利用函數(shù)的凹凸性探究切線問(wèn)題

廣東省佛山市羅定邦中學(xué) (528300) 代建云

對(duì)于一個(gè)函數(shù)而言,切線的本質(zhì)是割線的極限形式.函數(shù)在某點(diǎn)處存在切線的前提是在此處可導(dǎo),因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的唯一性,所以函數(shù)在任意一點(diǎn)處的切線也具有唯一性.而在平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)作函數(shù)的切線,在一般情況下卻不止一條.2021年新課標(biāo)1卷第7題就考察了指數(shù)函數(shù)的切線條數(shù),在此之后,在各地的模擬試題中涌現(xiàn)出了一系列關(guān)于切線條數(shù)的問(wèn)題.

一、試題及分析

例1 (2021年新課標(biāo)Ⅰ卷第7題)若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以做曲線y=ex的兩條切線,則( ).

A.eb

C.0

例2 (2022年順德區(qū)青年教師解題比賽第8題)過(guò)點(diǎn)P(1,m)(m∈R)有n條直線與函數(shù)f(x)=x·ex圖象相切,當(dāng)n取最大值時(shí),m的取值范圍為( ).

例3 (自編)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,過(guò)點(diǎn)A(0,1)作函數(shù)y=f(x)的切線,可做( )條.

A.1 B.2 C.3 D.無(wú)數(shù)條

分析：這三道例題都在考察曲線切線的條數(shù),區(qū)別在于對(duì)應(yīng)的函數(shù)不同,所涉及的點(diǎn)與函數(shù)的位置也不相同.那么它們有沒(méi)有什么共性呢?經(jīng)過(guò)筆者的不斷嘗試,發(fā)現(xiàn)切線的條數(shù)與函數(shù)的凹凸性與漸近線有關(guān)聯(lián).本文將研究過(guò)程展示如下,以饗讀者.

二、函數(shù)凹凸性及相關(guān)性質(zhì)

1.函數(shù)凹凸性的定義及判斷方法

圖1

圖2

函數(shù)凹凸性的判斷定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo),若在(a,b)內(nèi)滿足:(1)若f″(x)>0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上為凹函數(shù);(2)若f″(x)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上為凸函數(shù)[1].

2.與切線相關(guān)的性質(zhì)

引理2 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上為凹函數(shù),對(duì)任意x0∈(a,b),設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0處的切線為lx0,設(shè)直線lx0與函數(shù)y=f(x)在b處的切線lb的交點(diǎn)為A(xA,yA),則有xA

引理3 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上為凹函數(shù),對(duì)任意x0∈(a,b),設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0處的切線為lx0,設(shè)直線lx0與函數(shù)y=f(x)在b處的切線lb的交點(diǎn)為A(xA,yA),則xA的值隨x0的變化而變化.

證明：假設(shè)存在x1∈(a,b),x2∈(a,b)且x1

引理4 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上為凹函數(shù),對(duì)任意x0∈(a,b),設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0處的切線為lx0,設(shè)直線lx0與函數(shù)y=f(x)在a處的切線la的交點(diǎn)為B(xB,yB),則有xB>a,且xB的值隨x0的變化而變化.

證明同上,此略.

現(xiàn)討論切線問(wèn)題,如圖3,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上為凹函數(shù),函數(shù)y=f(x)在a,b處的切線la,lb以及函數(shù)y=f(x)本身將平面區(qū)域分成A,B,C,D,E.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0處的切線為lx0,顯然可知直線lx0不經(jīng)過(guò)區(qū)域C和E.

圖3

引理5 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上為凹函數(shù),對(duì)任意x0∈(a,b),設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0處的切線為lx0,設(shè)直線lx0與切線la,lb的交點(diǎn)為B(xB,yB),A(xA,yA),則線段AB?區(qū)域A中.

證明：設(shè)直線lx0與切線lb的交點(diǎn)為A(xA,yA),因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上為凹函數(shù),所以lx0的斜率小于lb的斜率,所以線段AB位于曲線y=f(x)的下方且位于lb的上方;同理可知線段AB位于曲線y=f(x)的下方且位于la的上方,綜上即可得引理成立.

引理6 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上為凹函數(shù),對(duì)任意x1∈(a,b),x2∈(a,b)且x1

證明：結(jié)合上述引理2以及引理5即可得結(jié)論成立,過(guò)程略.

由此可得到關(guān)于切線條數(shù)的相關(guān)結(jié)論:

定理1 當(dāng)點(diǎn)M∈區(qū)域C或區(qū)域E時(shí),過(guò)點(diǎn)M作函數(shù)y=f(x)的切線有0條.

定理2 當(dāng)點(diǎn)M∈區(qū)域B或區(qū)域D時(shí),過(guò)點(diǎn)M作函數(shù)y=f(x)的切線有且僅有1條.

證明：假設(shè)在區(qū)域點(diǎn)M∈區(qū)域B或區(qū)域D時(shí),過(guò)點(diǎn)M可作2條函數(shù)y=f(x)的切線.與上述引理6相矛盾.

定理3 當(dāng)點(diǎn)M∈區(qū)域A時(shí),過(guò)點(diǎn)M作函數(shù)y=f(x)的切線有且僅有2條.

證明：如圖4,因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的連續(xù)性,當(dāng)點(diǎn)M∈區(qū)域A時(shí),至少存在一條切線lx0(切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0).設(shè)該切線與la,lb的交點(diǎn)為P,Q.根據(jù)引理5可知PQ?區(qū)域A.

圖4

顯然函數(shù)y=f(x)在[x0,b]上也是凹函數(shù),根據(jù)引理4,存在唯一x3∈(x0,b),使得函數(shù)y=f(x)在x3的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M.

綜上可知,過(guò)點(diǎn)M作函數(shù)y=f(x)的切線至少有2條,而在[a,x0)內(nèi),根據(jù)引理2,在任意一點(diǎn)的切線與lx0的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于x0.綜上可知原命題成立.

當(dāng)函數(shù)為凸函數(shù)時(shí),可模仿上面的過(guò)程得到相關(guān)的結(jié)論,過(guò)程略.對(duì)于漸進(jìn)性而言,可理解為無(wú)窮遠(yuǎn)處的切線.

三、實(shí)例分析

對(duì)于例1,已知函數(shù)f(x)=ex為凹函數(shù),y=0是該函數(shù)的漸近線,利用函數(shù)f(x)=ex與y=0可將原函數(shù)分成如圖5所示的三個(gè)區(qū)域.利用上述結(jié)論可知,當(dāng)點(diǎn)(a,b)∈區(qū)域A,沒(méi)有切線;當(dāng)點(diǎn)(a,b)∈區(qū)域B時(shí),有2條切線;當(dāng)點(diǎn)(a,b)∈區(qū)域C時(shí),有1條切線.故選D.

圖5

圖6

對(duì)于例3,點(diǎn)A(0,1)恰好為函數(shù)y=f(x)的拐點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)僅有1條直線與原函數(shù)相切.故選A.