以直覺(jué)鎖定特征 借目標(biāo)優(yōu)化運(yùn)算①
——圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問(wèn)題的教學(xué)思考

唐 毅

(江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué) 212000)

1 問(wèn)題提出

在解析幾何中,圓錐曲線是核心內(nèi)容之一. 我們通常采用“先用幾何眼光觀察與思考,再用坐標(biāo)法解決”的策略,用數(shù)形結(jié)合的思想研究這些曲線. 然而,在平時(shí)的教學(xué)中,我們發(fā)現(xiàn),許多學(xué)生在解決解析幾何問(wèn)題時(shí),常規(guī)的操作水到渠成,但一旦到達(dá)化簡(jiǎn)、求值的關(guān)鍵運(yùn)算步驟時(shí),就容易失去方向,導(dǎo)致功虧一簣. 這表明,在式子變形等計(jì)算訓(xùn)練方面,現(xiàn)在的教學(xué)有著一定缺陷,在日常教學(xué)中,教師總是認(rèn)為變形是繁瑣而沒(méi)有價(jià)值的訓(xùn)練,學(xué)生也認(rèn)為只要認(rèn)真對(duì)待就能夠算出結(jié)果,從而忽視了運(yùn)算中的觀察和簡(jiǎn)化,這才造成了運(yùn)算素養(yǎng)及解題能力的弱化. 圓錐曲線題目通常有較大的運(yùn)算量,因此運(yùn)算的技巧,例如巧妙的利用式子變形,能夠起到非常重要的作用. 在圓錐曲線教學(xué)中,我們需要注意收集圓錐曲線的典型例題,挖掘其中豐富多彩的性質(zhì),并與學(xué)生進(jìn)行分析,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)化簡(jiǎn)變形. 解析幾何難,難在運(yùn)算;運(yùn)算難,難在關(guān)鍵步驟的處理;關(guān)鍵步驟難,難在解題方向不明,特別是圓錐曲線中與定點(diǎn)、定值有關(guān)的問(wèn)題. 這些問(wèn)題體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的思想,同時(shí)也蘊(yùn)含著運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中保持的某種“規(guī)律性”或“不變性”.

下面我們以一道有關(guān)定點(diǎn)定值問(wèn)題的高考題為例,探索如何獲取結(jié)論,如何利用結(jié)論規(guī)劃解題路徑,如何優(yōu)化運(yùn)算,提升問(wèn)題解決的效率,在分析這道高考題的過(guò)程中,我們可以看到式子變形能力起到的重要作用.

(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn)．(本文重點(diǎn)討論)

2 探求性質(zhì)

2.1 精細(xì)作圖 明晰運(yùn)算對(duì)象

幾何引領(lǐng)代數(shù),運(yùn)算印證幾何．作出圖形、分析圖形間關(guān)系是深刻理解題意,挖掘問(wèn)題本質(zhì),尋求解題突破口的必經(jīng)之路．按題目要求準(zhǔn)確反映圖形特征:如圖1,選取點(diǎn)P的幾個(gè)不同位置而形成的直線即可大致發(fā)現(xiàn)直線CD恒過(guò)x軸上的某定點(diǎn),所以在計(jì)算時(shí)關(guān)鍵是計(jì)算出直線CD與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

圖1

2.2 特殊轉(zhuǎn)化 探索運(yùn)算思路

圓錐曲線背景下運(yùn)動(dòng)或不變性必然會(huì)導(dǎo)致存在復(fù)雜的關(guān)于字母符號(hào)的化簡(jiǎn),如果課堂實(shí)踐中先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行特殊情況下的轉(zhuǎn)化,就能為一般化情況的探索指明方向．

直覺(jué)上感知如果直線CD過(guò)定點(diǎn),必在x軸上．可以通過(guò)對(duì)稱的手段感知．關(guān)于對(duì)稱,由橢圓圖形以及點(diǎn)P軌跡的軸對(duì)稱性,在某情形成立之下,作出此類(lèi)情況關(guān)于x軸的鏡像必定也符合題意,如圖2,說(shuō)明點(diǎn)在x軸上的必然性．

圖2

如果尚未獲取點(diǎn)的位置信息,那么就選取兩個(gè)特殊位置,如取yP=0,yP=1,兩種狀態(tài)的CD交點(diǎn)必為定點(diǎn)．

如果點(diǎn)P的縱坐標(biāo)趨向于無(wú)窮大,那么直線PA與PB將趨近于與y軸平行,C,D兩點(diǎn)無(wú)限逼近A,B,如圖3,直線CD的極端情形即為x軸,同樣也說(shuō)明了定點(diǎn)的位置．

圖3

通過(guò)特殊情形判斷分析出了定點(diǎn)位置后,接著就是需要通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)證明,在這一過(guò)程中,如果學(xué)生有良好的數(shù)學(xué)式子變形能力,結(jié)果并不難得到.但如果式子變形能力差,計(jì)算將變得非常復(fù)雜,容易導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤.

3 優(yōu)化運(yùn)算

3.1 化探求為驗(yàn)證

從這里就可以看出,如果不具備良好的式子變形能力,而是通過(guò)求根公式來(lái)求解x1,x2,計(jì)算就會(huì)復(fù)雜很多,甚至?xí)?lái)不必要的運(yùn)算錯(cuò)誤.若是通過(guò)圖形認(rèn)識(shí)到直線PA與橢圓的公共點(diǎn)為點(diǎn)P和點(diǎn)A,從而可知對(duì)應(yīng)的關(guān)于x的一元方程的兩個(gè)根就是點(diǎn)P和點(diǎn)A的橫坐標(biāo),從而引導(dǎo)快速運(yùn)算.

3.2 化運(yùn)算為表述

同上解,得到

3.3 化解根為構(gòu)造

評(píng)注:在這個(gè)解法中,式子變形起了非常重要的作用,特別是將x+3和x-3看成整體,然后再進(jìn)行式子變形,使得求解變得簡(jiǎn)潔很多.如未進(jìn)行這樣的優(yōu)化計(jì)算,而是機(jī)械地代入方程進(jìn)行繁雜的計(jì)算,在具有這么多未知量的情況下,想得到準(zhǔn)確結(jié)果,絕非易事.

因此,教師在具體優(yōu)化計(jì)算的教學(xué)過(guò)程中,需要幫助學(xué)生回顧幾何特征,從尋找運(yùn)算思路,到邊化簡(jiǎn)變形邊發(fā)現(xiàn)核心計(jì)算難點(diǎn),再到突破難點(diǎn)反思運(yùn)算過(guò)程,學(xué)生就一道題不斷經(jīng)歷:幾何問(wèn)題——代數(shù)方向——運(yùn)算策略——化簡(jiǎn)難點(diǎn)——解決問(wèn)題——反思比較的過(guò)程,學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)必然不斷獲得提升.

4 結(jié)束語(yǔ)

與圓錐曲線相關(guān)的題目浩如煙海,現(xiàn)在的教學(xué)依然有著很大缺陷,僅僅依靠讓學(xué)生做大量的練習(xí)是不能讓他們真正理解圓錐曲線的特征并掌握運(yùn)算規(guī)律的.我們要善于利用典型的問(wèn)題,結(jié)合其結(jié)論特征,在運(yùn)算過(guò)程中,仔細(xì)觀察每一步式子的結(jié)構(gòu),進(jìn)行合理有效的式子變形,優(yōu)化運(yùn)算,提高運(yùn)算準(zhǔn)確性.因此,在例題化歸、變式訓(xùn)練、課后作業(yè)中,我們需要堅(jiān)持在更換背景、原命題逆命題互換、化簡(jiǎn)策略變化上多思考,多實(shí)踐,加大計(jì)算分析的力度,給學(xué)生提供從不同角度感悟解析幾何思想與方法的機(jī)會(huì),不斷提升運(yùn)算素養(yǎng).同時(shí),我們也需要更加強(qiáng)調(diào)運(yùn)算能力的重要性,讓學(xué)生意識(shí)到只有通過(guò)強(qiáng)化運(yùn)算能力,才能真正掌握解題的方法和技巧,從而在更高的層次上理解圓錐曲線和其他解析幾何的知識(shí).