立足思維培養(yǎng)的有效問(wèn)題設(shè)計(jì)的研究①
——以“三角函數(shù)的周期性”一課為例

金 鵬

(江蘇省蘇州高新區(qū)教研室 215011)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中明確指出:“基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題,引發(fā)學(xué)生思考與交流,形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”問(wèn)題總是與情境相伴而生,不論是生活情境、數(shù)學(xué)內(nèi)部情境還是科學(xué)情境,其目標(biāo)都是通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境來(lái)聯(lián)結(jié)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知心理,進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突形成問(wèn)題,促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地思考與探究.

著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”有問(wèn)題才有思考,有思考才能進(jìn)行深層學(xué)習(xí).設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈,引導(dǎo)學(xué)生思考,培養(yǎng)學(xué)生思維,這樣的教學(xué)方式已得到一線教師的廣泛認(rèn)可,但一些數(shù)學(xué)課堂中的問(wèn)題設(shè)計(jì)仍存在問(wèn)題,或比較瑣碎,或問(wèn)題窄化,或過(guò)于開(kāi)放,教師自問(wèn)自答的現(xiàn)象較為普遍.由此可見(jiàn),問(wèn)題需要設(shè)計(jì),而且需要設(shè)計(jì)有效的問(wèn)題來(lái)推動(dòng)組織教學(xué).

有效問(wèn)題是從學(xué)生當(dāng)前學(xué)習(xí)準(zhǔn)備出發(fā),依據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知水平、知識(shí)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)而提出的,是能夠促使學(xué)生積極回答并投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問(wèn)題.有效問(wèn)題應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),既能激起學(xué)生的探究欲望和學(xué)習(xí)興趣,又能讓學(xué)生愿意參與思考與交流,促進(jìn)他們獲取知識(shí),有效解決問(wèn)題,發(fā)展高階思維.有效的問(wèn)題設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)以下特征:(1)驅(qū)動(dòng)性.有效的問(wèn)題能夠銜接知識(shí)與知識(shí)之間的關(guān)聯(lián),從一個(gè)知識(shí)驅(qū)動(dòng)到另一個(gè)知識(shí),能喚起學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)中的某些思維點(diǎn)和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),激活學(xué)生的思維狀態(tài).(2)適切性.有效的問(wèn)題都應(yīng)有明確的目標(biāo),應(yīng)落在學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū),符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維特點(diǎn),貼近教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn),利于學(xué)生掌握重點(diǎn)和突破難點(diǎn).(3)發(fā)展性.有效的問(wèn)題往往著眼于學(xué)生思維的發(fā)展,讓學(xué)生處于“跳一跳,夠得到”的學(xué)習(xí)狀態(tài)中.布魯納說(shuō):“向?qū)W生提出挑戰(zhàn)性問(wèn)題,可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展智慧”.(4)任務(wù)性.有效的問(wèn)題一般都有明確的任務(wù)指向,通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)讓學(xué)生非常明確地去完成一個(gè)個(gè)任務(wù),進(jìn)而完成對(duì)知識(shí)的建構(gòu).

本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)《三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)》的第1課時(shí)“三角函數(shù)的周期性”一課為例,談?wù)剬?duì)有效問(wèn)題設(shè)計(jì)的一些思考．

1 “三個(gè)研究”是有效問(wèn)題設(shè)計(jì)的前提

1.1 研究數(shù)學(xué)——整體把握教學(xué)內(nèi)容,確保問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)性

本節(jié)課的主要內(nèi)容是周期函數(shù)的定義和正弦、余弦、正切函數(shù)的周期公式．從知識(shí)本身來(lái)看,本節(jié)課是比較簡(jiǎn)單的,即周期函數(shù)的定義和三角函數(shù)的周期公式,內(nèi)容簡(jiǎn)潔,結(jié)論簡(jiǎn)單,容易記住,并且記住后完全能夠解題.但是,數(shù)學(xué)教學(xué)不能只停留于讓學(xué)生記住結(jié)論用于解題,而應(yīng)該在知識(shí)的形成過(guò)程中進(jìn)行思維訓(xùn)練,在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

從學(xué)習(xí)單元來(lái)看,周期性與奇偶性、單調(diào)性一樣,它們均為函數(shù)的重要性質(zhì),在概念建構(gòu)過(guò)程中它們的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換保持著前后一致,最終落實(shí)到思想方法和數(shù)學(xué)觀念上的一致,這正是單元整體教學(xué)的價(jià)值體現(xiàn).同時(shí),周期性也是高中數(shù)學(xué)中的核心概念,核心概念的形成都應(yīng)成為數(shù)學(xué)抽象的良好載體,包括從數(shù)形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)予以表征等.本節(jié)課中的數(shù)學(xué)抽象可以分為四個(gè)層面:一是從日常生活中的周期現(xiàn)象概括出共同特征;二是將具體實(shí)例的共同特征抽象為函數(shù)問(wèn)題;三是對(duì)函數(shù)周期性的概念進(jìn)行符號(hào)表征;四是三角函數(shù)周期公式及代數(shù)推理．

1.2 研究學(xué)生——準(zhǔn)確理解學(xué)生學(xué)情,確保問(wèn)題的適切性

從學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備來(lái)看,本章的前兩節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)三角函數(shù)定義,三角函數(shù)線,誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí),為周期性概念的形成提供了認(rèn)知基礎(chǔ)．從學(xué)生的能力素養(yǎng)來(lái)看,一方面,他們已經(jīng)經(jīng)歷過(guò)奇偶性、單調(diào)性概念的抽象過(guò)程,已具備了進(jìn)行符號(hào)表征的方法,對(duì)“任意……,都……”等邏輯用語(yǔ)的含義有了一定程度的理解．另一方面,由于不同學(xué)生對(duì)同一概念會(huì)呈現(xiàn)不同程度的刻畫(huà)水平,加之教材中奇偶性、單調(diào)性?xún)蓚€(gè)概念的形成,都是借助于已有或具體的函數(shù)圖象特征進(jìn)行刻畫(huà),而周期性在本版教材中是先抽象后具象,學(xué)生在概念建構(gòu)時(shí)少了直觀想象的支撐,對(duì)數(shù)學(xué)抽象的能力要求會(huì)更高．

1.3 研究目標(biāo)——科學(xué)分解教學(xué)任務(wù),確保問(wèn)題的發(fā)展性

基于教材的理解和學(xué)情的考量,將本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)分解成以下任務(wù)系列:

任務(wù)1:以“周期現(xiàn)象”為問(wèn)題情境,抽象概括出“循環(huán)往復(fù)”的共同特征,并具體表述為“每間隔固定的時(shí)間,現(xiàn)象就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)”．

任務(wù)2:以“圓周上一點(diǎn)的勻速運(yùn)動(dòng)”為例,將具體情境升格為函數(shù)問(wèn)題,聚焦自變量和函數(shù)值的變化規(guī)律,將共同特征進(jìn)化為“自變量每間隔一定的量,函數(shù)值相等”．

任務(wù)3:類(lèi)比奇偶性、單調(diào)性概念形成過(guò)程中“自變量的關(guān)系、函數(shù)值的關(guān)系”的兩個(gè)維度,嘗試用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表征函數(shù)周期性的概念,注重“常數(shù)”,“任意”,“都有”等關(guān)鍵詞的理解．

任務(wù)4:按照周期函數(shù)的定義,聯(lián)想誘導(dǎo)公式,得出三類(lèi)基本三角函數(shù)的周期,了解周期的不唯一性和最小正周期的概念,并借助三角函數(shù)線予以直觀理解．

任務(wù)5:按照周期函數(shù)的定義和三類(lèi)基本三角函數(shù)的周期,會(huì)推導(dǎo)求解y=Asin(ωx+φ)類(lèi)函數(shù)的周期,并得出周期公式．能用周期公式快速求解三角函數(shù)的周期．

結(jié)合上述分析,可以將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為:

經(jīng)歷函數(shù)周期性概念的抽象過(guò)程,會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)周期性概念,理解函數(shù)周期性的實(shí)質(zhì),逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)直觀等核心素養(yǎng)．

經(jīng)歷三角函數(shù)周期公式的推導(dǎo)過(guò)程,體會(huì)函數(shù)三角函數(shù)是刻畫(huà)周期性重要數(shù)學(xué)模型,會(huì)用周期公式快速求解一般三角函數(shù)的周期．

2 立足思維培養(yǎng)的問(wèn)題設(shè)計(jì)的教學(xué)展示

(下文記錄了本課中重點(diǎn)教學(xué)片段,其中學(xué)生的回答做了適當(dāng)?shù)恼恚?

情境1:(課件演示)點(diǎn)在圓周上勻速運(yùn)動(dòng)(如圖1)．

圖1

情境2:(圖片展示)潮汐變化圖．

問(wèn)題1上述情境都體現(xiàn)了什么現(xiàn)象?有什么共同特征?你們還能再舉一些例子嗎?

生:周而復(fù)始、循環(huán)、重復(fù)出現(xiàn)．

師:能說(shuō)得具體一點(diǎn)嗎?

生:間隔一定的時(shí)間,現(xiàn)象就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)．

師:說(shuō)的很好,我們把這種現(xiàn)象叫做周期性現(xiàn)象,在我們生活經(jīng)驗(yàn)中已經(jīng)有了周期的初步概念,如情境2中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間就是一個(gè)周期．

學(xué)生找出生活中各種周而復(fù)始的現(xiàn)象:“日出日落”、“寒來(lái)暑往”、“四季輪回”、“月亮從虧到盈的變化”、“摩天輪”等．

生:今天禮拜二,7天以后還是禮拜二,再過(guò)7天,還是禮拜二．

師:這個(gè)更形象,一周7天．這里有兩個(gè)變量,一個(gè)是天數(shù),一個(gè)是周幾．那么從函數(shù)的角度,我們?nèi)绾蝸?lái)研究周期性呢?

設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)源于學(xué)生的生活及已學(xué)知識(shí)的兩個(gè)情境,共同指向于“有什么共同特征”這一問(wèn)題,讓學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)感知周期性,用自己的語(yǔ)言概括蘊(yùn)含在情境中的數(shù)學(xué)本質(zhì)．問(wèn)題1實(shí)際上是承前啟后的一個(gè)“大問(wèn)題”,在本章的章首語(yǔ)就已出現(xiàn),點(diǎn)在圓周上作勻速運(yùn)動(dòng)是貫穿本章始終的“大背景”,因此,問(wèn)題1是基于學(xué)生已有的“感受”和“直覺(jué)”而提出的,是基于已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)形成的驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題.

問(wèn)題2在情境1中,若點(diǎn)P從半徑為1的圓O上A點(diǎn)位置開(kāi)始在圓周上按逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng),每4分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一周．O點(diǎn)到地面的距離為2．設(shè)點(diǎn)P到地面的距離為y,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x分鐘,則y是x的函數(shù),記為y=f(x)．如何用函數(shù)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律呢?

留給學(xué)生一定的時(shí)間進(jìn)行自主探究,允許學(xué)生適當(dāng)?shù)慕涣饔懻?教師不要旁白,也不要提示．部分學(xué)生有結(jié)論后,展示結(jié)論并要求說(shuō)明理由．

生:我的結(jié)論是f(x)=f(x+4)．

師:你是怎樣得到的?

生:點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是“間隔固定的時(shí)間,點(diǎn)P就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)在同一位置”．對(duì)函數(shù)而言就是“自變量增加固定的長(zhǎng)度,函數(shù)值相同”．

師:你說(shuō)的“固定的長(zhǎng)度”可以表達(dá)成“固定的數(shù)量”．換句話說(shuō),就是“轉(zhuǎn)一圈后,點(diǎn)P回到了原來(lái)的位置．”

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題2旨在引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征周期性現(xiàn)象,由于學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了大量的符號(hào)語(yǔ)言,已初步形成了符號(hào)語(yǔ)言表征系統(tǒng),學(xué)生已經(jīng)具備運(yùn)用抽象的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表征數(shù)學(xué)關(guān)系的能力,因而直接設(shè)問(wèn)“如何用函數(shù)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律”,這體現(xiàn)了問(wèn)題設(shè)計(jì)的適切性.如果將問(wèn)題設(shè)問(wèn)成“你可以得到哪些結(jié)論”,像這樣的開(kāi)放設(shè)問(wèn)容易誤導(dǎo)學(xué)生去尋找周期運(yùn)動(dòng)的性質(zhì),必然沖淡學(xué)習(xí)的主題.同時(shí),這一環(huán)節(jié)中也無(wú)需設(shè)計(jì)過(guò)多瑣碎的鋪墊性問(wèn)題,旨在讓學(xué)生在一定的思維空間中進(jìn)行深層思考,從而體現(xiàn)問(wèn)題的發(fā)展性．

問(wèn)題3我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性這兩個(gè)重要的概念．現(xiàn)在我們能否用類(lèi)似的方法來(lái)刻畫(huà)函數(shù)的周期性呢?

學(xué)生獨(dú)立思考,嘗試在筆記本上寫(xiě)出“自己的表達(dá)”,再給學(xué)生一定時(shí)間進(jìn)行討論.隨后展示一部分學(xué)生的成果,共同討論,教師給予適當(dāng)引導(dǎo),讓大部分學(xué)生都能理解周期性的符號(hào)語(yǔ)言．

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題3是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象表征的驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題,驅(qū)動(dòng)學(xué)生從感性思考到理性思考,從形象表征到抽象表征的關(guān)鍵問(wèn)題.由于問(wèn)題的抽象性比較強(qiáng),要給予學(xué)生充分思考的時(shí)間,這當(dāng)中不僅要有學(xué)生獨(dú)立思考的活動(dòng),還需有同伴間進(jìn)行討論與交流的活動(dòng),并且根據(jù)學(xué)生的“思維現(xiàn)場(chǎng)”,教師作適當(dāng)?shù)奶崾九c指導(dǎo),讓學(xué)生處于“跳一跳,夠得到”的思維碰撞中．這一過(guò)程旨在讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到奇偶性、單調(diào)性和周期性這三個(gè)性質(zhì)的符號(hào)化定義的共同特征——均是從自變量的關(guān)系和函數(shù)值的關(guān)系兩個(gè)維度進(jìn)行刻畫(huà),本質(zhì)都是等式恒成立,因而也有“任意……,都……”的同一格式．實(shí)際教學(xué)時(shí),大部分學(xué)生是能夠?qū)懗鰂(x)=f(x+T),但對(duì)“任意……,都……”的理解還是存在一定的困難,這就說(shuō)明在形式化語(yǔ)言表征過(guò)程中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力還需進(jìn)一步加強(qiáng).

問(wèn)題4你能用函數(shù)周期性的定義判斷y=sinx,y=cosx,y=tanx是周期函數(shù)嗎?并指出它們的周期分別是多少?

生:因?yàn)榻K邊相同的角三角函數(shù)值相等,所以有

sin(x+2π)=sinx,cos(x+2π)=cosx,

tan(x+2π)=tanx;

按照函數(shù)周期性的定義,2π都是它們的周期．

師:有沒(méi)有其他想法或不同意見(jiàn)?

生:正切函數(shù)的周期應(yīng)該是π,因?yàn)楦鶕?jù)誘導(dǎo)公式有tan(x+π)=tanx．

師:兩位同學(xué)的結(jié)論都有道理,因?yàn)槎挤现芷诤瘮?shù)的定義,這說(shuō)明什么?

生:一個(gè)周期函數(shù)的周期不止一個(gè),如果T是f(x)的一個(gè)周期,則nT(n∈Z,n≠0)一定也是它的周期.

師:如果一個(gè)周期函數(shù)的周期存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫這個(gè)函數(shù)的最小正周期．如果不作特殊說(shuō)明,周期就是指最小正周期．

追問(wèn):正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的最小正周期分別是多少?

生:y=sinx,y=cosx最小正周期是2π,y=tanx最小正周期是π.

師:除了用定義驗(yàn)證,有沒(méi)有方法證明或驗(yàn)證嗎?

生:通過(guò)三角函數(shù)線驗(yàn)證．

師:(幾何畫(huà)板演示)觀察三角函數(shù)線的變化規(guī)律,你能從定義(符號(hào)語(yǔ)言)和圖象(圖形語(yǔ)言)直觀感受到三種三角函數(shù)的周期嗎?

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題4是一個(gè)任務(wù)性問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生完成了“是不是”——“為什么”——“是多少”的學(xué)習(xí)任務(wù).這一問(wèn)題旨在引導(dǎo)學(xué)生從周期性定義出發(fā)解釋三種函數(shù)的周期性,并借助已學(xué)知識(shí)(如誘導(dǎo)公式)來(lái)理解三種函數(shù)的周期性,加強(qiáng)周期性定義的形式化理解,再引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度(三角函數(shù)線)解決思維困惑,以此促進(jìn)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的提升.

問(wèn)題5由函數(shù)的周期性定義你能推出函數(shù)f(x)=Asinωx及f(x)=Acosωx(其中A,ω為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期嗎?

這個(gè)問(wèn)題提出后,學(xué)生陷入沉思.

師:這里采用了換元法.你能進(jìn)一步地求f(x)=Asin(ωx+φ),f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期嗎?

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題5的設(shè)計(jì)是體現(xiàn)了問(wèn)題的發(fā)展性,它是解決完問(wèn)題4后的拓展升華,也是對(duì)周期性定義更抽象的認(rèn)識(shí).問(wèn)題5的解決旨在引導(dǎo)學(xué)生回歸定義,借助整體和化歸的思想進(jìn)行形式化的推演,加深對(duì)周期性定義的理解,設(shè)計(jì)螺旋上升的問(wèn)題鏈,讓概念理解的過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)同化與順應(yīng)的過(guò)程,實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階.

3 立足思維培養(yǎng)的有效問(wèn)題設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)思考

3.1 有效問(wèn)題設(shè)計(jì)要關(guān)注學(xué)科育人的目標(biāo)

數(shù)學(xué)作為一門(mén)思維性較強(qiáng)的學(xué)科,數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和理性精神,思維培養(yǎng)在本質(zhì)上是促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的自然覺(jué)醒,通過(guò)設(shè)計(jì)有效問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生深度思考,留足學(xué)生思考問(wèn)題的時(shí)間與空間,充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程,才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中提升思維品質(zhì).

本節(jié)課的目標(biāo)之一是讓學(xué)生在問(wèn)題的思考與解決中深刻理解周期性定義的本質(zhì),提升學(xué)生抽象思維能力.這就要求在問(wèn)題的設(shè)計(jì)時(shí)要以思維能力為立意,借助知識(shí)載體設(shè)計(jì)出引發(fā)學(xué)生深度思考的問(wèn)題.從問(wèn)題1到問(wèn)題5的過(guò)程是抽象思維不斷進(jìn)階的過(guò)程,學(xué)生在整個(gè)過(guò)程中從現(xiàn)象到抽象,從情境到問(wèn)題,逐步抽象出周期性定義的本質(zhì),不斷形成對(duì)周期性定義的抽象認(rèn)知,同時(shí)也具備了運(yùn)用已有知識(shí)建構(gòu)新知識(shí)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).實(shí)際上,經(jīng)驗(yàn)與能力是不可能直接教給學(xué)生的,都需要學(xué)生在問(wèn)題解決中經(jīng)歷獨(dú)立思考、自主探究、合作交流與體驗(yàn)感悟.設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)要充分研究教學(xué)內(nèi)容,研究學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與認(rèn)知心理,進(jìn)而設(shè)計(jì)出適宜于學(xué)生思考的問(wèn)題素材.

3.2 有效問(wèn)題設(shè)計(jì)要關(guān)切思維訓(xùn)練的價(jià)值

首先,有效問(wèn)題的設(shè)計(jì)應(yīng)具有邏輯訓(xùn)練的價(jià)值.數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科,數(shù)學(xué)思維的邏輯性是數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科不同之處,只有那些環(huán)環(huán)相扣、層層深入的問(wèn)題鏈才能促使學(xué)生整體地邏輯地思考問(wèn)題.這節(jié)課的五個(gè)問(wèn)題是按照如下的邏輯設(shè)計(jì)的:研究什么問(wèn)題→怎么研究→是否有可借鑒的經(jīng)驗(yàn)→從哪些方面進(jìn)行研究→如何應(yīng)用.五個(gè)問(wèn)題的順序與知識(shí)生成的內(nèi)在邏輯一致,也與學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑一致.借助這樣有邏輯的思考,問(wèn)題與問(wèn)題之間環(huán)環(huán)相扣,將問(wèn)題串聯(lián)起來(lái)形成了一個(gè)邏輯清晰、驅(qū)動(dòng)有力的問(wèn)題系統(tǒng),通過(guò)問(wèn)題將五個(gè)任務(wù)串成了一個(gè)邏輯連貫的“任務(wù)群”,學(xué)生在“任務(wù)群”中進(jìn)行探究、思考與解決問(wèn)題,達(dá)到了訓(xùn)練思維的目標(biāo).

其次,問(wèn)題設(shè)計(jì)應(yīng)具有思維導(dǎo)引的功能.問(wèn)題1中“有何共同特征”是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題,問(wèn)題3中“如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)”是進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象時(shí)最直接的設(shè)問(wèn),這兩個(gè)問(wèn)題是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的導(dǎo)向性問(wèn)題,讓學(xué)生在問(wèn)題導(dǎo)向下不會(huì)迷失思考探究的方向.在設(shè)計(jì)問(wèn)題2和問(wèn)題4時(shí),充分考慮到思維訓(xùn)練時(shí)的“思考空間”,沒(méi)有過(guò)多地設(shè)計(jì)子問(wèn)題或鋪墊性問(wèn)題,目的就是充分讓學(xué)生自由去思考,這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和探究性思維是有積極意義的.

3.3 有效問(wèn)題設(shè)計(jì)要重視高階思維的培養(yǎng)

有效問(wèn)題設(shè)計(jì)是促進(jìn)學(xué)生高階思維發(fā)展的關(guān)鍵.教師設(shè)計(jì)一系列有思維梯度、有層次的問(wèn)題情境,將知識(shí)點(diǎn)分解成一系列相互關(guān)聯(lián)的、相對(duì)容易的“問(wèn)題串”,或是將某個(gè)問(wèn)題的解決思維和過(guò)程加以分解,成為相互關(guān)聯(lián)的“任務(wù)群”,然后通過(guò)總結(jié)各個(gè)階段的有效方法,最終獲得問(wèn)題解決的完整思維過(guò)程,進(jìn)而使學(xué)生分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維能力不斷提升.筆者認(rèn)為學(xué)生通過(guò)完成高階問(wèn)題最終形成的思維都是高階思維,這些“問(wèn)題串”和“任務(wù)群”都屬于高階問(wèn)題.教師創(chuàng)設(shè)高階問(wèn)題情境讓學(xué)生由淺入深、由易入難、前后連貫地思考問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立地分析問(wèn)題、辨別問(wèn)題并對(duì)問(wèn)題做出評(píng)價(jià)的能力,最終形成高階思維.

本節(jié)課的五個(gè)主問(wèn)題構(gòu)成了訓(xùn)練學(xué)生的思維鏈,從歸納到抽象再到概括,從表征到理解再到遷移,無(wú)一不指向培養(yǎng)學(xué)生思維的抽象性和深刻性.基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn),充分尊重學(xué)生的思維狀態(tài)來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題,并根據(jù)學(xué)生臨場(chǎng)的不同思維狀態(tài)調(diào)整教學(xué)策略.對(duì)思維空間較小的問(wèn)題,教師應(yīng)留足思考時(shí)間讓學(xué)生充分思考;對(duì)思維空間稍大的問(wèn)題,要求學(xué)生先獨(dú)立思考,嘗試表達(dá),再讓學(xué)生互相交流與討論;對(duì)于具有探索性的問(wèn)題(如問(wèn)題4),可能還需要在生生互動(dòng)、師生互動(dòng)的共同活動(dòng)中,逐步解決問(wèn)題.只有給予學(xué)生思維的時(shí)間與空間,關(guān)注學(xué)生思維的生成,適當(dāng)調(diào)整教學(xué)方式,學(xué)生才能拾級(jí)而上,形成高階思維．

數(shù)學(xué)教學(xué)要在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力上下功夫,體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的教育,培養(yǎng)學(xué)生的理性思維品質(zhì),這理應(yīng)是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要內(nèi)容之一.教學(xué)中,要通過(guò)有效的問(wèn)題設(shè)計(jì)來(lái)充分展示數(shù)學(xué)思維的本質(zhì),讓學(xué)生在問(wèn)題解決中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng),通過(guò)有效的問(wèn)題設(shè)計(jì)讓探索與發(fā)現(xiàn)在課堂上真正發(fā)生,這樣才能讓創(chuàng)新思維在課堂上真正發(fā)生.