基于情境 問題導向 思維可見①
——以蘇科版九下7.1正切第一課時為例

錢建芬

(江蘇省蘇州市吳江區(qū)實驗初級中學 215200)

數(shù)學學科是培養(yǎng)學生熟練掌握數(shù)學知識、數(shù)學思維,形成學生數(shù)學能力與數(shù)學品質(zhì)的基礎(chǔ)學科.教師在教學中創(chuàng)設(shè)真實情境,引導學生用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)生活中的問題,并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,進而用數(shù)學思維去探究、分析問題,用數(shù)學方法解決問題.那如何幫助學生走出“概念學習靠硬背、規(guī)律探究靠套路、實際應用靠刷題”學習的困境是一線數(shù)學教師關(guān)注的熱點問題.本文以九年級下冊第1課時的教學為例,談?wù)勅绾卧O(shè)置層次鮮明的探索任務(wù),滲透多元化的思維表征,促進學生的思維可視化,讓學生的經(jīng)驗成為課程教學的重要資源,在彼此影響中,不斷提升思維品質(zhì)和學習能力.

1 教學內(nèi)容與解析

本節(jié)課內(nèi)容是九年級第七章銳角三角函數(shù)的第一課時,“7.1正切”是揭示角度與數(shù)值(線段比值)的對應關(guān)系的一節(jié)概念課,與以前學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)有所不同;同時,也是首次用符號來表示的一類函數(shù).銳角三角函數(shù)是函數(shù)知識的深化和延伸,也是對直角三角形各元素之間關(guān)系的進一步探究,是三角學的學習起點.在實際教學中,正切函數(shù)概念的建立是教師教學的重點和學生學習的難點.

2 教學設(shè)計與反饋

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,喚醒思維

來源于真實生活場景的課堂教學情境,既能幫助學生反芻經(jīng)驗,暴露學生的認知盲點,又能啟發(fā)學生形成高質(zhì)量的問題,同時還有助于教師針對性地組織教學活動,激發(fā)學生學習的興趣和探討問題的欲望.在本節(jié)課教學中以探究樓梯的傾斜程度為主線,設(shè)計一組問題串,環(huán)環(huán)相扣,引導學生用頭腦中的圖式去同化當前學習的知識,在解決實際問題的過程中不知不覺地內(nèi)化新知識、掌握新技能,可謂“生其自然、成其必然”.

問題1人們在行走的過程中免不了爬坡．如圖1,你建議老年人走哪個臺階比較合適?說說你的理由?

圖1

設(shè)計意圖通過這一真實的生活場景讓學生感受臺階陡緩與其傾斜程度有關(guān),從數(shù)學的視角來看,傾斜程度可以用傾斜的角度(以下簡稱:傾角)來確定,傾角越大臺階就越陡,即把生活問題轉(zhuǎn)為數(shù)學問題,幫助學生從感性認識逐步上升到理性認識,引導學生發(fā)現(xiàn)問題,喚醒數(shù)學思維,并帶著問題深入探究.

2.2 問題導向,激活思維

在數(shù)學學習過程中,適切的問題能夠激發(fā)學生的高階思維.有質(zhì)量的問題不是停留在獲得答案,而是要讓學生能夠在研究、破解問題的過程中體會問題背后的本質(zhì),即數(shù)學的本原性知識.所以,教師在厘清數(shù)學知識的內(nèi)在邏輯的基礎(chǔ)上,幫助學生完成從情境體悟到知識感知,從具體事物到抽象概念之間的過渡,學生在體驗中內(nèi)化新知識.

問題2如圖2,你如何判斷下面的臺階哪個更陡一些?能否用適當?shù)姆椒ㄟM行描述?(準備好相應紙板模型,小組合作, 給出結(jié)論,并說明理由)

圖2

設(shè)計意圖此環(huán)節(jié)延續(xù)前面的問題,組織學生動手實踐深入探究,通過實驗操作體會用傾角大小來比較臺階坡度的陡緩,即臺階的水平寬度相同時,比較臺階的高度,圖①與圖②比較;臺階高度相同時,比較臺階的水平寬度,圖②與圖③比較;當臺階的水平寬度和高度都不相當時,比較它們之間的“比值”,圖①與圖③比較.這一過程為角度比較轉(zhuǎn)化為角邊比較搭建“橋梁”,為教學環(huán)節(jié)的自然過渡做好鋪墊工作,幫助學生形成概念的毛坯.

學生經(jīng)過生活經(jīng)驗的思考,通過測量、比較臺階的傾角角度大小來判斷(可以測量傾角的角度大小,也可以通過模板操作疊合法比較角度大小)坡度的陡緩,角度越小,坡度越小,即坡度越緩,學生因為有學習比值定義法的經(jīng)驗,自然會想到通過比較臺階的垂直高度與水平寬度的比值大小來判斷坡度陡緩.比值越大,表明臺階傾斜程度越陡.

2.3 活動操作,聚焦思維

數(shù)學知識由表層的數(shù)學內(nèi)容與深層的數(shù)學思想兩部分構(gòu)成.表層的數(shù)學內(nèi)容即平時所說的知識點,深層的數(shù)學思想對應著數(shù)學學科素養(yǎng),兩者共同促進,互為因果,缺一不可.在數(shù)學的探究過程中,注重學生的體驗:交流、合作、表達、感悟、思考和表達等,在解決問題中不斷形成問題解決的方法和積累處理問題的經(jīng)驗,并增強探究活動帶來的成功感和獲得感.

問題3如圖3,在圖2中的①③兩個臺階,你有什么發(fā)現(xiàn)?

圖3

設(shè)計意圖這一環(huán)節(jié)的設(shè)計,讓學生發(fā)現(xiàn)臺階③是臺階①向上延伸的樣態(tài),即在③中截取一個全等于①的三角形,或者在③中嵌套一個相似三角形①:把生活原型抽象為數(shù)學模型,啟發(fā)學生關(guān)注傾角和其對邊與鄰邊的比值之間的大致關(guān)系.問題探究圍繞臺階的傾斜程度展開,環(huán)環(huán)相扣,層層遞進.

學生在比較①②③三組臺階坡度陡緩時,不難發(fā)現(xiàn)最陡的臺階是②,它的垂直高度與水平寬度的比值為0.75. 而①③臺階垂直高度與水平寬度的比值都是0.5,同時將①模板與③模板重疊,發(fā)現(xiàn)它們的傾角能重合,這說明①③兩組臺階的坡度陡緩是相同的.這時,關(guān)于正切函數(shù)的數(shù)學模型已經(jīng)形成,為深入學習鋪設(shè)好了思維提升的通道.

2.4 聚焦理解,提升思維

學生個體對知識的真正掌握和理解,體現(xiàn)在自覺應用知識解決問題,形成自動化的“反射弧”.教師需要指導學生將新認知與舊認知融合,擴充其已有的認知體系,將新認知內(nèi)化為自己知識體系中的一部分.

圖4

圖5

(1)當∠A變化時,上面等式仍然成立嗎?

(2)上面等式的值隨∠A的變化而變化嗎?

設(shè)計意圖學生通過觀察與分析,操作與思考,猜想與驗證,在證明的過程中運用相似三角形的相關(guān)知識,進一步訓練學生的推理論證能力.體會到相似的直角三角形直角邊的比值隨著銳角的變化而變化,當銳角的大小確定時,比值也隨之確定,即一個銳角對應一個比值,且唯一對應.強化數(shù)(比值)與形(角度)相關(guān)的模型思想,豐富了數(shù)學模型的內(nèi)涵,引出“正切”定義水到渠成.

經(jīng)過前三個問題的探究,學生體會到斜坡傾斜的程度與邊角之間的關(guān)系,并結(jié)合圖形進行準確的表達．一是讓學生通過相似三角形性質(zhì)推理證明,如果∠A大小不變,那么其對邊與鄰邊之比值相等.二是借助幾何畫板軟件演示,讓思維活動可視.證明猜想,完成感性到理性的飛躍,讓學生體驗合理的猜想是數(shù)學教學中研究問題的方法之一.

2.5 自然生成,表達思維

在前面問題的探究中,學生形成共識:在直角三角形中,當一個銳角確定后,無論三角形的大小如何,這個直角三角形的兩直角邊比值都是一個固定值.此時教師要引導學生思維聚焦,讓學生結(jié)合數(shù)學模型學用數(shù)學語言表達他們的思維過程和思辨結(jié)果.數(shù)學表達不僅是學生數(shù)學思考走向深入的有效路徑,更是學生深度學習的重要標志.

問題5我們通過以上對圖4的研究,知道了如果銳角∠A的大小不變,那么這個角對邊和鄰邊的比值是不變的,如果銳角∠A的大小改變了,那么這個角對邊和鄰邊的比值隨之改變.請你聯(lián)系以前所學知識,數(shù)學語言來描述銳角∠A與其對邊和鄰邊的比值之間的關(guān)系.

設(shè)計意圖在直角三角形中探索一個銳角同其對邊鄰邊比值關(guān)系的過程中,學生可以體會到這種關(guān)系是對應關(guān)系.讓學生參照以前學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)表達方式來表達直角三角形中的銳角大小跟對邊與鄰邊比值之間的關(guān)系.學生會產(chǎn)生兩種表達方式,一是對邊與鄰邊比值(因變量)隨銳角(自變量)大小而變;二是銳角大小(因變量)隨對邊與鄰邊比值(自變量)而變.

追問:你能用同樣的方法寫出∠B的正切嗎?

教師不急于給出正切定義,而是組織學生做一些因果關(guān)系的拓展性討論.在深刻思辨的基礎(chǔ)上,展示正切函數(shù)的概念.即以銳角為自變量,對邊與鄰邊比值為因變量的函數(shù)關(guān)系,直指正切函數(shù)的本原,幫助學生借助數(shù)學模型形成生動的數(shù)學概念.通過正確書寫函數(shù)表達式,強化正切函數(shù)的表達式和幾何語言的表達.培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力,強化利用數(shù)形結(jié)合解決問題的意識.

3 教學思考

3.1 構(gòu)建問題階梯變式,促進學生思維進階

數(shù)學教學的意義在于促進學生數(shù)學思維的發(fā)展,激發(fā)學生深刻的思維活動需要高質(zhì)量的問題來引導.但是,教師的設(shè)問太多,沒有邏輯沒有層次,雜亂無章地堆砌,反而會使學生的思考陷入迷茫.圍繞課堂教學核心問題,由淺入深、由表及里,直指數(shù)學原問題的設(shè)問,對于學生的學習才有意義．所以,教師的設(shè)問既要符合數(shù)學知識之間的邏輯脈絡(luò),也要考慮學生認知的邏輯特點,凸顯問題的層次性和變式的階梯性,從而保障課堂教學中知識的呈現(xiàn)和技能的訓練符合學生已有認知能力,滿足學生求知的需求,讓學生的思維活動有一個跌宕起伏的過程,這才是學生需要的深度學習.

3.2 重視學生思考過程,關(guān)注學生數(shù)學表達

學生能用正確的數(shù)學語匯和圖示來表達數(shù)學概念形成的過程以及其內(nèi)涵、外延,其本質(zhì)就是思維活動“可視化”高階活動.如何做到學生有話可說,表達規(guī)范呢?教師必須堅持兩個立場.一是要有兒童立場,學生視角.基于真實情境中的實際問題解決的“問題鏈”設(shè)計,應該尊重學生的思維發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律,教師設(shè)問要“想學生所想,問學生所問”,只有這樣才能喚醒學生經(jīng)驗,激活學生思維,啟發(fā)學生思考,理解知識、內(nèi)化知識的過程中積累經(jīng)驗．二是要有學科立場,即數(shù)學學科視角.從文字語言、圖形語言和符號語言來規(guī)范學生的表達,數(shù)學語言的豐盈其本質(zhì)就是思維品質(zhì)的提升.

3.3 關(guān)注思維的“可視化”,啟發(fā)學生自我領(lǐng)悟

不論是數(shù)學概念的理解,還是數(shù)學模型的建立,都需要學生高階思維活動來支撐.而高階思維活動來源于高質(zhì)量的問題引導,高質(zhì)量的問題來自學生在真實情境中解決實際問題的過程中.所以,問題質(zhì)量與思維進階在學生核心素養(yǎng)提升中相輔相成、相得益彰.所謂 “看得見”的思維就是學生在解決實際問題過程中的觀念碰撞、經(jīng)驗分享,問題設(shè)計得越好,引發(fā)的思維越活躍,對知識的理解越深刻,形成的概念越生動.所以,教師在教學中不僅要教會學生數(shù)學知識,還要教會學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的方法,在解決問題的過程中,通過類比、遷移、綜合、演繹等思維活動,自覺認識和領(lǐng)悟數(shù)學知識的本質(zhì),提升數(shù)學核心素養(yǎng).

總之,我們的數(shù)學課堂應給予學生更多的數(shù)學理性思考,更多的數(shù)學思想方法,更多的人文精神,更多的人文關(guān)懷,這正是數(shù)學教學的理性回歸.教師在初中數(shù)學教學中應當積極開拓學生的思維,學會自己思考,使學生的思維過程顯性可見,化抽象為具體,化無形為有形,讓數(shù)學課堂真正成為學生自主探索,主動發(fā)展的天地．