半?yún)?shù)空間變系數(shù)回歸模型的兩步估計(jì)方法

楊春華 楊玲 李玲 王景艷

摘 要：文章首先介紹了部分回歸模型、空間變系數(shù)模型及估計(jì)方法等相關(guān)理論知識(shí)。通過對(duì)以前所研究的半?yún)?shù)模型，將單個(gè)自變量非線性函數(shù)與空間變系數(shù)模型進(jìn)行有效組合，提出了半?yún)?shù)空間變系數(shù)回歸模型兩步估計(jì)方法，并從試驗(yàn)設(shè)計(jì)、模擬試驗(yàn)結(jié)果分析兩個(gè)方面入手，對(duì)該估計(jì)方法運(yùn)用效果進(jìn)行模擬，結(jié)果具有較高的可靠性和穩(wěn)定性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)常值系數(shù)的有效計(jì)算和估計(jì)，為相關(guān)人員提供有效的借鑒和參考。

關(guān)鍵詞：半?yún)?shù)空間 變系數(shù) 回歸模型 兩步估計(jì)法

中圖分類號(hào)：F224文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-4914（2023）09-021-03

一、引言

半?yún)?shù)模型除了表現(xiàn)出參數(shù)模型優(yōu)點(diǎn)外，還表現(xiàn)出非參數(shù)模型的優(yōu)點(diǎn)，該模型被廣泛地應(yīng)用于生物、GPS定位等領(lǐng)域中，并取得了良好的應(yīng)用效果。最近幾年，趙珂等學(xué)者大膽提出一種新模型，即新型加權(quán)半?yún)?shù)模型，該模型在實(shí)際運(yùn)用中，可以對(duì)參數(shù)和半?yún)?shù)兩者所占比例進(jìn)行分析和比較，并對(duì)最終比較結(jié)果進(jìn)行加權(quán)處理，從而驗(yàn)證該新型模型的可靠性和優(yōu)越性；朱晉偉等學(xué)者充分應(yīng)用半?yún)?shù)模型誤差低等特點(diǎn)，全面地分析企業(yè)運(yùn)營(yíng)、績(jī)效相關(guān)影響因素。現(xiàn)階段，大量學(xué)者均加入到半?yún)?shù)模型的研究中，該模型主要包含以下兩種模型，分別是線性模型和變系數(shù)模型，將這兩模型進(jìn)行組合，從而形成相應(yīng)的研究熱點(diǎn)。Zeger等人通過運(yùn)用迭代法，估計(jì)非參數(shù)部分，并運(yùn)用后移算法，對(duì)線性部分進(jìn)行有效估計(jì)，然后，將該半?yún)?shù)模型與醫(yī)學(xué)領(lǐng)域研究進(jìn)行充分結(jié)合，從而發(fā)揮和利用該模型的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)；Lin等學(xué)者在研究半?yún)?shù)模型期間，主要運(yùn)用廣義估計(jì)方程，對(duì)線性模型進(jìn)行全面化分析和研究。He等人在對(duì)半?yún)?shù)模型進(jìn)行估計(jì)時(shí)，主要采用M-估計(jì)法，對(duì)該模型線性部分進(jìn)行分析和研究，并采用回歸樣條方法，對(duì)該模型的非參數(shù)部分進(jìn)行分析和研究；封維波等學(xué)者嚴(yán)格遵循均方誤差等準(zhǔn)則，全面地分析和比較了半?yún)?shù)模型以下兩種估計(jì)方法，一種是兩步估計(jì)方法[1]，另一種是最小二乘估計(jì)方法，同時(shí)，所獲得的參數(shù)兩步估計(jì)結(jié)果精確性和真實(shí)性相對(duì)較高，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過最小二乘估計(jì)方法所獲得的估計(jì)結(jié)果。但是，運(yùn)用該模型分析和解決實(shí)際問題期間，部分變量在影響因變量時(shí)，表現(xiàn)出一定的空間差異性，而其他變量在影響因變量時(shí)，并沒有表現(xiàn)出空間差異性，而是表現(xiàn)非線性差異性。為此，本文通過對(duì)以前所研究的半?yún)?shù)模型內(nèi)部的線性部分進(jìn)行處理，并將線性部分處理和推廣為非線性函數(shù)，然后，將單個(gè)自變量非線性函數(shù)與空間變系數(shù)模型進(jìn)行有效組合，從而提出相應(yīng)的半?yún)?shù)模型估計(jì)方法。

二、相關(guān)理論知識(shí)

（一）部分回歸模型

1.參數(shù)與非參數(shù)模型。在實(shí)際生活中，多個(gè)變量既相互獨(dú)立，又相互依賴。如果回歸系數(shù)函數(shù)形式不同，所獲得的模型為非參數(shù)回歸模型，該模型在實(shí)際運(yùn)用中，要優(yōu)先選用大樣本方法，同時(shí)，還要結(jié)合檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分布復(fù)雜性等特點(diǎn)，選用極限分布法，對(duì)非參數(shù)進(jìn)行全面化統(tǒng)計(jì)。例如：使用直方圖估計(jì)密度函數(shù)期間，僅僅參考少量數(shù)據(jù)，難以保證估計(jì)結(jié)果的精確性和真實(shí)性。在實(shí)際估計(jì)期間，適當(dāng)?shù)卦黾訑?shù)據(jù)數(shù)目，可以保證估計(jì)精確性得以大幅度提高，因此，需要將樣本容量設(shè)置在50以上，并采用直方圖法，對(duì)非參數(shù)模型進(jìn)行估計(jì)。

2.一元非參數(shù)回歸模型估計(jì)方法。在估計(jì)一元非參數(shù)回歸模型期間，為了保證回歸函數(shù)估計(jì)結(jié)果的精確性和真實(shí)性，要利用高階泰勒法，對(duì)其進(jìn)行有效估計(jì)，并運(yùn)用最小二乘估計(jì)法，獲得各個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的估計(jì)值。這種估計(jì)方法被稱為“局部多項(xiàng)式光滑方法”。

3.變系數(shù)模型及估計(jì)方法。非參數(shù)回歸模型在實(shí)際運(yùn)用中，表現(xiàn)出一定的靈活性，但是，當(dāng)自變量維數(shù)增加一定程度時(shí)，會(huì)增加估計(jì)計(jì)算難度，為了解決這一問題，現(xiàn)研發(fā)一種新型變系數(shù)模型，通過運(yùn)用該模型，可以降低自變量維數(shù)，確保模型運(yùn)用的科學(xué)性和靈活性。目前，比較常用的變系數(shù)模型主要包含部分線性模型、變系數(shù)模型等多種模型。其中，變系數(shù)模型在實(shí)際運(yùn)用中，可以將參數(shù)系數(shù)直接設(shè)置為另一個(gè)自變量，可以有效地避免高維數(shù)問題，提高模型應(yīng)用靈活性和有效性。

（二）空間變系數(shù)模型及估計(jì)方法

在具體應(yīng)用實(shí)踐中，數(shù)據(jù)會(huì)變得越來越復(fù)雜，此時(shí)，如果僅僅考慮回歸系數(shù)，難以滿足實(shí)際應(yīng)用需求。以某城市房?jī)r(jià)為例，影響房?jī)r(jià)因素主要包含房子面積、地理位置等因素。另外，為了更好地預(yù)測(cè)房?jī)r(jià)變化趨勢(shì)，除了考慮以上幾個(gè)因素外，還要在參照變系數(shù)模型，充分考慮空間因素。地理位置不同，所對(duì)應(yīng)的系數(shù)函數(shù)具有一定的差異，通過運(yùn)用該方法，不僅可以突破空間非平穩(wěn)性問題，還能確保所獲得的數(shù)據(jù)真實(shí)、有效地反映出實(shí)際情況，此時(shí)，還要利用空間變系數(shù)模型，影響房?jī)r(jià)的空間位置因素進(jìn)行分析和研究，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，通過將空間信息與空間變系數(shù)模型進(jìn)行有效結(jié)合，可以確定出相應(yīng)的回歸系數(shù)。此外，通過運(yùn)用回歸系數(shù)所對(duì)應(yīng)的估計(jì)值，可以預(yù)測(cè)和評(píng)估回歸系數(shù)未來空間變化趨勢(shì)。

三、半?yún)?shù)空間變系數(shù)回歸模型及估計(jì)

在構(gòu)建空間變系數(shù)回歸模型期間，當(dāng)空間位置出現(xiàn)變化時(shí)，所允許的回歸系數(shù)也出現(xiàn)明顯變化，但是，在實(shí)際問題分析和解決中，需要做出以下合理假設(shè)[2]；當(dāng)空間位置變化時(shí)，回歸系數(shù)會(huì)出現(xiàn)改變，其他的系數(shù)為常數(shù)，本文構(gòu)建半?yún)?shù)空間變系數(shù)回歸模型表達(dá)式如下：

y=β+βKx+βvx+ε（1）

在對(duì)空間變系數(shù)回歸模型進(jìn)行研究期間，通常會(huì)用到以上模型，通過運(yùn)用該迭代算法，對(duì)該模型進(jìn)行分析。該迭代算法在實(shí)際運(yùn)用中，會(huì)出現(xiàn)計(jì)算耗費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)等問題，只能獲得常值系數(shù)近似估計(jì)值，而且在半?yún)?shù)空間變系數(shù)回歸模型的運(yùn)用過程中[3]，會(huì)導(dǎo)致矩陣呈現(xiàn)出非對(duì)稱冪狀態(tài)。結(jié)合以上模型特點(diǎn)和存在的問題，本文提出一種行之有效的兩步估計(jì)方法，并運(yùn)用該方法，在指定的條件下，獲得精確的常值系數(shù)估計(jì)值。首先，利用常值系數(shù)向量，對(duì)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換處理，使其轉(zhuǎn)變?yōu)榭臻g變系數(shù)回歸模型[4]，該回歸模型表達(dá)式如（1）式所示，，并采用GWR方法，對(duì)該模型進(jìn)行擬合處理，同時(shí)，利用加權(quán)最小二乘法，對(duì)變系數(shù)進(jìn)行精確化計(jì)算。其次，結(jié)合變系數(shù)最終估計(jì)結(jié)果，確定出合適的線性回歸模型形式，并采用一般最小二乘法，對(duì)常值系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。通過采用兩步估計(jì)方法，可以獲得良好的擬合效果。

四、模擬試驗(yàn)

與半?yún)?shù)回歸模型相比，保證常值系數(shù)估計(jì)的有效性，在確定各個(gè)自變量對(duì)因變量的影響程度以及相關(guān)空間位置變化情況等方面具有重要作用[5]。通過采用模擬試驗(yàn)方法，對(duì)該模型常值系數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證該方法的精確性和穩(wěn)定性。

（一）試驗(yàn)設(shè)計(jì)

在進(jìn)行模擬試驗(yàn)期間，需要將m-1個(gè)單位正方形進(jìn)行組合，從而形成相應(yīng)的空間區(qū)域，然后，觀察空間區(qū)域邊長(zhǎng)在m×m個(gè)格子點(diǎn)上，并計(jì)算各個(gè)格子點(diǎn)之間的距離，經(jīng)過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)該距離值為一個(gè)長(zhǎng)度單位。然后，使用x、y別代表觀測(cè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，同時(shí)，嚴(yán)格按照從左到右、從下到上的順序[6]，對(duì)各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行有序排列。此外，還要模擬處理多個(gè)混合空間變系數(shù)回歸模型，該模型模擬所獲得的誤差項(xiàng)完全滿足正態(tài)分布N（0，σ2）規(guī)律，為了更好地分析和研究噪聲方差對(duì)估計(jì)值的影響程度，現(xiàn)將σ值分別設(shè)置為0.2，0.6，1。各個(gè)模型中，自變量值均滿足正態(tài)分布規(guī)律[7]，在單個(gè)模型中，將σ分別設(shè)置為0.2，0.6，1，將m分別設(shè)置為6，7，8，9，10，然后，對(duì)其進(jìn)行科學(xué)模擬。當(dāng)m、σ和模型確定后，需要對(duì)誤差向量進(jìn)行改變[8]，并將重復(fù)計(jì)算次數(shù)設(shè)置為500次，對(duì)于單個(gè)常值系數(shù)而言，可以獲得500個(gè)估計(jì)值[9]，然后，對(duì)500個(gè)估計(jì)值求平均值，所獲得的平均值就是該常值系數(shù)的最終估計(jì)值，并用“■■”表示，獲得樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式，通過運(yùn)用該公式，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)該估計(jì)方法有效性和穩(wěn)定性的有效衡量。

（二）模擬試驗(yàn)結(jié)果

本次試驗(yàn)，所獲得的試驗(yàn)結(jié)果如表1所示，從表1中的數(shù)據(jù)可以得出以下幾個(gè)結(jié)論：（1）模型不同，所對(duì)應(yīng)的m、σ也不同，通過運(yùn)用后向擬合法，可以獲得常值系數(shù)最終估計(jì)值，該估計(jì)值與其真實(shí)值相吻合，這表明該估計(jì)方法具有較高的有效性和穩(wěn)定性。（2）觀測(cè)點(diǎn)會(huì)隨著m的不斷增加而呈現(xiàn)出不斷增加的趨勢(shì)，盡管估計(jì)精度并沒有明顯提高，但其穩(wěn)定性不斷提升。（3）當(dāng)σ越來越大時(shí)，說明噪聲方差不斷增加，該模型表現(xiàn)出較高的干擾程度，估計(jì)精度并沒有出現(xiàn)明顯的變化，但其穩(wěn)定性有所下降。（4）該模型變系數(shù)項(xiàng)不斷增加時(shí)，該模型中會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)變系數(shù)項(xiàng)，說明估計(jì)精度越來越低。

五、半?yún)?shù)空間變系數(shù)回歸模型及兩步估計(jì)方法在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)水平的不斷提高下，通過運(yùn)用本文所提出的兩步估計(jì)方法，對(duì)某城市房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析，從而研究出該城市房?jī)r(jià)空間差異結(jié)構(gòu)及其影響因子，為房地產(chǎn)行業(yè)發(fā)展提供重要的依據(jù)和參考。

（一）數(shù)據(jù)收集

本文以某城市多個(gè)小區(qū)的空間數(shù)據(jù)為樣本，這些樣本部分?jǐn)?shù)據(jù)如表2。

（二）空間變系數(shù)模型建立

運(yùn)用相關(guān)性分析法，確定出小區(qū)的房齡、公交站個(gè)數(shù)、距地鐵站距離、距醫(yī)院距離，并將這些變量標(biāo)記為X=（X1，X2，X3，X4），使用（U，V）坐標(biāo)表示小區(qū)實(shí)際的空間地理位置；使用（x1，x2，x3，x4，μi，vi，Yi）表示第i個(gè)小區(qū)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，i=1，2，...，n。基于空間系數(shù)回歸模型如下：

Y=β（μ，v）X+εi （i=1，2，...，n）（2）

（3）式中β（μ，v）（m=1，2，...，p）代表（μ，v）觀測(cè)點(diǎn)位置處所對(duì)應(yīng)的影響因子系數(shù)參數(shù)，εi代表正態(tài)誤差項(xiàng)。

（三）數(shù)值模擬

以小區(qū)的空間數(shù)據(jù)為樣本，運(yùn)用Matlab軟件編程法，對(duì)該空間數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，模型自變量系數(shù)運(yùn)行結(jié)果如表3所示。

從表3中的數(shù)據(jù)可以看出，學(xué)校、醫(yī)院參（下轉(zhuǎn)第27頁）（上接第22頁）數(shù)變化幅度相對(duì)較大，其影響量級(jí)相對(duì)較高，這表明學(xué)校、醫(yī)院參數(shù)會(huì)對(duì)房?jī)r(jià)空間差異性產(chǎn)生明顯影響。地鐵參數(shù)變化幅度相對(duì)較小，并對(duì)房?jī)r(jià)空間差異性產(chǎn)生影響程度較小，這表明地鐵對(duì)房?jī)r(jià)整體影響程度較小。

六、結(jié)束語

綜上所述，本文結(jié)合半?yún)?shù)空間變系數(shù)回歸模型構(gòu)建情況，提出兩步估計(jì)方法，并確定出常值系數(shù)的精確估計(jì)表達(dá)式，通過對(duì)該方法進(jìn)行大量數(shù)值模擬，有效地驗(yàn)證了該方法的有效性、合理性。另外，通過運(yùn)用Bootstrap方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)常值系數(shù)估計(jì)偏差和方差的有效研究。最后，將本文所提出的兩步估計(jì)方法被廣泛地應(yīng)用于房?jī)r(jià)空間差異性分析，應(yīng)用結(jié)果表明：影響房?jī)r(jià)空間差異性較大的因子是學(xué)校、醫(yī)院。但是，本文研究仍然需要進(jìn)一步優(yōu)化和完善，需要相關(guān)人員不斷創(chuàng)新和改革兩步估計(jì)方法，便于后期更好地推廣和應(yīng)用該方法。

[基金項(xiàng)目：云南省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目“復(fù)雜數(shù)據(jù)半?yún)?shù)分位數(shù)回歸模型方法在社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域應(yīng)用研究”中期成果（項(xiàng)目編號(hào)：YB2021096）]

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