略論概率統(tǒng)計教材的整體把握

鄭達(dá)藝

(福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部 350025)

比較人教A版《普通高中實驗教科書·數(shù)學(xué)》(簡稱“舊教材”)與《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(簡稱“新教材”)中概率統(tǒng)計的內(nèi)容[1,2,3,4],發(fā)現(xiàn)它們有以下幾處不同:

(1)在古典概型部分,新教材引入“樣本空間”概念,而舊教材沒有這個概念.在舊教材中,需要應(yīng)用樣本空間概念時,采用舉例說明的方式,如說明事件的關(guān)系與運算時,通過擲骰子試驗給予說明.

(2)對于隨機(jī)變量的概念,新教材的定義是:“一般地,對于隨機(jī)試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω,都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng),我們稱X為隨機(jī)變量”;舊教材則先舉擲骰子和擲硬幣的例子,再定義“像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量”.

(3)對于二項分布的引入,舊教材通過介紹擲n次硬幣的試驗引入二項分布;而新教材先介紹n重伯努利試驗,再進(jìn)一步介紹二項分布.

(4)在統(tǒng)計學(xué)部分,舊教材主要介紹隨機(jī)抽樣和用樣本估計總體,新教材先系統(tǒng)介紹數(shù)據(jù)整理和數(shù)據(jù)分析,再進(jìn)一步介紹隨機(jī)抽樣和用樣本估計總體;對于線性回歸分析,舊教材直接給出線性回歸方程及其計算,再給出殘差分析,新教材先從散點圖給出相關(guān)系數(shù),再進(jìn)一步給出線性回歸方程及最小二乘法估計參數(shù),最后給出殘差分析.

從這些比較中可以發(fā)現(xiàn),舊教材在概率與統(tǒng)計部分往往不追求概念的嚴(yán)格定義,有時對知識的引入也缺乏必要的鋪墊,從而影響學(xué)生對知識的理解.新教材旨在使概率統(tǒng)計的知識系統(tǒng)化和加強(qiáng)知識的邏輯基礎(chǔ),以防止出現(xiàn)知識的碎片化,夯實知識的邏輯根基.以下我們從概率論和統(tǒng)計學(xué)兩個方面出發(fā),指出高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備的學(xué)科素養(yǎng),以引導(dǎo)教師加強(qiáng)對教材的整體把握,加深對教材的深入理解,幫助教師做好高中概率統(tǒng)計的教學(xué)工作.

1 整體視野下高中教師必備的概率論學(xué)科素養(yǎng)

“概率”概念的引入,就是希望用數(shù)學(xué)方法度量和研究這些不確定的事物,即概率論就是用數(shù)學(xué)方法研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門學(xué)問[5],因此,整體上系統(tǒng)把握概率知識、理解處理隨機(jī)現(xiàn)象問題的邏輯基礎(chǔ)和會運用概率模型解決問題是高中數(shù)學(xué)教師必備的概率論方面的學(xué)科素養(yǎng).

1.1 概率論知識的螺旋上升與系統(tǒng)化

(1)概率概念的螺旋上升與系統(tǒng)化

小學(xué)階段,根據(jù)學(xué)生的思維品質(zhì)和心理特征,從形象直觀的角度引進(jìn)概率,把對事件發(fā)生可能性大小的度量稱作概率,這樣定義能使學(xué)生形象地理解概率是什么,適合小學(xué)生的學(xué)習(xí)特點,但小學(xué)對概率的定義是定性的,而不是定量的,因而不利于概率的計算.因此初中階段在小學(xué)的概率定義的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步介紹頻率與概率的關(guān)系,通過隨機(jī)試驗,總結(jié)歸納出概率是頻率的穩(wěn)定值.高中階段,再次把隨機(jī)事件的概率定義為頻率的穩(wěn)定值,且除了通過拋硬幣試驗進(jìn)行說明外,同時還從伯努利大數(shù)定律角度進(jìn)行說明.大學(xué)階段,則借助測度論的理論,基于樣本空間給出概率的公理化定義,定義概率是以隨機(jī)事件為自變量且滿足非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性的集函數(shù).事實上,概率的頻率定義和概率的公理化定義,兩者具有連貫性及一致性,因為頻率也具有非負(fù)性、規(guī)范性、有限可加性的性質(zhì);并且這兩種定義本質(zhì)上都是把概率看成是隨機(jī)事件的固有屬性,因此可以把公理化定義看成是頻率定義的發(fā)展和完善,從概率定義出發(fā)借助演繹推理可得到概率論的所有數(shù)學(xué)化的結(jié)論.

(2)概率計算的螺旋上升與系統(tǒng)化

對于概率的計算問題,初中階段主要采用列舉法、列表法及樹形圖的方法求古典概型的概率.高中階段面對更加復(fù)雜的隨機(jī)現(xiàn)象,新教材引入樣本空間的概念.引入樣本空間的概念,其一是使得隨機(jī)事件與樣本點的集合(樣本空間的子集)一一對應(yīng),通過類比集合之間的關(guān)系和運算得到隨機(jī)事件的關(guān)系與運算,以此為基礎(chǔ)給出概率的重要性質(zhì),為求復(fù)雜隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)事件的概率做準(zhǔn)備;其二是通過樣本空間的引入可以證明古典概型的計算公式,據(jù)此只要找出樣本空間及所求隨機(jī)事件對應(yīng)的子集,概率便可以輕松求解出來,這是對初中列舉法、列表法求古典概型概率方法的深化和升華.在此基礎(chǔ)上,基于條件概率和乘法公式得出全概率公式和貝葉斯公式,對于分類情況的概率計算,全概率公式相對初中樹形圖方法更為方便、簡潔、普遍.高中階段的選擇性必修進(jìn)一步引進(jìn)隨機(jī)變量,通過隨機(jī)變量的定義可把隨機(jī)事件數(shù)量化,再根據(jù)隨機(jī)變量取值特點將其分為離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)變量(一般研究連續(xù)型隨機(jī)變量).對于離散型隨機(jī)變量,主要研究它們的常見概型及其分布列;對于連續(xù)型隨機(jī)變量,主要研究它們的常見概型及其密度函數(shù),還可以進(jìn)一步利用微積分工具對它們的密度函數(shù)和分布函數(shù)進(jìn)行研究.這也是對前面概率計算的進(jìn)一步升華,例如把古典概型中的n重伯努利概型作為離散型的二項分布進(jìn)行研究,把幾何概型作為連續(xù)型的均勻分布進(jìn)行研究.

1.2 把握處理隨機(jī)現(xiàn)象問題的邏輯依據(jù)

這樣,對于古典概型的概率計算問題,根據(jù)古典概型的概率計算公式,由樣本空間求隨機(jī)事件的概率問題,就變成了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)計算問題.以下我們看一個實例.

例1一個家庭中有兩個小孩,已知其中一個是女孩,問另一個也是女孩的概率是多少?(假定生男生女是等可能的)

解根據(jù)題意,樣本空間為

Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)};

B表示事件“至少有一個是女孩”,

A表示事件“兩個都是女孩”,則

B={(男,女),(女,男),(女,女)},

A={(女,女)}.

又如,在一些具體問題中能不能用頻率替代概率進(jìn)行計算,要看是否具備兩個條件:第一,樣本是否是簡單隨機(jī)抽樣得到的(即樣本是否能很好地代表總體);第二,樣本容量是否足夠大.因為如果是簡單隨機(jī)抽樣,樣本作為隨機(jī)變量與總體有相同概率分布,再依據(jù)伯努利大數(shù)定律,如果樣本容量足夠大,那么就可用頻率近似計算概率.再如新教材在引入二項分布時,先介紹滿足n重伯努利概型的兩個條件再介紹二項分布,那么在判斷什么樣的概型是二項分布時,我們就可以依據(jù)這兩個條件是否滿足判斷是否是二項分布.以下我們看一個實例.

例2在400毫升的水中隨機(jī)游動著200個菌團(tuán),從中任取1毫升水,求其中所含菌團(tuán)的個數(shù)不少于3的概率.

進(jìn)一步得:p(X≥3)=1-p(X=0)-p(X=1)-p(X=2)=0.0144.

通過該例題的解題分析,我們可以發(fā)現(xiàn)解題過程與數(shù)學(xué)確定性現(xiàn)象解題是一樣的,也就是根據(jù)已知條件,分析是否滿足概型的基本條件,只要滿足了二項分布的條件,就可以根據(jù)二項分布進(jìn)行計算.因此,如果教師能深刻理解概率論問題的邏輯基礎(chǔ),那么對隨機(jī)現(xiàn)象問題的處理就再也不是難題.

1.3 善于運用概率模型解決實際問題

新教材引入隨機(jī)變量后,使概率論從事件及其概率的研究擴(kuò)大到隨機(jī)變量及其概率分布的研究.根據(jù)隨機(jī)變量取值的特點,隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)變量(一般研究連續(xù)型).對于離散型隨機(jī)變量,我們研究它們的常見模型及其分布列;對于連續(xù)型隨機(jī)變量,我們研究它們的常見模型及其密度函數(shù).在解決實際問題時,我們先對客觀問題進(jìn)行抽象,再根據(jù)隨機(jī)變量服從的常見概率模型的條件判斷所服從的模型,根據(jù)服從的概率模型解決問題.例如上面的例2就是運用離散型的二項分布概率模型來解決問題,這也是新課標(biāo)要求的“掌握運用概率模型解決問題”的具體體現(xiàn).

在利用古典概型求隨機(jī)事件的概率時,也可運用模型解決問題.例如,對于古典概型的分房問題:設(shè)有n個人,隨機(jī)地住進(jìn)N個房間中的任意一間(n≤N),且設(shè)每個房間可容納的人數(shù)不限,試求下列各事件的概率:(1){某指定的n個房間中各住一人};(2){恰好有n個房間,其中各住一人};(3){某指定的一房間中,恰有k個人}.很多實際問題就可以運用分房問題概型進(jìn)行解決,例如:某班有n個學(xué)生,試求該班至少有兩名學(xué)生的生日相同的概率.我們可以通過求該事件的對立事件的概率進(jìn)而求該事件的概率,它的對立事件的概率即為n個學(xué)生生日各不相同的概率.如果我們把一年的365天看成365個房間,n個學(xué)生生日各不相同的概率即為n個人每人各住一間的概率,這樣該問題就轉(zhuǎn)化為了分房問題的第二小問的問題.

2 整體視野下高中教師必備的統(tǒng)計學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

統(tǒng)計學(xué)的主要研究內(nèi)容是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上通過數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷,因此,數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計推斷是統(tǒng)計學(xué)兩大教學(xué)內(nèi)容,而進(jìn)行統(tǒng)計推斷的樣本數(shù)據(jù)是隨機(jī)的,也因此理解統(tǒng)計推斷必須基于概率論的基礎(chǔ)之上.

統(tǒng)計學(xué)部分主要介紹兩個問題:一是對所給數(shù)據(jù)的整理分析;二是通過樣本推斷總體的思想.小學(xué)階段主要讓學(xué)生學(xué)會對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,例如由所給的數(shù)據(jù),讓學(xué)生畫直方圖(條形圖)、折線圖及扇形圖,以了解研究對象數(shù)量情況、數(shù)量變化情況及對象所占比例.初中階段,在小學(xué)所學(xué)基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)會分析數(shù)據(jù),例如通過找出所給數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù),以及計算它們的平均數(shù)、極差、方差等,以了解數(shù)據(jù)集中趨勢以及離散程度.同時,還簡單介紹了通過樣本估計總體的思想.在小學(xué)和初中的基礎(chǔ)上,新教材高中必修第二冊系統(tǒng)介紹了數(shù)據(jù)收集(即怎么抽樣)、 數(shù)據(jù)整理(即求樣本的數(shù)字特征以及數(shù)據(jù)的直觀表示)、數(shù)據(jù)分析,同時也介紹了統(tǒng)計學(xué)的重要思想方法:用樣本估計總體(用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征、用樣本的分布來估計總體的分布等).選擇性必修的統(tǒng)計學(xué)部分主要介紹成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性、一元線性回歸模型及其應(yīng)用、列聯(lián)表與獨立性檢驗.在這里進(jìn)一步貫徹統(tǒng)計學(xué)通過樣本估計總體的思想方法,例如通過建立樣本的經(jīng)驗回歸模型預(yù)測總體的響應(yīng)變量,使統(tǒng)計學(xué)從描述時代進(jìn)入推斷時代;通過獨立性檢驗介紹了假設(shè)檢驗的思想方法,這是在假設(shè)零假設(shè)正確情況下構(gòu)造樣本函數(shù),在已知所構(gòu)造樣本函數(shù)分布情況下找出小概率事件,再根據(jù)樣本數(shù)據(jù)判斷小概率事件是否發(fā)生,進(jìn)而判斷是接受零假設(shè)還是否定零假設(shè).

從高中統(tǒng)計學(xué)的內(nèi)容看,必修部分主要介紹的是數(shù)據(jù)的收集、整理分析,這部分內(nèi)容相對容易.選擇性必修部分才是統(tǒng)計學(xué)教學(xué)重點和難點,這部分內(nèi)容是基于樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計推斷,而樣本數(shù)據(jù)是隨機(jī)的,因此理解統(tǒng)計推斷必須基于概率論的基礎(chǔ)[6].下面對怎樣以概率論為基礎(chǔ)理解一元線性回歸模型和獨立性檢驗的統(tǒng)計推斷談點想法.

總之,只有從整體上認(rèn)識和把握教材,對概率統(tǒng)計知識形成系統(tǒng)化認(rèn)識,深刻理解概率統(tǒng)計知識的邏輯基礎(chǔ),才能真正做好高中概率統(tǒng)計的教學(xué)工作.