要學(xué)生能夠判斷出變量的相關(guān)性，并能在散點圖中計算r值．在計算方面能夠根據(jù)殘差平方和、殘差圖中計算r，R2等值；在建模方面可通過構(gòu)建非線性回歸方程、線性回歸方程．教學(xué)重點是能夠根據(jù)計算進行統(tǒng)計判斷，難點是理解公式概念、精準計算．例如，相關(guān)系數(shù)的范圍是-1≤r≤1，對相關(guān)系數(shù)范圍的理解，可總結(jié)為“多維向量夾角的余弦值角度”，另外線性回歸系數(shù)的公式推導(dǎo)依據(jù)是最小二乘法，可以理解為差值是用差的完全平方進行處理的．人教版高中數(shù)學(xué)教材中對于∑的運算性質(zhì)理解，可以通過求導(dǎo)的形式讓學(xué)生加強理解，需要教師為學(xué)生講述清楚，并單獨使用一節(jié)課講解概念，在學(xué)生們理解了之后再專門開展一節(jié)建模課，如此才能讓學(xué)生更扎實地掌握知識，對于非線性回歸方程的內(nèi)容，此部分雖然是難點，但是原理比較簡單，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生多練習(xí)，在解題中理解本質(zhì)．

3．計數(shù)原理的教學(xué)

在解答隨機變量的概率分布問題的時候，學(xué)生可能出現(xiàn)的障礙就是在隨機變量中各個取值包含的事件，事件的概率是使用什么方法分析的？用概率的性質(zhì)計算還是用等可能結(jié)果的分析，這兩種方法總結(jié)為樣本空間的分析．學(xué)生在解答這部分知識相關(guān)問題的時候，容易出現(xiàn)結(jié)果分析不準確的情況，作為計算原理的基礎(chǔ)運用知識的講解，教師需要結(jié)合本班學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)情，思考講解到哪個深度，如果學(xué)生們數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高，教師就可帶領(lǐng)學(xué)生深入分析；如果學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)一般，就只簡單介紹樣本空間的分析，緊扣分布技術(shù)原理分析，必要時可借助樹狀圖進行演示教學(xué)，讓學(xué)生了解排列與組合的順序性與無序性．

4．實際情境分析

順序是學(xué)生學(xué)習(xí)計數(shù)原理的重難點，需要教師為學(xué)生展示，并引入情境展示．如分配情境、定序情境等．而教師帶領(lǐng)學(xué)生進行深入分析的時候可以不以順序展開，直接引入多樣化的情境帶領(lǐng)學(xué)生分析，體會排列數(shù)組合數(shù)的工具性，讓學(xué)生在實際情境中獲得感悟．

教師借助實際情境可以帶領(lǐng)學(xué)生在具體的情境中進行邏輯推理與數(shù)據(jù)分析．例如，歷史中分賭金的問題，請學(xué)生對結(jié)果進行分析求值，因為是預(yù)測，可以體現(xiàn)統(tǒng)計推斷的意義：另外通過高爾頓板與保險問題，n次傳球后小明拿到球的概率等，利用學(xué)生感興趣的事件讓其使用概率統(tǒng)計知識解答問題，內(nèi)化知識點，能夠達到對知識的一般認知到形式認知．

總的來說，大單元教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、理性思維能力、建模能力、計算能力．例如，解二項式定理問題的時候需要用到數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)模型；在解排列組合問題的時候需要學(xué)生綜合地進行推理判斷；在解概率問題的時候要運用推理與模型思想等．另外在本單元的教學(xué)中教師還要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維，例如，樣本空間就是抽象的概念，需要學(xué)生將已有經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為新知，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)．

結(jié)論

綜上，高中概率統(tǒng)計知識的教學(xué)很重要，是學(xué)生后期學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，但是學(xué)生要想完全掌握概率統(tǒng)計知識是不容易的，需要有更多知識做基礎(chǔ)．所以教師在教授概率統(tǒng)計知識的時候要結(jié)合學(xué)生的經(jīng)驗循序漸進地展示概率基本概念與本質(zhì)，逐漸深化內(nèi)涵，讓學(xué)生慢慢了解難度更大的知識．教師要先設(shè)置明確的大單元教學(xué)目標，然后整合高中階段概率與統(tǒng)計的知識，能夠有的放矢地合理安排課時，輔助學(xué)生深度理解概率統(tǒng)計的知識，