跨學(xué)科視角下音樂融入數(shù)學(xué)課堂的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)
——以“設(shè)計(jì)并制作尤克里里”為例

程 慧 徐斌艷

(1.上海外國語大學(xué)松江外國語學(xué)校 201620;2.華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062;上海市“立德樹人” 數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地 200241;華東師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所 200062)

2022年4月,教育部發(fā)布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》,與2011版課標(biāo)相比,新課標(biāo)更加注重學(xué)科實(shí)踐和跨學(xué)科融合,注重跨學(xué)科任務(wù)式學(xué)習(xí)[2],要求學(xué)生能在活動(dòng)中綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)及其他學(xué)科知識(shí)解決問題,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián),形成和發(fā)展模型意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí),提高解決實(shí)際問題的能力,形成和發(fā)展核心素養(yǎng).

跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維、批判性思維、團(tuán)隊(duì)溝通與合作等能力至關(guān)重要,但可應(yīng)用于課堂的跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí)資源目前并不多.在2020年文科高考數(shù)學(xué)全國二卷中,曾出現(xiàn)了一道與音樂知識(shí)相結(jié)合的選擇題.實(shí)際上,音樂和數(shù)學(xué)之間有著密不可分的聯(lián)系.音樂中的元素,如音符與節(jié)拍、旋律與曲譜、和諧與樂音等,就蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)上的分?jǐn)?shù)、圖形的運(yùn)動(dòng)、相似三角形以及等比數(shù)列等知識(shí)[3].本研究以某初中九年級(jí)學(xué)生為對(duì)象,結(jié)合5EX設(shè)計(jì)模型,基于音樂中的十二平均律在制作樂器上的廣泛應(yīng)用,設(shè)計(jì)并實(shí)施跨學(xué)科視角下音樂融入數(shù)學(xué)課堂的項(xiàng)目式學(xué)習(xí),旨在通過課程的實(shí)施探究與音樂相結(jié)合的數(shù)學(xué)項(xiàng)目如何設(shè)計(jì),為一線教師提供具有一定參考性的初中數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)案例.

1 跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí)簡介

對(duì)于跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí),劉景福等、李志河等人均指出要從真實(shí)的、學(xué)生感興趣的具體項(xiàng)目出發(fā),以促進(jìn)學(xué)生知識(shí)和技能的提升為項(xiàng)目目標(biāo),在學(xué)習(xí)活動(dòng)中注重合作以及多種信息資源的運(yùn)用[4].2007—2016年間,國內(nèi)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)研究主要集中在“理論模式研究”、“評(píng)價(jià)體系研究”、“實(shí)施應(yīng)用研究”、“教學(xué)設(shè)計(jì)研究”以及“問題與對(duì)策研究”等五個(gè)領(lǐng)域,其中“教學(xué)設(shè)計(jì)研究”僅占比4%[5].

然而,在跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中,最核心、最重要的問題就是活動(dòng)的設(shè)計(jì).在跨學(xué)科項(xiàng)目設(shè)計(jì)模式方面,余勝泉等在教學(xué)分析的基礎(chǔ)上,以“項(xiàng)目或問題”為核心立足點(diǎn),構(gòu)建了由教學(xué)分析、學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)、工具與資源設(shè)計(jì)、學(xué)習(xí)支架設(shè)計(jì)、學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)、總結(jié)與強(qiáng)化練習(xí)以及項(xiàng)目方案試用與改進(jìn)八個(gè)部分所組成的教學(xué)設(shè)計(jì)模式[6].李克東等構(gòu)建了跨學(xué)科學(xué)習(xí)活動(dòng)5EX設(shè)計(jì)模型,包括進(jìn)入情境與提出問題、探究學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用、工程設(shè)計(jì)與技術(shù)制作、知識(shí)擴(kuò)展與創(chuàng)意設(shè)計(jì)、多元評(píng)價(jià)與學(xué)習(xí)反思五個(gè)活動(dòng)部分[7].

圖1 跨學(xué)科學(xué)習(xí)活動(dòng)5EX設(shè)計(jì)模型

本文將結(jié)合跨學(xué)科學(xué)習(xí)活動(dòng)5EX設(shè)計(jì)模型,基于音樂中的十二平均律在制作樂器上的廣泛應(yīng)用,進(jìn)行將音樂融入數(shù)學(xué)課堂的跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì),并進(jìn)行課堂實(shí)踐.

2 “設(shè)計(jì)并制作尤克里里”活動(dòng)設(shè)計(jì)

2.1 活動(dòng)相關(guān)知識(shí)

在本項(xiàng)目中,學(xué)生需要接觸到音樂和數(shù)學(xué)兩方面的相關(guān)知識(shí).

(1)音樂:和諧的樂音

①基音與泛音

發(fā)音體整體振動(dòng)產(chǎn)生的音,叫做基音,比如吉他上一根完整的弦發(fā)出的聲音;發(fā)音體部分振動(dòng)產(chǎn)生的音,叫做泛音,比如按住吉他上的某個(gè)品絲僅部分弦長發(fā)出的聲音;基音和泛音結(jié)合一起而形成的音,叫做復(fù)合音,日常我們所聽到的聲音多為復(fù)合音.

弦長越長,頻率越低;弦長越短,頻率越高,即頻率與弦長成反比,例如,按住整根弦長的中點(diǎn)處,我們可以得到頻率是基音2倍的泛音.當(dāng)泛音和基音的頻率比值越是簡單的整數(shù)比時(shí),我們?cè)綍?huì)覺得聲音好聽.

②十二平均律

音程,指音與音之間的距離,其單位名稱叫做度,這里的距離指的是頻率比之間的差距.所謂八度,指頻率比為2的音程.比如我們熟悉的“do re mi fa sol la si”,后一個(gè)“do”的頻率是前一個(gè)“do”的兩倍.

圖2 十二平均律示意圖

(2)數(shù)學(xué):頻率比、整數(shù)比、弦長比、相似比

圖3 單弦吉他制作示意圖

2.2 進(jìn)入情境,提出問題

音樂無時(shí)無刻地不存在于我們的生活當(dāng)中,比如早起的鬧鐘鈴聲、學(xué)校里的下課鈴、商場里的促銷音樂等等.鋼琴、吉他、古箏等樂器都能發(fā)出悅耳動(dòng)聽的樂聲.然而,該怎樣制作出這些樂器呢?

首先,教師為學(xué)生提供相關(guān)影像資料、用尤克里里進(jìn)行簡單的演奏,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.其次,由教師和學(xué)生提出與本主題相關(guān)的問題,如尤克里里由哪幾部分組成?為什么越往下音調(diào)越高?等等.最后,教師可以給學(xué)生提供可以彈奏的尤克里里,讓學(xué)生通過體驗(yàn)觀察并進(jìn)行思考和小組討論,最終匯報(bào)小組對(duì)于尤克里里組成部分的結(jié)論.教師進(jìn)行補(bǔ)充并總結(jié).

2.3 探究學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用

本環(huán)節(jié)主要探究如何確定尤克里里指板上品格之間的距離.教師提出一系列問題,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)背后隱藏的數(shù)學(xué)知識(shí).

問題1:指板上品絲的作用是什么?

老師引導(dǎo):縮短弦長,增加振動(dòng)頻率,從而音調(diào)升高.弦長和頻率為反比例函數(shù)關(guān)系.

問題2:為什么指板上品絲之間的距離不是平均分的呢?

老師引導(dǎo):頻率比為簡單的整數(shù)比才能發(fā)出樂音,進(jìn)而介紹基音和泛音.

問題3:量一量指板上品絲間的距離,算一算,有沒有什么規(guī)律?

問題4:到底該如何確定指板上品絲之間的距離?

老師引導(dǎo):介紹伽利雷制作單弦吉他的方法.

2.4 工程設(shè)計(jì)與技術(shù)制作

本環(huán)節(jié)學(xué)生進(jìn)行小組合作,利用老師分發(fā)的材料來制作尤克里里(此時(shí)的尤克里里大小與體驗(yàn)的尤克里里大小不同,避免學(xué)生直接使用已經(jīng)測量的結(jié)論進(jìn)行制作),聚焦于問題:能否想出辦法利用每個(gè)音與前一個(gè)音的弦長之比,幫忙確定出每個(gè)品絲對(duì)應(yīng)的位置呢?

2.5 知識(shí)擴(kuò)展與創(chuàng)意設(shè)計(jì)

本環(huán)節(jié)為學(xué)生提供更加豐富的材料,如豎笛的制作材料、可以彈奏的吉他、鋼琴上的黑白鍵圖片、歷史上的三分損益法等.這些樂器或者知識(shí)均與十二平均律有關(guān),各小組自由選擇是繼續(xù)制作豎笛還是研究鋼琴黑白鍵中的知識(shí),教師為學(xué)生提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)單.最后,各小組進(jìn)行展示,與全班同學(xué)分享交流自己小組的成果.

(1)鋼琴中的十二平均律

請(qǐng)同學(xué)們探究鋼琴上各音高的頻率值,以及CDEFGAB七個(gè)音中相鄰音之間是全音關(guān)系還是半音關(guān)系?

(2)歷史中的十二平均律

三分損益法是中國最早的有關(guān)樂律理論和計(jì)算的方法,是中國音律學(xué)家在音樂發(fā)展史上做出的重要貢獻(xiàn).最早記載三分損益法的文獻(xiàn)是《管子 · 地員篇》.“凡將起五音凡首,先主一而三之,四開以合九九,以是生黃鐘小素之首,以成宮.三而益之以一,為百有八,為徵.不無有三分而去其乘,適足,以是生商.有三分,而復(fù)于其所,以是成羽.有三分去其乘,適足,以是成角.”[9]

請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算宮、徵、商、羽、角對(duì)應(yīng)的音值并查閱相關(guān)資料,比較其與十二平均律的不同,解釋為何如今廣為采用的都是十二平均律.

(3)豎笛制作

豎笛也是我們所熟悉的十二平均律樂器,那么我們能利用十二平均律制作出一把豎笛嗎?

(4)音樂與數(shù)學(xué)

音樂中有著我們難以想象到的數(shù)學(xué)知識(shí),比如巴赫的鋼琴曲《十二平均律》,而數(shù)學(xué)知識(shí)也可以轉(zhuǎn)化成為音樂,比如用鋼琴演奏的π之歌.請(qǐng)同學(xué)們搜集這兩方面的音樂,解釋其中的數(shù)學(xué)規(guī)律,并和其他同學(xué)一起欣賞.

2.6 成果建議及多元評(píng)價(jià)

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的成果形式豐富多樣,可以是調(diào)查報(bào)告,口頭匯報(bào)、也可以是小組展示.根據(jù)活動(dòng)安排,項(xiàng)目的各個(gè)部分成果建議如下表.

本環(huán)節(jié)注重評(píng)價(jià)的多元性,包括教師評(píng)價(jià)、同伴互評(píng)與自我評(píng)價(jià),即除了教師對(duì)各組進(jìn)行評(píng)價(jià)外,也讓組內(nèi)成員進(jìn)行了互評(píng),以及讓每位同學(xué)進(jìn)行自我評(píng)價(jià),這樣能更好地發(fā)現(xiàn)存在的問題以及在本次活動(dòng)中的收獲.

3 “設(shè)計(jì)并制作尤克里里”活動(dòng)實(shí)施與啟示

考慮到九年級(jí)上學(xué)期正在學(xué)習(xí)相似三角形,與項(xiàng)目中的關(guān)鍵知識(shí)相關(guān)度高,故此項(xiàng)目以拓展課的形式在某中學(xué)九年級(jí)部分學(xué)生中開展.參與項(xiàng)目的學(xué)生經(jīng)過招募活動(dòng)自主報(bào)名,對(duì)于項(xiàng)目的興趣較大,對(duì)項(xiàng)目的順利進(jìn)行起著重要作用.

活動(dòng)先后開展兩次,在第1次活動(dòng)中教師在“工程設(shè)計(jì)及技術(shù)制作”環(huán)節(jié)前就已經(jīng)介紹了伽利雷制作單弦吉他的方法,第2次活動(dòng)中教師并未在此環(huán)節(jié)前介紹而是讓同學(xué)們自己去思考探究.兩次活動(dòng)中對(duì)于確定品絲間距離的探究與制作過程部分呈現(xiàn)如下:

兩次活動(dòng)中共分為10個(gè)小組,無論教師是否介紹了伽利雷制作單弦吉他的方法,70%的小組都采用了逐個(gè)計(jì)算的方法,同學(xué)們還是傾向于先量出待制作的尤克里里上弦枕與下弦枕之間的長度,依據(jù)弦長比的關(guān)系,利用直尺按照計(jì)算出來的距離確定12個(gè)品絲所在的位置.最終與現(xiàn)成的指板相比,有一定的誤差.學(xué)生的思維依然傾向于直接的數(shù)學(xué)計(jì)算,沒有向高層次的思維發(fā)展.

僅有1個(gè)小組想到了利用不同尺寸尤克里里之間的相似性,利用23寸尤克里里上已有的距離數(shù)據(jù)算出待制作21寸尤克里里所需的數(shù)據(jù),再用直尺確定12個(gè)品絲所在的位置.此種方法體現(xiàn)了學(xué)生深層次的數(shù)學(xué)思考,且能夠靈活地運(yùn)用可利用的工具資源,反映了學(xué)生在過程中的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力[10].

其他小組遲遲不敢下手,在老師的提示下嘗試?yán)觅だ字谱鲉蜗壹姆椒?先量出了待制作的尤克里里上弦枕與下弦枕之間的長度,在草稿紙上先進(jìn)行畫圖,再貼到尤克里里上找到了相對(duì)應(yīng)的12個(gè)品絲的位置.

圖4 活動(dòng)部分過程

項(xiàng)目整體順利進(jìn)行,學(xué)生們的部分成果如圖中所示,學(xué)生課后表示在課堂中非常深刻地感受到了數(shù)學(xué)和音樂的奇妙聯(lián)系.同時(shí)通過活動(dòng)的實(shí)施,對(duì)于之后的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)實(shí)施有如下啟示:

(1)跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí)在主題以及內(nèi)容的挑選上需擯棄理解起來難度大的、與學(xué)生最近發(fā)展區(qū)相隔甚遠(yuǎn)的內(nèi)容.所跨學(xué)科的知識(shí)如若對(duì)于沒有相關(guān)背景的學(xué)生來說,依然存在著較大的阻礙.在條件允許的情況下,跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的開展需要盡量招募具有相關(guān)背景的學(xué)生或者請(qǐng)相關(guān)學(xué)科的老師提前教給學(xué)生相關(guān)內(nèi)容,以便項(xiàng)目順利開展.

(2)控制小組人數(shù)、預(yù)留破冰環(huán)節(jié).以小組形式開展的項(xiàng)目式學(xué)習(xí),開展效果會(huì)受到同伴人數(shù)、性格、參與度的影響.同伴人數(shù)越多,小組成員之間溝通起來難度就越大,建議授課教師控制每組人數(shù).同時(shí),招募來的學(xué)生彼此之間可能并不是很熟悉,馬上開始活動(dòng)成員們之間還是會(huì)比較羞澀,建議以小游戲、起組名、選小組長等方式幫助學(xué)生快速熟悉起來,便于后續(xù)活動(dòng)的開展,盡量使每位同學(xué)都參與到活動(dòng)中.

(3)同學(xué)科教師以及其他學(xué)科的教師進(jìn)行協(xié)作教學(xué).項(xiàng)目式學(xué)習(xí)過程中學(xué)生可能會(huì)有各種各樣的疑問,在此類型活動(dòng)的開展過程中,可多邀請(qǐng)其他老師(如數(shù)學(xué)老師、所跨學(xué)科的老師)進(jìn)行協(xié)作教學(xué).例如,每組可安排一名指導(dǎo)老師,除了答疑工作,還可以監(jiān)督學(xué)生規(guī)范使用各種工具,提醒學(xué)生注意安全.

在“設(shè)計(jì)并制作尤克里里”活動(dòng)中,學(xué)生們經(jīng)歷了獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等過程,綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和音樂領(lǐng)域的知識(shí)來發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題,學(xué)生們的運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng)也在過程中得到了一定的發(fā)展.這也啟發(fā)我們?cè)诔Ｒ?guī)的數(shù)學(xué)課程之外,融合其他學(xué)科領(lǐng)域的知識(shí)進(jìn)行更多的嘗試,促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.