尺規(guī)作圖的回歸:為何,何為

劉春書

(江蘇省南京市板橋中學(xué) 210039)

尺規(guī)作圖在初中平面幾何中的地位可以說(shuō)是“幾經(jīng)沉浮”．改革開放前對(duì)幾何作圖要求較高,改革開放后因?yàn)榱x務(wù)教育的逐步普及,一段時(shí)間內(nèi)對(duì)幾何作圖的要求逐步弱化,至2001年《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》的版本,尺規(guī)作圖的要求已經(jīng)降至最低．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》開始逐步提高對(duì)尺規(guī)作圖的要求,重新要求了解作圖的道理;《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》對(duì)尺規(guī)作圖的要求進(jìn)一步提高,小學(xué)階段就開始增加尺規(guī)作圖,初中階段基于基本作圖的簡(jiǎn)單幾何作圖要求有所提升,要求經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過(guò)程,理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法．

尺規(guī)作圖重新回歸的初心是什么?尺規(guī)作圖重新回歸后應(yīng)該怎么做?為回答上述兩個(gè)問(wèn)題,我們先從一道尺規(guī)作圖題說(shuō)起．

1 從一道尺規(guī)作圖題說(shuō)起

問(wèn)題:如圖,已知線段AB和∠D,用直尺與圓規(guī)作滿足∠ACB=∠D的所有點(diǎn)C．

1.1 理解題意,分析問(wèn)題

分析問(wèn)題,思考題目中求作什么:作滿足∠ACB=∠D的所有點(diǎn)C．與A、B兩點(diǎn)連線的夾角等于∠D的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè),它們構(gòu)成一條弧．作弧等同于作圓,需確定圓心與半徑,圓心確定則半徑確定,因此,確定圓心是關(guān)鍵．

思考作法,尺規(guī)作圖分直接作或間接作,由問(wèn)題可知本題作弧,作弧的關(guān)鍵是作圓心,直接作需研究圓心的性質(zhì);間接作需先作一個(gè)滿足條件的點(diǎn)C,連接AC、BC得△ABC,再作△ABC外接圓的圓心．

1.2 直接作圓心

如果直接作圓心,即作一個(gè)點(diǎn)O,使得∠AOB=2∠D．

思路1如圖1,假設(shè)已經(jīng)作出,畫出草圖,執(zhí)果索因,分析圓心O具有的性質(zhì)．連接AO、BO得等腰△ABO,其頂角∠AOB=2∠D,則∠A=∠B=90°-∠D,即∠D的余角,底邊AB長(zhǎng)確定,即△ABO是確定的,則圓心O可作．因此,先在∠D圖形上作出其余角,然后在線段AB上作出∠A=∠B=90°-∠D,即∠D的余角,從而作出圓心O,進(jìn)而作出所求的圓弧,作圖思路如圖2所示．

圖1

圖2

由于OA=OB,所以點(diǎn)O也在AB的中垂線上．因此,也可以由AB的中垂線與射線AO或BO相交得到圓心O．

圖3

圖4

1.3 間接作圓心

間接作圓心,即先作一個(gè)滿足條件的點(diǎn)C,從而得△ABC,再作△ABC的外心,即得所求的圓心O．要想作出一個(gè)點(diǎn)C,可以將△ABC從角或邊兩個(gè)方向特殊化,如∠A=90°或∠B=90°,又因?yàn)椤螦CB與AB確定,則△ABC確定;再如AC=BC或AB=BC、AB=AC,又因?yàn)椤螦CB確定,則△ABC確定．特殊化使得△ABC確定,從而可以作出一個(gè)特殊的點(diǎn)C．

思路3如圖5,從角的角度進(jìn)行特殊化(即強(qiáng)化角的條件),假設(shè)點(diǎn)C滿足∠ABC=90°,則∠A=90°-∠C=90°-∠D,即∠D的余角,由于∠D確定,則∠A確定,又因?yàn)椤螦BC=90°,AB確定,則△ABC確定．因此,可以在∠D圖形上作∠D的余角,再作∠CAB等于∠D的余角、CB⊥AB,從而得點(diǎn)C,最后作△ABC的外心O,作圖思路如圖6所示．

圖5

圖6

思路4如圖7,從邊的角度進(jìn)行特殊化(即強(qiáng)化邊的條件),假設(shè)存在點(diǎn)C使得AC=AB,則∠B=∠C=∠D,此時(shí),等腰△ABC腰和底角確定,則等腰△ABC確定．因此,先作∠ABC=∠D,再以A為圓心、AB長(zhǎng)為半徑作弧交∠B的另一邊,得點(diǎn)C,最后可以作出△ABC的外心O,作圖思路如圖8所示．

圖7

圖8

老子說(shuō)“道生一,一生二,二生三,三生萬(wàn)物”,其中“道生一”是從無(wú)到有的創(chuàng)造,在前面思路3、思路4中,特殊化就是“生一”的“道”,特殊化使得相關(guān)幾何元素確定,便于尺規(guī)作圖．

思路5如圖9,先在∠D的圖形中作一個(gè)線段EF,使得EF=AB,下面只需作△CAB≌△DEF,進(jìn)而可作得△ABC的外心O．

圖9

思路6如圖10,作射線AM,假設(shè)AM上存在點(diǎn)C,∠ACB=∠D,則∠B=180°-∠A-∠D,由于∠A、∠D確定,即∠CBA確定,因?yàn)锳B、∠A、∠B確定,則△CAB確定．因此,先作射線AM,然后在∠D圖中作∠PDN=∠A,再作∠ABC=∠NDT,從而得點(diǎn)C,最后作△CAB的外心O,作圖思路如圖11所示．

圖10

圖11

思路7如圖12,點(diǎn)C滿足∠ACB=∠D,且∠ACB的兩邊過(guò)定點(diǎn)A、B,可以弱化條件,先作∠AEF=∠D,∠AEF只經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,然后再通過(guò)位似變換作∠ACB既經(jīng)過(guò)點(diǎn)A也經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,從而可作得△CAB的外心O．弱化就是先滿足部分條件,再通過(guò)圖形變換逐步滿足所有條件．

圖12

1.4 實(shí)施計(jì)劃,作圖驗(yàn)證

圖13

2 尺規(guī)作圖回歸:為何

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)強(qiáng)化尺規(guī)作圖,其目的是什么,基于哪些方面的考慮?最大的考量因素就是深化新課程改革,落實(shí)核心素養(yǎng)．

2.1 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)幾何直觀,培養(yǎng)空間想象能力．幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣,通過(guò)尺規(guī)作圖等活動(dòng)感知圖形的結(jié)構(gòu)特征、感悟尺規(guī)作圖的合理性,是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的重要途徑．過(guò)去在“圖形與幾何”的教學(xué)中,有目的、有意義的動(dòng)手操作太少,因此,《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)初中階段的尺規(guī)作圖提高了要求,希望能夠引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)思圖形、設(shè)計(jì)流程、作圖驗(yàn)證的過(guò)程[2]．在上述尺規(guī)作圖的案例中,無(wú)論是直接作圓心O,還是先作一個(gè)特殊的點(diǎn)C,都是先畫草圖,然后依據(jù)草圖分析圓心O或點(diǎn)C應(yīng)具備的條件,啟發(fā)學(xué)生如何應(yīng)用基本作圖作出圓心O或點(diǎn)C,最后通過(guò)實(shí)際作圖驗(yàn)證自己的想法,在這樣的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和空間想象力．

在尺規(guī)作圖的過(guò)程中特別強(qiáng)調(diào)推理能力．推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)依據(jù)規(guī)則推出其它命題或結(jié)論的能力,其中要讓學(xué)生感悟推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種基本活動(dòng),是理解數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的主要方式．在上述尺規(guī)作圖的案例中,作圖思路的尋求需依據(jù)草圖進(jìn)行逆推分析,即執(zhí)果索因,這個(gè)過(guò)程有利于學(xué)生推理能力的發(fā)展．

2.2 培養(yǎng)問(wèn)題解決能力

PISA2022數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)框架明確了問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)推理的關(guān)系,將數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程相融合,要求學(xué)習(xí)者圍繞數(shù)學(xué)推理對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表達(dá)、應(yīng)用、闡釋與評(píng)估,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)推理貫穿解決問(wèn)題過(guò)程的始終．尺規(guī)作圖是基于推理和操作的問(wèn)題解決,教育者要充分認(rèn)識(shí)到尺規(guī)作圖是培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力的重要路徑,鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中借助尺規(guī)作圖進(jìn)行分析、判斷、驗(yàn)證、推理,尤其在問(wèn)題解決過(guò)程中遇到困難時(shí),需利用尺規(guī)作圖厘清條件,明確問(wèn)題解決的關(guān)鍵．

在上述尺規(guī)作圖案例中,學(xué)生覺(jué)得難度較大,原因有三:一是尺規(guī)作圖是從無(wú)到有的過(guò)程,需勾畫草圖,逆推分析;二是分析能力要求較高,需依據(jù)條件思考能得到哪些結(jié)論,即明確條件所得,需分析問(wèn)題思考所求作的幾何圖形應(yīng)具有哪些性質(zhì),即明確問(wèn)題所需;三是將條件所得與問(wèn)題所需進(jìn)行關(guān)聯(lián),需要基于求作的圖形構(gòu)造與之相關(guān)聯(lián)的幾何模型,再思考模型中基于條件確定的元素有哪些,最終回歸基本作圖與尺規(guī)功能進(jìn)行作圖．如上述尺規(guī)作圖案例思路3中,需先畫出符合要求的Rt△ABC,分析條件得∠D和AB是確定的,則∠D的余角即∠CAB是確定的,基于直角三角形的模型易得點(diǎn)C既在∠BAC的一邊上,又在直角∠ABC的一邊上,經(jīng)歷以上的思維過(guò)程,有利于提升學(xué)生問(wèn)題解決的能力．

2.3 建構(gòu)幾何知識(shí)體系

量子論的創(chuàng)立者、德國(guó)物理學(xué)家普朗克曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“科學(xué)是內(nèi)在的統(tǒng)一體,它被分解為單位的部門不是由于事物的本質(zhì),而是由于人類認(rèn)識(shí)能力的局限,實(shí)際上存在著從物理學(xué)到化學(xué)、人類學(xué)到社會(huì)學(xué)的連續(xù)鏈條”．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的統(tǒng)一尤為顯著,更是客觀存在的[1]．《標(biāo)準(zhǔn)》為落實(shí)核心素養(yǎng),提出課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的要求,重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化整合,探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑．

尺規(guī)作圖有利于實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化,建構(gòu)幾何知識(shí)系統(tǒng),如用尺規(guī)作角平分線,通過(guò)這個(gè)基本作圖的一題多解,可以圍繞兩角相等把平行、三角形全等、等腰三角形、菱形、等弧、三角比等知識(shí)串聯(lián)起來(lái),從而建構(gòu)如何證明兩個(gè)角相等的幾何知識(shí)體系．再如過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線,從依據(jù)等角(同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等)構(gòu)造平行,到利用角平分線與等腰三角形的組合模型構(gòu)造平行;從依據(jù)等距構(gòu)造平行,到利用相等的平行線段構(gòu)造平行,再到構(gòu)造平行四邊形;從依據(jù)中位線構(gòu)造平行,到利用線段成比例構(gòu)造平行;從依據(jù)等腰梯形構(gòu)造平行,到利用等弧或等弦構(gòu)造平行．因此,在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中基于尺規(guī)作圖思考如何建構(gòu)平行知識(shí)體系,使得知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化．

2.4 拓展幾何探究路徑

通過(guò)尺規(guī)作圖可以幫助學(xué)生感知圖形結(jié)構(gòu)特征:用尺規(guī)作出基本圖形,能夠幫助學(xué)生感悟尺規(guī)作圖的合理性及圖形的幾何特征;利用尺規(guī)作圖能夠探討幾何圖形的存在性與形狀特征．因此,尺規(guī)作圖可以幫助學(xué)生拓展幾何探究的路徑．如在教學(xué)平行四邊形內(nèi)容時(shí),可以先讓學(xué)生利用尺規(guī)作平行四邊形,學(xué)生會(huì)從邊、角、對(duì)角線等角度構(gòu)造平行四邊形,從而在作圖過(guò)程中有序探索、研究圖形的性質(zhì)及判定,學(xué)生利用條件組合作平行四邊形時(shí),有的成立有的不能成立,能成立的需要再基于作圖回到定義進(jìn)行證明,不能成立的需要用尺規(guī)作出反例．再如通過(guò)尺規(guī)作圖,在充分感悟的基礎(chǔ)上,猜想三角形全等的判斷條件,得到三角形全等判定的基本事實(shí),及用尺規(guī)作圖構(gòu)造全等的反例．在上述尺規(guī)作圖案例中,各種思路充分體現(xiàn)特殊化(強(qiáng)化)、減少滿足的條件(弱化)、用數(shù)量刻畫(量化)的探究思路,進(jìn)而拓展了幾何探究的路徑．

3 尺規(guī)作圖回歸“要位”,何為

《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)化尺規(guī)作圖,下面有必要思考尺規(guī)作圖該如何教學(xué)?

3.1 理解作圖依據(jù)確保想得深

尺規(guī)作圖的教學(xué)要讓學(xué)生逐步感悟尺規(guī)作圖的依據(jù)是“相似”,其中全等也是相似,確保學(xué)生想得深．首先,五種基本作圖包括作一條線段等于已知線段、作一個(gè)角等于已知角、作已知線段的垂直平分線、作已知角的角平分線、過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線,其原理皆為全等,其中多為全等變換中的軸對(duì)稱變換．其次,較難的尺規(guī)作圖問(wèn)題需要分解問(wèn)題,逐步實(shí)施,經(jīng)常先確保滿足部分要求,再通過(guò)位似變換、旋轉(zhuǎn)變換、平移變換改變大小或位置,進(jìn)而滿足作圖要求,如上述尺規(guī)作圖案例中思路5、7,其中思路7就需基于位似進(jìn)行作圖,要先滿足形狀相似再進(jìn)行位似變換,進(jìn)而改變其大小與位置使所作圖滿足條件．

3.2 感悟如何思考確保想得到

尺規(guī)作圖的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)思圖形、設(shè)計(jì)流程、作圖驗(yàn)證的過(guò)程,感悟如何思考,確保學(xué)生想得到．首先要理解題意,分析問(wèn)題,畫出草圖,就是假設(shè)存在,實(shí)現(xiàn)從無(wú)到有;然后利用草圖,聯(lián)想、思考與求作圖形相關(guān)的基本模型有哪些,明確建構(gòu)模型的關(guān)鍵點(diǎn),并思考該關(guān)鍵點(diǎn)應(yīng)具有哪些性質(zhì),再依據(jù)條件分析模型中確定的點(diǎn)、線、角、形有哪些,將兩者進(jìn)行關(guān)聯(lián);接著實(shí)施計(jì)劃,作圖驗(yàn)證,即再次分析條件,從宏觀到微觀思考先畫什么再畫什么,然后依序作圖;最后,基于操作進(jìn)行推理證明,將每一步操作都轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,再基于以上數(shù)量關(guān)系進(jìn)行推理論證．上述尺規(guī)作圖的思考過(guò)程其實(shí)與波利亞的解題表是一致的,波利亞的解題表提出解題要經(jīng)歷理解題意、擬定計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧反思的過(guò)程[3]．

3.3 關(guān)聯(lián)基本模型與尺規(guī)功能確保想得準(zhǔn)

尺規(guī)作圖的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想基本模型,充分發(fā)揮尺規(guī)功能,確保學(xué)生想得準(zhǔn)．構(gòu)成圖形的最基本的元素是點(diǎn),尺規(guī)作圖問(wèn)題一般最終都可以轉(zhuǎn)化為作一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．作關(guān)鍵點(diǎn)通常需要先回歸基本模型,基本模型分為兩大類,一類是五個(gè)基本作圖,另一類是由基本作圖組成的復(fù)合作圖,比如過(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線、過(guò)一點(diǎn)作已知圓的切線、作定邊定角的軌跡、利用平行線作分成比例線段、作已知兩條線段的比例中項(xiàng)等等．作關(guān)鍵點(diǎn)通常還需回歸尺規(guī)功能,尺規(guī)作圖的教學(xué)要讓學(xué)生體會(huì)直尺與圓規(guī)的功能,直尺功能是作直線,確定方向,圓規(guī)的功能是作弧線,截相等線段或構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)．比如作角平分線、過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線等等都是先作一對(duì)對(duì)稱點(diǎn),再作對(duì)稱軸上的兩點(diǎn),最后兩點(diǎn)確定一條直線,即為對(duì)稱軸．

3.4 實(shí)施“三化”思考確保想得妙

尺規(guī)作圖的教學(xué)要讓學(xué)生增強(qiáng)“三化”構(gòu)圖的意識(shí),確保想得妙．尺規(guī)作圖思考的策略往往分為兩大類．一類是從有到有,就是基于基本模型進(jìn)行作圖;另一類是從無(wú)到有,就是心中沒(méi)有基本模型,先作草圖,進(jìn)行執(zhí)果索因分析,如果確定關(guān)鍵點(diǎn)的性質(zhì)存在困難,此時(shí)需要三化,就是量化、強(qiáng)化、弱化．量化就是基于確定元素,把未知的線段和角用確定的量刻畫,借助模型進(jìn)行尺規(guī)作圖,如上述案例中的思路2;強(qiáng)化就是在問(wèn)題解決的過(guò)程中,滿足條件的點(diǎn)或線很多,可以嘗試將其特殊化,這樣讓相關(guān)幾何元素?cái)?shù)量確定,從而尺規(guī)可作,如上述案例中的思路3、4、5、6;弱化就是求作的圖形滿足多個(gè)條件時(shí),先作出滿足部分條件的圖形,研究此圖與求作圖形之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),然后再采用位似構(gòu)圖或旋轉(zhuǎn)相似構(gòu)圖等作出所求圖形,如上述案例中的思路7．量化、強(qiáng)化、弱化的本質(zhì)是將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為學(xué)生已能解決的問(wèn)題．