在立幾教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造正方體①

吳凱紅 朱勝強(qiáng)

(南京外國語學(xué)校 210008)

立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)之一,這其中很重要的一個因素是立體幾何學(xué)習(xí)需要更多的直觀想象.雖然平面幾何與立體幾何同為幾何,但平面幾何圖形中所見幾何元素的關(guān)系,一般都是它們之間的真實(shí)關(guān)系.而立體幾何圖形則是在二維平面中描述三維空間的幾何對象,所見幾何元素間的關(guān)系一般是空間對象在一定的直觀畫法下得到的二維平面關(guān)系,真實(shí)的空間關(guān)系需根據(jù)相應(yīng)的直觀畫法原理逆向直觀想象獲得.學(xué)習(xí)立體幾何時,直觀想象力的暫時不足自然地會影響學(xué)生對問題的理解與思考,處理不當(dāng),有可能使學(xué)生產(chǎn)生畏懼心理,不利于后續(xù)學(xué)習(xí).

利用幾何圖形描述問題,是借助幾何直觀理解問題及運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物的基礎(chǔ).未能選擇恰當(dāng)?shù)膱D形揭示研究對象的特征,常成為問題思考無法深入的直接原因.如何幫助學(xué)生成功跨越這一障礙呢?在這個問題的解決上,正方體的作用怎么強(qiáng)調(diào)都不為過.

正方體是空間圖形中最特殊且內(nèi)涵極其豐富的幾何圖形,它享有“萬能模型”的美稱.正方體是空間坐標(biāo)架的基礎(chǔ),自然是立體幾何教學(xué)的一個關(guān)鍵出發(fā)點(diǎn).此外,它還有如下四個特征.[1]

(1)正方體是學(xué)生生活中較早接觸和相對熟悉的空間圖形,從其直觀圖出發(fā),易于展開空間想象,形成正確的空間認(rèn)知.借用它進(jìn)行立體幾何教學(xué),有助于學(xué)生觀察點(diǎn)、線、面位置,建立空間概念,克服畏難情緒,降低思維難度.

(2)正方體能完美體現(xiàn)立體幾何核心知識.正方體包含了眾多空間基本的線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系,基于正方體模型,即可把立體幾何中的基本概念與基本定理梳理清楚.

(3)對正方體進(jìn)行伸壓變換可以得到長方體,進(jìn)行切截、割補(bǔ),可以得到各種各樣的柱體、錐體、臺體等,既可以拓展、豐富立體幾何的研究空間,又可揭示圖形及知識間的內(nèi)在聯(lián)系.

(4)正方體是探索解題思路的重要突破口.很多立體幾何問題由于線面關(guān)系復(fù)雜或圖形不容易畫出,容易導(dǎo)致思路阻塞,借助正方體模型,可以把研究對象置于更直觀的背景中,從而便于認(rèn)清問題的本質(zhì)屬性.

雖然正方體在立體幾何學(xué)習(xí)中所能發(fā)揮的積極作用已為大家所知,但在實(shí)踐中也常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生缺乏借助正方體思考問題的意識.這提醒我們,在教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生,讓學(xué)生學(xué)會構(gòu)造正方體并借助正方體探究立體幾何問題.下面結(jié)合具體問題談一點(diǎn)做法體會,以期與大家交流探討.

1 利用正方體中異面直線關(guān)系

正方體中幾乎包含了空間點(diǎn)、線、面間所有類型的位置關(guān)系.立體幾何中,通常用線段表示直線,用平行四邊形表示平面.當(dāng)考察的對象較少,關(guān)系較簡單時,按書本介紹的方式來處理基本能將問題描述清楚.但如果考察的對象較多,特別是遇到像異面直線這樣相對復(fù)雜的關(guān)系時,能否用恰當(dāng)?shù)姆绞娇坍媶栴}直接影響空間想象的效果.此時,正方體不失為一種理想的選擇.

例1已知三條直線兩兩異面,能與這三條直線都相交的直線有( ).

A.0條 B.1條 C. 2條 D.無數(shù)條

分析異面直線在直觀圖中所見到的是相交或平行的線,刻畫兩條直線的異面關(guān)系,通常借助一個平面加以襯托.當(dāng)三條直線兩兩異面時,雖然也可以用一個或兩個平面襯托,但進(jìn)一步確定能與它們都相交的直線時,就顯得困難了.這時可啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想,有沒有熟悉的空間圖形中存在著兩兩異面的三條直線的呢?

正方體的棱所在直線中存在著多種位置關(guān)系.圖1所示正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB,B1C1,DD1為三條兩兩異面的直線.因此,可以考慮是否存在與這三條直線同時相交的直線?若存在,有多少條?

圖1

不妨將在空間找線的問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)找線的問題.在直線AB上取一點(diǎn)E,得平面EDD1,使該平面與直線B1C1相交,記交點(diǎn)為G.則直線EG與直線DD1在同一平面內(nèi),當(dāng)它們不平行時,必定相交.此時,直線EG便是與直線AB,B1C1,DD1都相交的直線.改變點(diǎn)E的位置,可得無數(shù)條滿足條件的直線.因此,只能選擇D.

問題解決后,還可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提出問題:已知四條直線兩兩異面,是否一定存在與這四條直線都相交的直線呢?

仍可在正方體框架中思考.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,易知AB,B1C1,DD1,A1C是四條兩兩異面的直線.是否存在與這四條直線都相交的直線呢?

在直線AB上取一點(diǎn)E,得平面EDD1.使該平面與直線B1C1及直線A1C分別相交,記交點(diǎn)分別為G,K(如圖2).則僅當(dāng)E,G,K三點(diǎn)共線,且三點(diǎn)所在直線與DD1不平行時,滿足條件的直線才存在.直觀感覺上,似乎難以保證這樣的直線存在,能否定它的存在嗎?

圖2

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,假設(shè)存在直線l與直線AB,B1C1,DD1,A1C都相交.將正方體ABCD-A1B1C1D1繞直線A1C旋轉(zhuǎn)120°,記直線l旋轉(zhuǎn)后所得直線為l′,則l,l′及直線A1C交于同一點(diǎn).旋轉(zhuǎn)后直線AB,B1C1,D1D順次輪換(如圖3).所以,l′與直線AB,B1C1,DD1,A1C也都相交,且各交點(diǎn)都不在l上.這說明這四條直線都在相交直線l,l′確定的平面內(nèi),這與它們兩兩異面矛盾.因此,這樣的直線l不存在.

圖3

圖4

在立體幾何中研究一些對象之間較復(fù)雜的關(guān)系時,可以充分利用正方體中已有的線面關(guān)系來呈現(xiàn),然后在正方體框架的襯托下展開思考.當(dāng)然,這樣研究往往會將原有問題特殊化.不過,這種特殊化既可以為一般性思考提供可供參考的方向,也可為否定猜想提供有用的反例.

2 利用正方體中的垂直關(guān)系

空間兩條平行直線,在直觀圖形中仍可用平行線表示.但空間兩條垂直的直線,在直觀圖中對應(yīng)的兩條線不一定還垂直,相應(yīng)地線面垂直、面面垂直也存在著類似的情況,這常使學(xué)生在遇到空間與垂直有關(guān)的問題時覺得不太適應(yīng).正方體中有著豐富的垂直關(guān)系,既有線線垂直,線面垂直,又有面面垂直.因此,在探索與垂直相關(guān)問題時,借助正方體常可化難為易.

例2一個二面角的兩個面分別與另一個二面角的兩個面垂直,這兩個二面角的大小是否一定相等或互補(bǔ)?

分析學(xué)生對此問題常作出肯定回答.產(chǎn)生錯誤的主要原因是將空間問題與平面中的問題類比所致.即使學(xué)生被告知錯誤后,仍無法找到錯誤的原因.因?yàn)閷W(xué)生畫不出反例圖形來作出合理解釋.

怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)呢?可在正方體ABCD-A1B1C1D1中展開思考.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,先確定一個二面角,如二面角A-BC-B1.容易看出,二面角A-A1D1-B1的兩個面分別與該二面角的兩個面垂直,這兩個二面角符合相等或互補(bǔ)的關(guān)系.是否存在不同的可能呢?

這就要尋找與面ABCD及面BCC1B1分別垂直的平面構(gòu)成二面角.為此,先找與這兩個面垂直的直線.易知AB⊥平面BCC1B1,AA1⊥平面ABCD,所以過AB的平面與過AA1的平面構(gòu)成的二面角符合要求.

比如,在棱BC上任取一點(diǎn)E,可得經(jīng)過AA1的平面AA1FE,它與經(jīng)過AB的平面ABB1A1構(gòu)成二面角E-AA1-B,其中∠BAE為二面角的平面角.當(dāng)E在BC上移動時,二面角E-AA1-B的大小不斷變化,但始終有平面AA1FE⊥平面ABCD,平面ABB1A1⊥平面BCC1B1.這樣便得到了反例圖形.

上述反例圖形中,有一個二面角是直二面角.能構(gòu)造出讓兩個二面角大小都可以改變的反例圖形嗎?

注意到BC⊥平面ABB1A1,所以過直線BC的平面也都與平面ABB1A1垂直.在棱A1B1上任取一點(diǎn)G,得二面角G-BC-A,∠ABG為其平面角.在二面角G-BC-A與二面角E-AA1-B中,平面AA1FE⊥平面ABCD,平面ABB1A1⊥平面BCHG.移動點(diǎn)E或點(diǎn)G都可以隨意改變相應(yīng)二面角的大小(如圖5).

圖5

由于正方體中有著眾多的垂直關(guān)系,因此在正方體框架中作垂線、確定垂面就顯得簡便易行,并且也容易判斷直線、平面之間是否存在垂直關(guān)系.值得注意的是,正方體中的這些垂直關(guān)系在長方體中同樣也存在,所以在構(gòu)造反例圖形時,也可以在長方體、甚至是棱柱或棱錐中進(jìn)行.只不過相比較而言,正方體是學(xué)生更為熟悉的幾何體,以它為載體思考問題,可將更多的精力聚焦于難點(diǎn)的突破上.

3 通過割補(bǔ)建立幾何體與正方體的聯(lián)系

正方體的每一個面都是正方形,相鄰的面都互相垂直,相對的面都互相平行.所有棱長都相等,一個頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直,等等.許多幾何體也部分擁有上述這些幾何特征,遇此情形可考慮通過割補(bǔ)的方法建立幾何體與正方體的聯(lián)系,為解決問題搭建臺階.

圖6

(1)求A到平面A1BC的距離;

(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn),AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.(2022年新高考全國Ⅰ卷)

當(dāng)AA1=AB,且A1BC⊥平面ABB1A1時,取A1B的中點(diǎn)M,連接AM,可知AM⊥A1B.因?yàn)槠矫鍭1BC⊥平面ABB1A1,所以AM⊥平面A1BC.所以AM⊥BC.故BC⊥平面ABB1A1,從而有BC⊥AB.

易得,AA1=AB=BC,且AA1⊥AB,AB⊥BC,AA1⊥BC.

因此,該直三棱柱ABC-A1B1C1可看成是由平面AA1C1C截正方體ABCE-A1B1C1E1所得(如圖6(2))).容易求得D是BE1的中點(diǎn).又BE1⊥平面AB1C,垂足G是正三角形AB1C的中心.所以∠AGC為二面角A-BD-C的平面角,其大小為120°.故二面角A-BD-C的大小為120°.

三條兩兩互相垂直的線段是正方體中最明顯的幾何特征.當(dāng)研究的圖形中存在這樣的三條線段,或可以找到這樣的三條線段時,便可以考慮將該問題與正方體相聯(lián)系.

圖7

分析簡單瀏覽條件并不能很快找到線面角.進(jìn)一步分析三棱錐的幾何特征,會發(fā)現(xiàn)與正方體有一定的聯(lián)系.

已知正方體BDCF-IHGA,用平面ABC,平面ACD,平面ABD截正方體后,可得三棱錐A-BCD(如圖7(2)).

設(shè)E為AC上任一點(diǎn),在平面AFCG內(nèi)過E作直線FC的垂線,垂足為K,則EK⊥平面FCDB,所以DK是直線DE在平面BCD內(nèi)的射影,故∠EDK即為直線ED與平面BCD所成的角.

所以,當(dāng)CE=1時,ED與平面BCD所成的角為30°.

正方體的有些幾何特征清晰易見,如表面的形狀,各棱之間,棱與面之間的關(guān)系等.也有一些特征相對隱蔽,如面對角線、體對角線間的關(guān)系,一些特殊的截面等.在尋找所研究的幾何體與正方體的聯(lián)系時,需要根據(jù)幾何特征展開聯(lián)想,提出假設(shè),嘗試驗(yàn)證.

4 通過球聯(lián)系正方體

研究與球相關(guān)的問題時,常需確定球心及球面上的點(diǎn).正方體的中心到正方體各頂點(diǎn)的距離相等,到各個面的距離相等,到各棱的距離也相等.因此,以正方體的中心為球心的球,可以是正方體外接球、內(nèi)切球或與各棱相切的球.由于球是旋轉(zhuǎn)體,所以對于與球有關(guān)的幾何元素關(guān)系的處理,學(xué)生所感受到的難度會比較大.如果將研究的問題與正方體聯(lián)系起來,?？墒箚栴}變得具體直觀,為探究掃除障礙.

例5如圖8(1),是一個由三根細(xì)鐵桿PA,PB,PC組成的支架,三根鐵桿的兩兩夾角都是60°,一個半徑為1的球O放在支架上,則球心O到點(diǎn)P的距離是( ).

圖8

分析注意到PA,PB,PC兩兩成60°角,容易想到正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條面對角線,兩兩之間夾角也為60°.因此,可構(gòu)造以O(shè)為中心,面對角線在PA,PB,PC上的正方體.

在正方體PQRS-EFGH中,PF,PR,PH兩兩成60°角,又正方體PQRS-EFGH的內(nèi)切球O與面PQFE、面PQRS及面PEHS均相切,切點(diǎn)是各正方形的中心,也就是PF,PR,PH的中點(diǎn).所以,球O與PF,PR,PH相切(如圖8(2)).

例6六氟化硫的分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)(正八面體是每個面都是正三角形的八面體),如圖9(1)所示.若此正八面體的棱長為2,則它的內(nèi)切球的表面積為( ).

圖9

分析正八面體內(nèi)切球的球心也是正八面體的中心.正八面體的六個頂點(diǎn)可以看成正方體六個面的中心.因此,該正方體的中心也是正八面體內(nèi)切球的球心.

記正方體GHIJ-G1H1I1J1的中心為O,六個面的中心分別為A,B,C,D,E,F.由此得中心為O的正八面體ABCDEF(如圖9(1)).

引入正方體后,多面體、正方體、球之間的關(guān)系一目了然.以正方體為載體,幾何元素間的關(guān)系顯得更加清晰,相應(yīng)的計(jì)算也更加簡潔.

其實(shí),正方體在研究立幾問題中的作用是非常廣泛的.建立空間直角坐標(biāo)系是研究立幾問題常用方法,確定空間直角坐標(biāo)系時選擇的單位正交基底,其實(shí)也是正方體從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱.因此,與空間直角坐標(biāo)系一樣,正方體框架事實(shí)上是為空間圖形中不同幾何對象提供了熟悉的參照,使學(xué)生在依據(jù)直觀圖研究問題時能更好展開直觀想象.

構(gòu)建正方體是幫助學(xué)生發(fā)展直觀想象能力,提高對空間圖形認(rèn)識的一種有效措施,但教學(xué)中并不能僅停留于此.在學(xué)生能有意識地構(gòu)造正方體思考問題基礎(chǔ)上,還可引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造長方體乃至更為復(fù)雜的幾何體.這樣,學(xué)生的空間觀念便會得到更為充分的發(fā)展,直觀想象素養(yǎng)也很自然地獲得更大的提升.