分類討論思想在初中數(shù)學解題中的應用

方茹

摘要： 在素質(zhì)教育不斷開展的今天，數(shù)學教學逐漸從知識本位教育演變?yōu)槟芰Ρ疚唤逃?，而?shù)學解題能力的培養(yǎng)則是能力本位教育的重點內(nèi)容。初中階段，很多數(shù)學問題的答案往往不具有唯一性，需要學生分類討論各種可能，因此教師更應該有針對性地培養(yǎng)學生的分類討論思想。本篇論文首先介紹了分類討論思想的內(nèi)涵與要點，進一步討論在數(shù)學解題過程中分類討論思想的應用方式，包括深化例題講解、注重錯題分析、加強變式練習等。

關鍵詞： 初中數(shù)學 ?分類討論思想 ?應用

在初中階段，數(shù)學是非常重要的課程之一，但也是較難的課程。這門課程的抽象性和邏輯性很強。同時，數(shù)學屬于應用性課程，要求學生擁有較高的學習能力。因此，在課程教學中既要重視基礎知識的講解，也要重視學生數(shù)學思想的培養(yǎng)。數(shù)學課程以數(shù)量關系、空間形式為主要內(nèi)容，數(shù)學思想則是存在于人們的意識中，通過思維來產(chǎn)生相應結(jié)果?？梢?，數(shù)學思想是對數(shù)學事實和理論的概括性認知。從解題層面來看，在初中數(shù)學中會用到很多數(shù)學思想，比如數(shù)形結(jié)合，整體、分類討論思想等。其中分類討論思想就是非常重要的數(shù)學思想之一，其在初中數(shù)學解題過程中有著非常顯著的應用價值。

一、分類討論思想的內(nèi)涵與要點

分類討論是極為常見的，因為在實際生活中，事物往往具有多樣性，難以從一個角度來解讀、研究，分類討論就成為多角度、深層次把握事物的重要策略。數(shù)學分類討論思想來自日常生活中的分類討論，只不過其是從數(shù)學本質(zhì)屬性的異同出發(fā)，未將相關對象分為不同的類別。針對每一個類別來展開單獨研究，獲得相應研究成果再將其和題目條件有效結(jié)合起來，并得出有效結(jié)論。從本質(zhì)上說，分類討論就是化整為零。

在初中數(shù)學解題過程中，分類討論是應用最多的思想之一，分類討論思想是學生數(shù)學解題的利器。從提高解題效率，保障解題正確性的角度而言，分類討論思想的應用要點主要有以下幾點：

（一）要對分類討論的對象予以明確

確定分類討論對象是找準解題方向的鑰匙。從歷年中考真題來看，初中數(shù)學解題中的分類討論主要對象有：一是圖形位置不確定而引發(fā)的分類討論，最為典型的便是兩圓相切、兩圓相交問題。如已 知⊙O ?1 、⊙O ?2 半徑分為別為10和17，在A、B兩點相交，兩圓的公共弦AB長為16，試求出圓心距O ?1 O ?2 和∠O ?1 AO ?2 。二是含參數(shù)問題的分類討論。初中階段的數(shù)量關系更為復雜，參數(shù)取值成為分類討論的常見因素，特別是在不等式、方程等的解題中，學生需要綜合考慮不同取值范圍下的答案。三是具體問題中的分類討論，常見的有分段函數(shù)應用題中的分類討論等。

（二）把握分類討論的原則

分類討論是一項較為系統(tǒng)的工作，要確保分類討論的有效性，就應該對其原則予以準確把控。具體原則如下：一是同標準原則。無論從何種角度進行分類討論，分類標準必須是統(tǒng)一的，以三角形問題為例，分類標準既可以是角也可以是邊，但切忌標準模糊，或者不同標準混用。二是不遺漏原則。同一標準下的分類討論，要確保所有可能性均納入討論中，既要做到不遺漏，也要做到不重復。三是層次性原則。一些綜合性的數(shù)學問題，一次分類往往不夠，解題中要做到有層次分類，在一次分類的基礎上，進行二次分類。

（三）規(guī)范分類討論的步驟

在一些數(shù)學問題的解題過程中，學生已經(jīng)知道需要采用分類討論思想，但在實際的應用中往往無法拿到滿分，這和解題步驟簡略有很大的關系。因此，規(guī)范分類討論的步驟就成為提高學生解題能力的必然要求。首先，從具體的問題出發(fā)，明確研究的全域以及分類討論的對象，為接下來解題工作的開展奠定基礎；其次，針對預計討論的問題，進行科學合理的分類，堅持同標準、不遺漏、層次性的基本原則；再次，逐一開展討 論，從已經(jīng)分類的具體問題出發(fā)，逐步解決細分問題，比如a＞0，a=0和a＜0的情況；最后，整合所有 討論的內(nèi)容，得出問題的最 終解 。

（四）選擇分類討論的總結(jié)方式

常見的分類討論總結(jié)方式有以下三種，分別為：一是并列式總結(jié)，如當……時，有……，當……時， 有…… ，二是并集歸納，如……或……，三是交集歸納，如……且……，比如，兩個相切的圓圓心距為7，一個圓半徑是4，問另一個圓半徑是幾？本題求解中，學生要考慮兩個圓相切的情況，先畫出相切的兩種可能性，再以并集歸納的形式得出3或11。又如，出租車計價問題是初中數(shù)學的常見問題，出租車計價問題為典型的函數(shù)問題，當出行范圍在3公里以內(nèi)時，價格是固定的，而當出行范圍在3公里以上時，增加的距離與價格成正比例的關系，因此總結(jié)方式為并列式總結(jié)。

二、分類討論思想在初中數(shù)學解題中的應用

（一）深化例題講解

數(shù)學思想的培養(yǎng)不同于數(shù)學知識的傳授，僅靠理論講解難以取得理想的效果。從解題的角度而言，數(shù)學思想的應用必須和具體問題結(jié)合起來，這也是強化學生解題能力與效果的客觀需要。因此，教師要深化例題講解，從以下三個角度選擇好例題：一是經(jīng)典性。例題選擇要從歷年中考的真題中選擇經(jīng)常考查、具有代表性的題型，這也能夠讓學生實現(xiàn)觸類旁通的效果。二是基礎性。之所以要講解例題就是為了讓學生更好地掌握分類討論思想應用的方法，題目的難度要適中，讓大多數(shù)學生都能通過例題分析把握分類討論思想的應用要點。三是多樣性。初中數(shù)學問題中需要使用分類討論思想的題目有很多，最為常見的便是應用題。應用題多從生活背景出發(fā)，將數(shù)學知識融入生活背景中，既考查學生的數(shù)學知識、技能，也考查學生的閱讀分析能力。因此，加強數(shù)學閱讀訓練就成為提高學生解決數(shù)學問題能力的必然要求。應用題中的語言既包括文字語言，也包括數(shù)學語言，有時候還會有一些圖表，教師要引導學生解讀各類語言中的信息，弄清楚題目的實質(zhì)，從題目內(nèi)容出發(fā)，構(gòu)建相應的數(shù)學模型。

舉例而言，某工廠生產(chǎn)一種熱水壺和保溫杯，其中，熱水壺單價為200元，保溫杯單價為40元。國慶期間，廠家為回饋新老客戶，準備展開兩種優(yōu)惠，一是消費者每購買一個熱水壺，就送一個保溫杯，第二種方案是熱水壺與保溫杯均按原先價格的九折出售。某超市老板希望進貨20個熱水壺和若干個保溫杯（ 數(shù)量超過熱水壺），如果你是超市老板，你會選擇什么樣的方案。這是一道典型的分類討論題，且涉及二次分類的問題。學生首先要從方案一、方案二出發(fā)，進行分類。應付款為200×20+（x-20）×40，即40x+3200，當采用方案二時，應付款（200×20+40x）×90 % =36x+3600，此時，學生可以通過設函數(shù)的形式來求解，將應付款作為因變量y，另y=（40x+3200）-（36x+3600），簡化后為y=4x-400，再分別討論y＞0，y=0以及y＜0的情況。分類討論題目的內(nèi)涵決定了不確定性是分類討論題目最為基本的屬性。學生在解題中可以從不同的角度來思考求解，與常規(guī)數(shù)學題目不同。分類討論題目的答案 往往不止一個，學生在求出答案后，還要進一步擴大思考范圍，嘗試得出其他的答案，這使分類討論題目具有強烈的發(fā)散性。

（二）注重錯題分析

與常規(guī)數(shù)學題目相比，學生在涉及分類討論思想的數(shù)學題目解題中犯錯率更高，這和此類題目答案的開放性特征有密切的關系。在解題中，學生可能會出現(xiàn)各種錯誤，所以教師應該重視錯題分析，從學生解題中的高頻錯誤、典型錯誤出發(fā)，搜集匯總錯題資源，并從分類討論思想應用步驟出發(fā)，開展講解工作。因此，妙用錯誤就成為強化學生解題能力的必然要求。

比如 ，已知線段AB長12厘米，在直線AB上有一點C，BC=4厘米，M為AC中點，求線段AM的長。學生在解題中很容易出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象，僅僅考慮到點C在線段AB上的情況。題目給出的條件為點C在直線AB上，因此，點C還有可能在點B的右側(cè)。對此，教師可以在分類討論中引入數(shù)形結(jié)合思 想，從題目給出的條件出發(fā)，畫出可能的圖形，通過直觀的圖像讓學生了解該類題目的求解方法。類似的題目還有很多，比如，某初中學校為了了解本校初三學生一分鐘跳繩個數(shù)的情況，從初三學生中隨機選擇了男生2名，女生3名，再從這5名學生中抽出2名來跳繩，問：恰好選擇到1男1女的概率。本題涉及二次分類的問題，學生在分類討論中，要先對第一人的性別進行分類，再分別討論第一種情況下的第二種分類，比如第一個選擇的學生為女生，第二個選擇的可能性包括女、女、男、男四種，第一個選擇的學生為男生，第二個選擇的可能性包括女、女、女、男四種。

在錯題運用中，教師要將思維能力的培養(yǎng)和錯題分析緊密地結(jié)合起來。思維能力是學生學好數(shù)學的基礎能力，同樣，思維能力和解決數(shù)學問題能力緊密相關，學生只有在具備思維能力，特別是高階思維能力的基礎上，才能找到解決數(shù)學問題的思路。因此，教師要著力促進學生的思維發(fā)展。比如，培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化思維。一些數(shù)學問題看似復雜，但只要做巧妙的轉(zhuǎn)化，問題便迎刃而解。再如，培養(yǎng)學生的逆向思維。逆向思維也稱為求異思維，屬于創(chuàng)造性思維的范疇。學生采用逆向思維可以更好地突破常規(guī)性思維，從更多層面來展開思考，尋求解決問題的方式。這樣既可以使學生的解題技巧更為豐富，也可以有效提升學生的解題能力。

（三）加強變式練習

變式練習是錯題資源轉(zhuǎn)化以及強化學生運算能力的有效手段。及時的變式練習能夠第一時間讓學生采用正確的方式來解決問題，同時也能夠有效檢驗學生的學習效果。教師要做好變式練習的工作，為學生布置一些類似的題目。為進一步提升學生的計算能力，強化學生的知識掌握水平，教師在分析錯題以及變式練習的基礎上，要做好拓展延伸的工作，借助一些有思考價值的題目來提高學生的學習 效果 。

例如 ，原題為求函數(shù)y=（k-1）x 2-kx＋1與x軸的交點坐標。盡管函數(shù)看似二次函數(shù)，但題目并沒有明確告知學生為二次函數(shù)，因此存在一次函數(shù)的可能。當k的取值為1時，函數(shù)為一次函數(shù)y=-x＋1，與x軸的交點坐標為（1，0），而當 k≠1 時， 函數(shù)為二次函數(shù)。二次函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)與判別式Δ有關，學生要分別討論Δ＞0以及 Δ=0 兩種 情況，分別求出兩種情況下的交點坐標。

分類討論題目在提升學生的數(shù)學解題能力方面有著極為重要的意義，其應用價值非常高。專項訓練則是通過解題來進一步提升學生展開分類討論的有效方式。一般來說，可以在復習時展開對分類討論題目的專項解答，將相關內(nèi)容展開梳理和整合，采用專題教學的方式對學生的整體學習效果予以加強。在相關專題中，占據(jù)主要位置的是應用題，且在分類討論題目中，應用題也是最難最復雜的一類題型。在各種考試中，應用題所占的分量也非常大，因此也是很多學生感覺困難的題型。在面對較為復雜的應用題時，學生如果沒有讀懂題目，就會不知道該怎樣著手解答，思路不清晰自然也很難得到正確的答案。因此，教師應該多用幾個課時來對這一類型的題目進行專題講解，明確這類題目的特點，并提出相應的解題方法， 幫助學生提高系統(tǒng)解決問題的能力，也為今后學生解答該類題目 構(gòu)建良好基礎。在教學中，問題的解答方式有很多，可以正向思維， 也可以逆向思維，因此教師應該鼓勵學生采用多種思維方式來解答題目。同時，在練習時也可以讓學生在獲得正確答案之后，再思考還有沒有其他的解題方式，使學生的思維更加開闊，解題效率也會 更高 。

三、結(jié)語

小學階段的數(shù)學問題，往往僅有唯一解，換言之，答案是固定的，由此導致的結(jié)果便是學生的思維具有明顯的單向性。初中階段，數(shù)學課程的復雜性大為提升，特別是數(shù)量關系中，引入了字母代替數(shù)字，數(shù)學問題逐漸從單向性向多樣性轉(zhuǎn)變，而分類討論思想的培養(yǎng)與發(fā)展則是適應課程教學內(nèi)容變化的基本要求。因此，教師在課程教學中要高度重視學生分類討論思想的培養(yǎng)，以數(shù)學解題為切入點，從深化例題講解、注重錯題分析、加強變式練習等維度采取好措施，提高數(shù)學課程的教學效果。

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責任編輯：趙瀟晗