一個三元輪換對稱不等式及其推廣的證明①

葉瑞松

(汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系 5150630)

由于對稱不等式形式優(yōu)美,結(jié)論耐人尋味,其論證方法和論證過程更有各種便捷巧妙的技巧,對稱不等式相關(guān)的研究是一個很有生命力的研究領(lǐng)域,可以說是集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的一類研究.[1-5]文[1]證明了三元對稱不等式的定理1.

文[1]用“微分法”給出了定理1的證明,證明過程繁瑣,難于理解.后來,文[2]和[3]分別用初等方法給出比較簡單的證明.文[4]利用數(shù)學(xué)歸納法將定理1進(jìn)一步推廣到更一般的形式,即下面的定理2.

證明采用基本不等式進(jìn)行證明.

由算術(shù)-幾何平均不等式得到

證明完畢.

我們將定理3進(jìn)一步推廣到多元情況,得到定理4.

為了證明定理4,我們先給出引理1,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明引理2的結(jié)論,再利用定理2,便可以得到本文定理4的證明.本文主要結(jié)果引理2和定理4來自引理1的啟發(fā),引理1可以由函數(shù)凸性得到,在文獻(xiàn)[6]中有其簡潔的證明.由于引理1在本文中所起的作用,我們將其簡短的證明也提供出來,供欣賞參考.

證明由于b≥max{c,d},a+b=c+d,

所以b>a,c>a,d>a且

由f(x)的凸性得到

將上述兩個式子相加,得到

f(a)+f(b)≥f(c)+f(d).

引理2如果f(x)是(0,∞)上的凸函數(shù),0

所以,n=2時,引理2結(jié)論成立.

假設(shè)n=k,k∈N+時,下面不等式成立:

則當(dāng)n=k+1時,

由于不等式具有輪換對稱性,不妨假設(shè)xk+1≤min{x1,…,xk},則

所以由引理1知道

從而

所以當(dāng)n=k+1時,引理結(jié)論成立.

由數(shù)學(xué)歸納法知道,引理結(jié)論對任何正整數(shù)均成立.證明完畢.

去掉對數(shù),由定理2的結(jié)論,得到

證明完畢.