(江蘇省泰州中學(xué)附屬初級中學(xué) 陸祥雪 225300)
(安徽省壽縣第一中學(xué) 梁昌金 232200)
(貴州省貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 劉遠桃 550025)
(山東省壽光市第五中學(xué) 楊守松 262700)
(山東省臨清市北門里街頤清園小區(qū)19號樓7單元2樓西戶 劉繼征 252600)
(山東省鄒平雙語學(xué)校 姜坤崇 256200)
(山東省泰安市寧陽縣第一中學(xué) 劉才華 271400)
(安徽省無為中學(xué) 朱小扣 238300)
(北京中學(xué) 史嘉 100028)
2023年5月號問題解答
(解答由問題提供人給出)
2721如圖,已知PA、PB分別與⊙O切于點A、B,過點P的割線與⊙O交于C、D兩點,M是PA的中點,連接DM交AB于點E.求證:CE∥PA.
(江蘇省泰州中學(xué)附屬初級中學(xué) 陸祥雪 225300)
證明取PB的中點N,連接MN交PD于F,連接OP交AB于I,連接CI、OA、OD,過O作OH⊥PD于H,設(shè)PD與AB交于點G.
因為PA2=PI·PO,PA2=PC·PD,
所以PI·PO=PC·PD,
因為△PIG∽△PHO,
所以PI·PO=PG·PH,
所以PC·PD=PG·PH,
(安徽省壽縣第一中學(xué) 梁昌金 232200)
證明因為
sinA+sinB+sinC
所以
2723在△ABC中,求證:
(貴州省貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 劉遠桃 550025)
證明
?a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)
分別證明
a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,
a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0
+(b-c)2(b+c-a)(c+a-b)
+(c-a)2(c+a-b)(a+b-c)]≥0,
因為a,b,c為三角形的三條邊,
所以a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0,
+(b-c)2(b+c-a)(c+a-b)
+(c-a)2(c+a-b)(a+b-c)]≥0,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立,
下面證明
由柯西不等式得
+ab+bc+ca
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,即△ABC為等邊三角形時,等號成立.
(山東省壽光市第五中學(xué) 楊守松 262700)
所以該三角形的面積為定值.
2725如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點E在對角線BD上(不與點B、D重合),連結(jié)AE,作EF⊥AE交BC于點F,連結(jié)AF交BD于點G,求線段EG長的最小值.
(上海市嘉定區(qū)李園一村 谷小新 201899)
解由∠ABF=∠AEF=90°可得A、B、F、E四點共圓,所以有△ABG∽△EFG,進而可得
設(shè)BF=m>0,由勾股定理得
所以由①式可得
2023年6月號問題
(來稿請注明出處——編者)
(山東省臨清市北門里街頤清園小區(qū)19號樓7單元2樓西戶 劉繼征 252600)
2727設(shè)n∈N+且n≥3,k∈N+,求證:
nn+k>(n+k)n.
(山東省鄒平雙語學(xué)校 姜坤崇 256200)
(山東省泰安市寧陽縣第一中學(xué) 劉才華 271400)
(安徽省無為中學(xué) 朱小扣 238300)
2730如圖,已知C,D是⊙O的弦AB上的兩點,滿足AC=BD.過點C,D分別作⊙O的兩條弦EF,GH,連接GE,FH分別交AB于點P,Q.求證:PC=QD.
(北京中學(xué) 史嘉 100028)