從克拉維斯的《幾何原本》注看數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新

汪曉勤

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

在創(chuàng)新意識(shí)成為核心素養(yǎng)、拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)備受關(guān)注、人工智能(如Chat GPT)對(duì)學(xué)校教育提出挑戰(zhàn)的今天,人們開(kāi)始倡導(dǎo)數(shù)學(xué)“留白創(chuàng)造式”教學(xué)[1],即立足立德樹(shù)人的教育根本任務(wù),為學(xué)生自主學(xué)習(xí)、創(chuàng)獲新知提供足夠思維空間和探究機(jī)會(huì)的教學(xué)方式.那么,如何通過(guò)課堂留白來(lái)引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新?本文以16世紀(jì)德國(guó)著名數(shù)學(xué)家克拉維斯(C. Clavius, 1538-1612)《幾何原本》注[2]中的部分內(nèi)容為例,總結(jié)數(shù)學(xué)家完成創(chuàng)新工作時(shí)所運(yùn)用的策略,為留白創(chuàng)造式教學(xué)的實(shí)施提供思想啟迪.

1 新命題的發(fā)現(xiàn)

《幾何原本》命題Ⅰ.16稱(chēng):“在任意三角形中,若延長(zhǎng)一邊,則外角大于任一內(nèi)對(duì)角.”該命題對(duì)于四邊形成立嗎?如圖1所示,考察矩形、一般平行四邊形、梯形、含三個(gè)鈍角的四邊形,外角大于所有不相鄰內(nèi)角的結(jié)論并不成立.

圖1 一些四邊形

克拉維斯構(gòu)造了一個(gè)外角大于所有不相鄰內(nèi)角的四邊形,據(jù)此得到一個(gè)新的命題.如圖2,四邊形ABCD中,∠ABC為鈍角,∠BAD為直角,BA與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,則外角DCE分別大于三個(gè)不相鄰的內(nèi)角.即

圖2 含有兩個(gè)鈍角和一個(gè)直角的四邊形

圖3 等底等高或同底等高的梯形之間的關(guān)系

命題1若四邊形的一個(gè)內(nèi)角為直角,其對(duì)角為銳角,則該銳角的鄰補(bǔ)角大于所有不相鄰的三個(gè)內(nèi)角.

《幾何原本》第一卷給出以下四個(gè)命題:

命題Ⅰ.35:同底且位于同樣兩條平行線之間的平行四邊形相等;

命題Ⅰ.36:等底且位于同樣兩條平行線之間的平行四邊形相等;

命題Ⅰ.37:同底且位于同樣兩條平行線之間的三角形相等;

命題Ⅰ.38:等底且位于同樣兩條平行線之間的三角形相等.

克拉維斯則提出了兩個(gè)梯形之間的關(guān)系:

命題2同底、位于同樣兩條平行線之間且相對(duì)的底相等的梯形相等;

命題3等底、位于同樣兩條平行線之間且相對(duì)的底相等的梯形相等.

利用命題Ⅰ.37和Ⅰ.38可證明命題2,利用命題Ⅰ.38可證明命題3.

《幾何原本》命題Ⅰ.43指出:“在任意平行四邊形中,位于對(duì)角線兩端的兩個(gè)平行四邊形的補(bǔ)形相等.”如圖4,歐幾里得考慮的對(duì)角線兩端的平行四邊形具有一個(gè)公共頂點(diǎn)(位于對(duì)角線上),克拉維斯則考慮了兩個(gè)平行四邊形沒(méi)有公共頂點(diǎn)的情形,進(jìn)而提出新的命題.如圖5,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)I和J位于對(duì)角線AC上,四邊形AKJL和IHCF均為平行四邊形,則余形KBHIJ(或KBHM)和LJIFD(或LNFD)相等,由此可得

圖4 《幾何原本》命題Ⅰ.43

圖5 命題Ⅰ.43的推廣

圖6 命題Ⅲ.22的逆命題

命題4在任意平行四邊形中,位于對(duì)角線兩端、且沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)平行四邊形的補(bǔ)形相等.

《幾何原本》命題Ⅲ.22稱(chēng):“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角之和等于兩直角.”克拉維斯則證明了該命題的逆命題:

命題5在四邊形中,如果對(duì)角之和等于兩直角,則過(guò)任意三個(gè)頂點(diǎn)的圓也經(jīng)過(guò)第四個(gè)頂點(diǎn).

克拉維斯采用了反證法:已知四邊形ABCD的對(duì)角之和為兩直角,假設(shè)頂點(diǎn)D不在經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A、B、C的圓上(位于圓內(nèi)或圓外),則在圓上取一點(diǎn)E,于是由命題Ⅲ.22可得∠B+∠E等于二直角,從而∠E=∠D或∠D′,這是不可能的.

2 新方法的運(yùn)用

《幾何原本》命題I.32稱(chēng):“在任意三角形中,如果延長(zhǎng)一邊,則外角等于兩個(gè)內(nèi)對(duì)角之和,且三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于二直角.”公元5世紀(jì),古希臘哲學(xué)家普羅克拉斯(Proclus)證明:n邊形的所有內(nèi)角之和等于(2n-4)×90°.如圖7所示,普羅克拉斯從n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作對(duì)角線,將多邊形分割成n-2個(gè)三角形,從而得出結(jié)論.克拉維斯則在n邊形內(nèi)部任取一點(diǎn),連結(jié)該點(diǎn)與各頂點(diǎn),將多邊形分割成n個(gè)三角形,從而得出結(jié)論.如圖8所示.這種證明更能為學(xué)生所理解.

圖7 普羅克拉斯的證明

圖8 克拉維斯的證明

《幾何原本》命題I.47就是著名的畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理):“在直角三角形中,直角所對(duì)邊上的正方形等于直角邊上正方形之和.”如圖9所示,歐幾里得以全等三角形為媒介,證明正方形AFEC和BCHG的面積分別等于長(zhǎng)方形AIKD和DKJB,從而得出結(jié)論.

圖9 歐幾里得關(guān)于勾股定理的證明

利用《幾何原本》之前已經(jīng)出現(xiàn)的有關(guān)命題,克拉維斯給出了兩種全新的證明.

證法1:如圖10,分別在Rt△ABC的兩條直角邊AC和BC上作正方形ACEF和BCHG,延長(zhǎng)FE和GH,交于點(diǎn)K.連結(jié)KC并延長(zhǎng),交AB于點(diǎn)D.分別過(guò)點(diǎn)A和B作AB的垂線,交FK和GK于點(diǎn)I和J,連結(jié)IJ.易證:Rt△AIF≌Rt△CKE≌Rt△ABC,Rt△JBG≌Rt△KCH≌Rt△ABC,故知四邊形AIJB為正方形,且AI∥DK∥BJ.利用命題I.35得

圖10 勾股定理新證之一

S□ACEF=S=S?AILD,S□BCHG=S=S?BJLD,

故得

S□ACEF+S□BCHG=S?AILD+S?BJLD=S□AIJB.

與歐幾里得不同,克拉維斯在Rt△ABC的斜邊AB的同側(cè)作三個(gè)正方形,并以平行四邊形為正方形和長(zhǎng)方形之間的媒介,得出結(jié)論.

證法2:如圖11,同證法1,分別在Rt△ABC的兩條直角邊AC和BC上作正方形ACEF和BCHG,過(guò)點(diǎn)A和B作AB的垂線,分別與FE的延長(zhǎng)線和GH交于點(diǎn)I和J,連結(jié)IJ.過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線,分別與AB和IJ交于點(diǎn)D和K,連結(jié)CI和CJ.利用命題I.41得

圖11 勾股定理新證之二

S□ACEF=2S△ACI=S?AIKD,

S□BCHG=2S△BCJ=S?BJKD,

故得

S□ACEF+S□BCHG=S?AIKD+S?BJKD

=S□AIJB.

這里,克拉維斯在Rt△ABC的斜邊AB的同側(cè)作三個(gè)正方形,并以三角形為正方形和長(zhǎng)方形之間的媒介,得出結(jié)論,證明過(guò)程更加簡(jiǎn)潔.

克拉維斯還用同樣的方法證明了帕普斯命題(勾股定理的推廣):如圖12(1),在任意三角形ABC的兩腰AC和BC上分別作平行四邊形ACEF和BCHG,FE和GH的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)K,連結(jié)KC并延長(zhǎng),交底邊AB于點(diǎn)D.分別過(guò)點(diǎn)A和B作DK的平行線,交FE和GH于點(diǎn)I和J,則平行四邊形AIJB的面積等于平行四邊形ACEF和BCHG的面積之和.如圖12(2)和12(3),利用《幾何原本》命題I.35,克拉維斯分別以平行四邊形ACKI和BCKJ為媒介,建立平行四邊形ACEF和AILD、平行四邊形BCHG和BJLD之間的等面積關(guān)系.

圖12 克拉維斯關(guān)于帕普斯命題的證明

3 新課題的研究

人們很容易將“等邊多邊形”和“等角多邊形”混為一談,“等邊”和“等角”是否等價(jià)?《幾何原本》第四卷中有如下作圖問(wèn)題:

命題Ⅳ.11:作已知圓的內(nèi)接等邊且等角的五邊形;

命題Ⅳ.12:作已知圓的外切等邊且等角的五邊形;

命題Ⅳ.15:作已知圓的內(nèi)接等邊且等角的六邊形;

命題Ⅳ.16:作已知圓的內(nèi)接等邊且等角的十五邊形.

可見(jiàn),“等邊”和“等角”是不同的條件,否則只要說(shuō)“等邊”或“等角”即可.克拉維斯敏銳地捕捉到兩者的差別,并作了深入的研究.他首先證明:

命題6圓內(nèi)接等邊多邊形必是等角的.

如圖13,若圓內(nèi)接多邊形是等邊的,則以各邊為底、圓心為頂點(diǎn)的等腰三角形兩兩全等,因而它們的底角兩兩相等,從而各內(nèi)角兩兩相等.

圖13 圓內(nèi)接等邊多邊形

圖14 圓內(nèi)接等角多邊形

那么,一個(gè)圓內(nèi)接等角多邊形滿(mǎn)足什么條件才同時(shí)是等邊的呢?克拉維斯接著證明了三個(gè)命題:

命題7邊數(shù)為奇數(shù)的圓內(nèi)接等角多邊形是等邊的.

命題8邊數(shù)為偶數(shù)、但有兩條鄰邊相等的圓內(nèi)接等角多邊形是等邊的.

命題9邊數(shù)為偶數(shù)、但在兩條等邊之間有偶數(shù)條邊的圓內(nèi)接等角多邊形是等邊的.

克拉維斯接著證明:

命題10圓外切等角多邊形必是等邊的.

如圖15,若圓外切多邊形是等角的,則以各邊為底、圓心為頂點(diǎn)的三角形均為等腰三角形,且它們兩兩全等,因而各邊兩兩相等.

圖15 圓外切等角多邊形

圖16 圓外切等邊多邊形

那么,一個(gè)圓外切等邊多邊形滿(mǎn)足什么條件才同時(shí)是等角的呢?克拉維斯接著證明了三個(gè)命題:

命題11角數(shù)為奇數(shù)的圓外切等邊多邊形是等角的.

命題12角數(shù)為偶數(shù)、但有兩個(gè)鄰角相等的圓外切等邊多邊形是等角的.

命題13角數(shù)為偶數(shù)、但在兩個(gè)等角之間有偶數(shù)個(gè)角的圓外切等邊多邊形是等角的.

4 討論

以上我們看到,克拉維斯在注釋歐幾里得的命題時(shí),發(fā)現(xiàn)了新命題、新方法和新課題.那么,他又是如何在傳承中作出創(chuàng)新的呢?愛(ài)因斯坦(A.Einstein, 1879-1955)曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決該問(wèn)題更重要.解決一個(gè)問(wèn)題,可能只不過(guò)是一種數(shù)學(xué)或?qū)嶒?yàn)技能;但要提出新的問(wèn)題、新的可能性,從新視角看舊問(wèn)題,需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力,這標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步.”[3]正是由于能夠提出新的問(wèn)題、猜想新的可能性以及從新視角看舊問(wèn)題,克拉維斯才能做出創(chuàng)新工作.

4.1 發(fā)現(xiàn)新命題的策略

克拉維斯采用了兩種發(fā)現(xiàn)新命題的策略.第一種策略是“否定屬性”.雖然美國(guó)學(xué)者布朗和華爾特于20世紀(jì)80年代提出這種策略[4],但實(shí)際上它在歷史上早已有之.克拉維斯在《幾何原本》命題的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新命題的基本流程如圖17所示.

圖17 克拉維斯發(fā)現(xiàn)新命題的過(guò)程

《幾何原本》命題I.16可以重新表述為:“若一個(gè)多邊形的邊數(shù)為3,則其任一外角均大于其不相鄰的內(nèi)角.”該命題所蘊(yùn)含的部分屬性是:(1)多邊形的邊數(shù)為3;(2)研究的目標(biāo)是多邊形的外角與不相鄰內(nèi)角之間的大小關(guān)系.克拉維斯否定屬性1而保留屬性2,即提出問(wèn)題:如果邊數(shù)不是3,結(jié)果又如何?將多邊形的邊數(shù)改為4,對(duì)外角和內(nèi)角的關(guān)系進(jìn)行探究,就得到新命題1.

命題I.35可以重新表述為:“若兩個(gè)平行四邊形具有相同的底邊,且位于同樣兩條平行線之間,則兩者面積相等.”該命題所蘊(yùn)含的部分屬性是:(1)研究對(duì)象為兩個(gè)平行四邊形;(2)它們有一條公共底邊;(3)它們位于兩條平行線之間;(4)研究的目標(biāo)是面積關(guān)系.克拉維斯否定屬性1而保留屬性2-4,即提出問(wèn)題:如果不是平行四邊形,結(jié)果又如何?將平行四邊形換成“梯形”這一新屬性,克拉維斯得到新命題2.類(lèi)似地,改變命題I.36的一個(gè)屬性提出新問(wèn)題,對(duì)問(wèn)題的探究導(dǎo)致新命題3的發(fā)現(xiàn).

命題I.43可以重新表述為:“在任意平行四邊形中,過(guò)對(duì)角線上任意一點(diǎn),作兩條鄰邊的平行線,則位于該對(duì)角線兩端的兩個(gè)平行四邊形的補(bǔ)形相等.”該命題蘊(yùn)含的部分屬性是:(1)已知的多邊形是平行四邊形;(2)所取的點(diǎn)在對(duì)角線上;(3)所取的點(diǎn)數(shù)為1,或?qū)蔷€兩端的兩個(gè)平行四邊形具有一個(gè)公共頂點(diǎn);(4)研究的目標(biāo)是兩個(gè)補(bǔ)形之間的關(guān)系.克拉維斯否定屬性3,提出問(wèn)題:若在對(duì)角線上所取點(diǎn)數(shù)不是1,或者對(duì)角線兩端的兩個(gè)平行四邊形沒(méi)有公共頂點(diǎn),則結(jié)果又將如何?對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行探究,導(dǎo)致新命題4的發(fā)現(xiàn).

第二種策略是“互換屬性”,即將原命題中的條件和結(jié)論互換,探究逆命題是否成立,從而發(fā)現(xiàn)新命題.在《幾何原本》中,歐幾里得同時(shí)給出了部分原命題及其逆命題,如“大邊對(duì)大角”(命題I.18)和“大角對(duì)大邊”(命題I.19),勾股定理(命題I.47)及其逆定理(命題I.48),“等邊對(duì)等角”(命題I.5)和“等角對(duì)等邊”(命題I.6),等等.但在很多命題的逆命題上,他為后人留了白,命題Ⅲ.22就是克拉維斯補(bǔ)白的結(jié)果.

實(shí)際上,我們可以證明歐幾里得很多命題的逆命題也是成立的.仍以命題I.16為例,將命題的條件與結(jié)論互換,得到新命題:“如果平面凸多邊形的任意一個(gè)外角均大于其不相鄰的內(nèi)角,那么該多邊形為三角形.”設(shè)A1A2…An為一平面凸n邊形,每一個(gè)內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的外角大小分別記為α1,α2,…,αn,由αi>Aj(i=1, 2, …,n,j=1, 2, …,n,j≠i)得

(n-1)α1>A2+A3+…+An,

(n-1)α2>A1+A3+…+An,

……

(n-1)αn>A1+A2+…+An-1,

諸式相加得

(n-1)(α1+α2+…+αn)

>(n-1)(A1+A2+…+An),

即

2π>(n-2)π,

于是得

n<4,

故得n=3.

4.2 發(fā)現(xiàn)新方法的策略

克拉維斯發(fā)現(xiàn)新方法的策略是“更換步驟”,如圖18所示.

圖18 克拉維斯發(fā)現(xiàn)新方法的過(guò)程

關(guān)于n邊形內(nèi)角和定理,普羅克拉斯證明的第一步是過(guò)多邊形的某個(gè)頂點(diǎn),用對(duì)角線將其分割為n-2個(gè)三角形,若不用對(duì)角線來(lái)分割多邊形,結(jié)果會(huì)如何呢?克拉維斯用多邊形內(nèi)部一點(diǎn)和諸頂點(diǎn)的連線代替對(duì)角線,得到了新的證明方法.

類(lèi)似地,在勾股定理的證明中,歐幾里得的第一步是根據(jù)命題I.46分別在直角三角形三邊的外側(cè)作正方形,即斜邊上的正方形與直角邊上的兩個(gè)正方形分別位于斜邊的兩側(cè),若斜邊上的正方形與直角邊上的兩個(gè)正方形不位于斜邊的同側(cè),結(jié)果會(huì)如何?圖19呈現(xiàn)了三個(gè)正方形的8種不同作法,歐幾里得選擇了第一種,而克拉維斯則選擇了第二種.

圖19 直角三角形三邊上正方形的不同作法

隨著證明第一步的改變,第二步中的溝通正方形和長(zhǎng)方形的媒介也發(fā)生了改變,兩者不同的媒介對(duì)應(yīng)了克拉維斯的兩種新證明.

如果選擇第三和第四種作圖法,可以得到中國(guó)晚清數(shù)學(xué)家華蘅芳(1833-1902)的兩種證明,如圖20所示.

圖20 華蘅芳關(guān)于勾股定理的兩種證明

4.3 發(fā)現(xiàn)新課題的策略

克拉維斯在《幾何原本》基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新課題的策略是“傾聽(tīng)古人”,這種策略可以分解為四步:傾聽(tīng)、質(zhì)疑、設(shè)問(wèn)和探究.

對(duì)于平面凸多邊形,歐幾里得很清楚“等邊”和“等角”是不等價(jià)的.他在第1卷中定義了等角不等邊的四邊形(矩形)和等邊不等角的四邊形(菱形),由此很容易發(fā)現(xiàn),圓內(nèi)接等角四邊形不一定是等邊的,圓外切等邊四邊形不一定是等角的,如圖21所示.因此,歐幾里得在第四卷的相關(guān)命題中,始終將“等邊”和“等角”這兩個(gè)條件并列.這是克拉維斯“傾聽(tīng)古人”所獲得的信息.但“等邊”和“等角”真的毫無(wú)關(guān)系嗎?這是克拉維斯的質(zhì)疑.有了質(zhì)疑,克拉維斯就提出了具體的問(wèn)題:在什么條件下等邊多邊形一定是等角的?在什么條件下等角多邊形一定是等邊的?于是,一個(gè)新的課題誕生了.

圖21 從圓內(nèi)接矩形和圓外切菱形看等邊和等角的不同

在《幾何原本》命題中尋找歐幾里得默認(rèn)而未曾作過(guò)證明的結(jié)論,據(jù)此展開(kāi)深入研究,得到許多新的命題.“等邊”和“等角”的關(guān)系是歐幾里得為后世留下的十分精彩的課題.

5 結(jié)語(yǔ)

克拉維斯發(fā)現(xiàn)新命題、新方法和新課題的策略為留白創(chuàng)造式教學(xué)提供了參照.

首先,從克拉維斯的注解中,可以發(fā)現(xiàn)《幾何原本》所蘊(yùn)含的若干留白形式:發(fā)現(xiàn)之白、論證之白、方法之白和問(wèn)題之白,這些形式為教師在課堂上留什么白提供了參照:可以為學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知、論證命題、運(yùn)用新法和提出問(wèn)題提供思維空間和探究機(jī)會(huì).

其次,從克拉維斯的注解中,可以發(fā)現(xiàn)若干具體的留白策略:否定屬性、互換屬性、更換步驟、傾聽(tīng)古人,這些策略為教師在課堂上如何留白提供了參照:毫無(wú)線索的留白可能導(dǎo)致“白留”,而有線索的留白則更為高效,可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“傾聽(tīng)”策略去補(bǔ)“發(fā)現(xiàn)之白”,運(yùn)用“否定屬性”和“互換屬性”去補(bǔ)“問(wèn)題之白”,運(yùn)用“更換步驟”策略去補(bǔ)“方法之白”.

讀史讓我們發(fā)現(xiàn)留白有形,悟史讓我們發(fā)現(xiàn)留白有方.這正印證了數(shù)學(xué)家M·克萊因(M. Kline, 1908-1992)的名言:“數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南.”