“雙線”并進提升學生的核心素養(yǎng)

李俊強

【摘要】本文呈現(xiàn)人教版高中數(shù)學教材必修第一冊第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”第2節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”“單調(diào)性與最大（小）值”一課的教學片段，從教學目標、教學策略、概念辨析過程、教學組織以及其他細節(jié)等五個方面進行評析，為高中數(shù)學教師“雙線”并行推進概念教學、發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)提供范例。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)單調(diào)性 函數(shù)最值 數(shù)學建模 高中數(shù)學 核心素養(yǎng)

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）23-0079-04

中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會主辦的第十一屆高中青年數(shù)學教師課例展示活動于2022年12月落下帷幕，廣西籍參展選手王學建老師執(zhí)教的“單調(diào)性與最大（?。┲怠币徽n因其具備“明暗雙主線”教學特點，給筆者留下了深刻的印象，本文呈現(xiàn)課例片段并進行評析，旨在為教師教學提供范例。

一、課例片段

“單調(diào)性與最大（小）值”為人教版高中數(shù)學教材必修第一冊第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”第2節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”的內(nèi)容。

（一）提出問題，建立模型

引導語：“詩圣”杜甫在《望岳》一詩中寫道，“會當凌絕頂，一覽眾山小”。這句詩描繪了山頂?shù)慕^妙風景。周末我們?nèi)ヅ郎?，想在山的最高處拍一張合照，請問哪里是山的最高處（如圖1所示）？

問題1：我們?nèi)绾闻袛嗟竭_了山的最高處？

師生活動：教師利用多媒體創(chuàng)設真實的情境，追問學生判斷最高處的依據(jù)，引導學生用數(shù)學的觀點描述問題。學生觀察發(fā)現(xiàn)，可以將山的輪廓抽象為函數(shù)圖象，水平位移是自變量，海拔高度是函數(shù)值，山頂可以抽象為函數(shù)圖象的最高點，山頂?shù)暮０胃叨瓤梢猿橄鬄楹瘮?shù)的最大值。學生自主建模，教師板書標題，引出研究的問題。

（二）形成概念，研究模型

問題2：如何求函數(shù)的最大（?。┲?？請舉例說明。

師生活動：教師引導學生舉出具體的例子，并追問學生。如學生舉例“f（x）=-x2的最大值為0”，教師追問“為什么0是這個函數(shù)的最大值？”

預設：從圖象上看，f（x）=-x2是開口向下的二次函數(shù)，頂點坐標為（0，0），即在對稱軸處取到最大值0；從解析式上看，-x2恒不大于0，則最大值為0。

教師活動：教師利用GeoGebra動態(tài)演示函數(shù)圖象上動點縱坐標的變化情況，引導學生明確最大值的本質(zhì)特征。從函數(shù)圖象上看，任意一點的縱坐標都不超過最高點的縱坐標；從函數(shù)要素上看，該函數(shù)的所有函數(shù)值都不大于函數(shù)的最大值。

問題3：你能否用數(shù)學語言刻畫函數(shù)y=f（x）的最大（?。┲?？

師生活動：教師引導學生將上述特例推廣到一般情形，學生先獨立思考或小組討論，然后組織全班交流。教師根據(jù)學生的回答，引導學生用符號語言表示“任意”“所有”“不超過”“不大于”等意義，啟發(fā)學生明確先要給出函數(shù)y=f（x）的定義域為I，存在一個實數(shù)M，引導學生說出“（1）[?]x∈I，都有f（x）≤M；（2）[?]x0∈I，使得f（x0）=M”。教師總結(jié)“這里借助符號語言，給出了最大值M是最大的函數(shù)值的本質(zhì)特征，兩個條件缺一不可，條件與結(jié)論互為充要條件”。

教師追問：你能仿照函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)y=f（x）最小值的定義嗎？

師生活動：教師引導學生明確任意函數(shù)值都不小于最小值，學會用類比的方法獲得最小值的概念。

（三）深化概念，明確模型特征

函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱函數(shù)的最值。注意到定義中的第二個條件，最大（?。┲凳瞧渲幸粋€函數(shù)值，因此函數(shù)最大（?。┲档亩x還可以有以下表述。

①如果有x0∈I，使得不等式f（x）≤f（x0）對一切x∈I成立，就說f（x）在x=x0處取到最大值M=f（x0），稱M為f（x）的最大值，x0為f（x）的最大值點。

②如果有x0∈I，使得不等式f（x）≥f（x0）對一切x∈I成立，就說f（x）在x=x0處取到最小值N=f（x0），稱N為f（x）的最小值，x0為f（x）的最小值點。

師生活動：教師引導學生注意定義中的關(guān)鍵詞，給出函數(shù)最值定義的另一種表述。引導學生理解函數(shù)最大（?。┲凳钦麄€定義域上的整體性質(zhì)。

問題4：是不是所有的函數(shù)都有最大（?。┲担空埮e例。

師生活動：學生先獨立思考，再集體交流。學生容易舉出一次函數(shù)、二次函數(shù)的例子，教師引導學生根據(jù)定義說明函數(shù)有無最值的原因。教師提醒學生，函數(shù)的表示方式有三種，即解析法、圖象法、列表法，讓學生展開討論，嘗試用不同的方法表示函數(shù)。學生通過投影展示所舉例子，教師再進行補充，全班討論交流最值存在與否的情況。

教師追問：函數(shù)取到最大（?。┲禃r，x的取值可能有多少個？

師生活動：教師引導學生觀察前面的例子，容易發(fā)現(xiàn)x的取值個數(shù)可能是1個、2個、3個……甚至是無數(shù)個，教師要求學生舉出“無數(shù)個”的例子。學生可能舉出周期函數(shù)的例子，教師利用GeoGebra畫圖進行驗證。

問題5：如何說明定義中的“任意性”？

師生活動：教師引導學生明確說明“任意性”的困難，理論上需要將所有函數(shù)值無一例外地逐個比較，但這顯然是難以執(zhí)行的。教師引導學生利用函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)特征來說明，讓學生明確函數(shù)單調(diào)性描述了隨著自變量的變化，函數(shù)值在增大或者減小，正好是比較函數(shù)值的大小，因此可以先證明單調(diào)性再求最值。教師通過多媒體展示課本例5，引導學生通過具體的例子來說明。

［2，6］，求函數(shù)的最大值和最小值。

師生活動：教師引導學生明確以下兩點。1.利用定義證明單調(diào)性的五個步驟：取值、作差、變形、定號、得出結(jié)論。2.結(jié)合圖象，指出函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上的最值與單調(diào)性的聯(lián)系（如表1所示）。

（四）應用探索，運用模型

例2（課本第80頁例4）“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一。制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂。如果煙花距地面的高度h（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么煙花沖出去后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少（精確到1 m）？

師生活動：學生先獨立思考“爆裂的最佳時刻”的含義，建立實際意義與函數(shù)最大值的聯(lián)系。教師強調(diào)解答實際問題時要注意定義域的實際意義，引導學生根據(jù)函數(shù)圖象得到函數(shù)的最大值。

解法2：開口向下的拋物線，函數(shù)在對稱軸左邊區(qū)間單調(diào)遞增，在對稱軸右邊區(qū)間單調(diào)遞減。先說明二次函數(shù)的單調(diào)性，可得最大值在對稱軸處取到。

師生活動：實際問題的數(shù)據(jù)一般不是很簡潔的，且運算量也比較大，教師通過板書，引導學生關(guān)注數(shù)據(jù)的特征，通過運用適當?shù)倪\算律簡化運算。

（五）歸納小結(jié)，回顧思路

教師呈現(xiàn)下列問題。

1.本節(jié)課從哪些方面研究了函數(shù)的最大（?。┲?？

2.你認為本節(jié)課知識產(chǎn)生的主要過程是什么？

師生活動：學生獨立思考后作答，教師再進行歸納。

（六）目標檢測設計（略）

二、課例評析

執(zhí)教教師“明暗”雙線并行推進地進行教學設計和實施課堂教學，自然融入了信息技術(shù)，設計新穎，實施順暢，效果明顯，亮點頗多，示范性強。筆者從教學目標、教學策略、概念辨析過程、教學組織以及其他細節(jié)等五個方面進行評析。

（一）教學目標清晰

本節(jié)課教學目標清晰，而且課時目標符合函數(shù)主題大單元教學的總體目標，引導學生從函數(shù)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和分析問題，并運用函數(shù)模型解決問題。

教學明線為問題串貫通情境引入、概念形成、概念深化、應用探索等四個教學過程，問題設置自然貼切，指向性強。教師在學生得出一般化結(jié)論之后再引導學生去深挖概念的本質(zhì)特征，分析概念的內(nèi)涵與外延，重點提升了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，在知識育人、思維育人、審美育人等三個方面都較好地完成了育人目標。

教學暗線包括將模型觀念滲透于背景材料以及模型建立、分析求解、模型應用等環(huán)節(jié)，教學暗線也是本節(jié)課的最大亮點。執(zhí)教教師利用“詩圣”杜甫《望岳》中的詩句“會當凌絕頂，一覽眾山小”引入一個實際問題：爬山時如何判斷山的最高處？進而自然產(chǎn)生以下問題串：函數(shù)是否有最大值？如何判斷一個值是否為函數(shù)的最大值或最小值？引導學生想到一個用數(shù)學解決問題的辦法，即用數(shù)學語言描述，將實際問題抽象為數(shù)學問題，進而教會學生探究，再用數(shù)學的觀點解決實際問題，從而引出探究函數(shù)最值模型的一般思路。學生在解決問題的過程中積累了運用數(shù)學模型解決實際問題的基本技能和基本活動經(jīng)驗，提升了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，促使生活育人、活動育人等更好地融入課堂教學，從而發(fā)展了數(shù)學建模核心素養(yǎng)。

（二）教學策略恰當

本節(jié)課的教學策略是基于學生的知識和經(jīng)驗，設置一系列問題串，依托“是什么”“為什么”“怎么樣”的邏輯，研究有關(guān)最值的具體內(nèi)容，引導學生逐步抽象出函數(shù)最值的概念。在此過程中，執(zhí)教教師給學生創(chuàng)造了充分表達的機會，同時適時給予學生鼓勵與點撥，讓學生獲得了成就感，滿足了學生的求知欲，提高了學生的學習興趣，最終達成了教學目標。

例如，執(zhí)教教師在深化概念教學中設置的問題5——“如何說明定義中的‘任意性’？”就起到了畫龍點睛的作用；執(zhí)教教師在教學中還刻意調(diào)整了課本例題的呈現(xiàn)順序——將課本例5提前到函數(shù)最值概念深化環(huán)節(jié)進行呈現(xiàn)，讓學生理解函數(shù)單調(diào)性在解釋“任意性”中發(fā)揮的重要作用；課本中的例4以“煙花最佳爆裂時刻”為背景，為學生運用函數(shù)模型提供情境，執(zhí)教教師在應用探索環(huán)節(jié)呈現(xiàn)例4，引導學生從函數(shù)圖象與函數(shù)單調(diào)性兩個角度解答問題，培養(yǎng)了學生從多角度分析問題、解決問題的能力。這樣的資源重建，體現(xiàn)了教學策略的運用得當，也體現(xiàn)了執(zhí)教教師深厚的專業(yè)功底和良好的專業(yè)素養(yǎng)，為廣大數(shù)學教師提供了很好的借鑒。

（三）概念辨析到位

對數(shù)學概念中的各個要素進行辨析，重視數(shù)學概念的充分必要性，是概念課的重要組成部分。執(zhí)教教師通過分析定義中的關(guān)鍵詞，從“存在性”和“任意性”兩個方面深化學生對概念的理解，為使學生更好地理解最大（?。┲档姆柖x做足了鋪墊，讓學生能更好地建構(gòu)函數(shù)最大（?。┲档母拍钜饬x?！叭我庑浴贝_定了函數(shù)在求最值時要滿足的不等式，“存在性”確定了函數(shù)能取得到這個值。

為深化學生對“存在性”和“任意性”的直觀認識，執(zhí)教教師還利用信息技術(shù)手段，通過現(xiàn)場作圖等方式直觀地呈現(xiàn)函數(shù)最大（?。┲档谋举|(zhì)特征，從而降低了學生理解概念內(nèi)涵和外延的難度。

概念越辯越明。通過辨析，學生明確“任意性”和“存在性”都是函數(shù)最值概念中的關(guān)鍵要素，進而能夠深度理解和運用函數(shù)最值模型，為發(fā)展核心素養(yǎng)奠定了扎實的基礎。

（四）教學組織嚴謹

執(zhí)教教師恰當?shù)靥幚怼邦A設”和“生成”的關(guān)系，重視對學生課堂展示的反饋調(diào)節(jié)，展現(xiàn)了很強的課堂教學組織能力。

本課中，執(zhí)教教師通過“是什么”“為什么”“怎么樣”“什么是最值”“最值有幾個”“如何求最值”“最值與單調(diào)性有什么聯(lián)系”等一系列問題，不斷地發(fā)問，從而實現(xiàn)“概念越辯越明”。這就是反饋調(diào)節(jié)機制的具體應用。

在教學應用探索環(huán)節(jié)例2的過程中，筆者注意到了一個細節(jié)：由于本例是實際問題，所以數(shù)據(jù)不是那么的簡潔，導致運算量較大，但題目背景又很真實自然。執(zhí)教教師先讓學生計算，在不少學生感到存在困難后再板書演示，同時引導學生關(guān)注式子結(jié)構(gòu)及數(shù)據(jù)特征，運用適當?shù)倪\算律簡化運算。在教師的引導下，學生也完成了相關(guān)運算，學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng)獲得了很自然的發(fā)展。

在整節(jié)課中，師生間這種形式的互動是高頻的，執(zhí)教教師對教學過程的把控是到位的，教學效果也是很好的。由此可見執(zhí)教教師在組織教學方面的深厚功力。

（五）商榷兩個細節(jié)

第一個細節(jié)是，執(zhí)教教師在形成概念環(huán)節(jié)提出了“問題2：如何求函數(shù)的最大（小）值？請舉例說明”這一問題。筆者思考，這一問題可否慢點提出？因為函數(shù)的最值是一個需要定義的概念，在還沒有給出最值概念之前就開始求最值了，不符合邏輯。建議改為“問題2：由‘山有最高處’思考，函數(shù)是否也可以有‘最大值’的概念呢？類似地，還可以有‘最小值’的概念嗎？如果有，同學們認為應該怎樣下定義呢？”。

第二個細節(jié)是，執(zhí)教教師可以在提出問題3和問題3的追問后，讓學生自己去歸納整理。函數(shù)的“最大值”和“最小值”是完全同構(gòu)的兩個概念。理解了“最大值”概念之后，學生完全可以通過類比推理得出“最小值”概念，因而這里有必要讓學生自主進行探究，使學生體驗到“發(fā)現(xiàn)”的快樂。

總之，“單調(diào)性與最大（?。┲怠边@一課例，執(zhí)教教師立足大單元視角，“雙線”并行推進，實施了具有創(chuàng)新性、整體性且有深度的教學，符合學生的認知規(guī)律，能夠提高學生學習數(shù)學的興趣和發(fā)展學生的數(shù)學應用意識，有助于學生初步形成數(shù)學建模思想，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，是一節(jié)成功的數(shù)學概念課及建模思想滲透課，對優(yōu)化高中數(shù)學教學有較高的研究價值和借鑒價值。