對“坐標(biāo)法”技能訓(xùn)練的再思考

崔 浩

(北京市第十二中學(xué) 100071)

幾年前,筆者在文[1]中論及,利用“坐標(biāo)法”研究解決圓錐曲線性質(zhì)及曲線間位置關(guān)系等問題時(shí),其策略大致可分為兩類:其一,聯(lián)立相關(guān)曲線(包括直線)的方程,解出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),或利用根系關(guān)系,完成證明或求解,這類方法具有“生成”特征;其二,先設(shè)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),把這些坐標(biāo)滿足的條件聯(lián)立成方程組,通過化簡方程組,推導(dǎo)變量之間的關(guān)系,完成證明或求解,這類方法具有“待定”特征.

經(jīng)過最近幾年的教學(xué)實(shí)踐,我們已認(rèn)識到將坐標(biāo)法的解題規(guī)律按“生成”或“待定”類來提煉,對學(xué)生解題策略的制定,起到了很好的定向調(diào)控作用.但當(dāng)問題綜合性很強(qiáng)時(shí),面對繁復(fù)的運(yùn)算,學(xué)生往往陷入雖然思路清晰,卻進(jìn)退維谷的境地.為了更好提升“坐標(biāo)法”的教學(xué)效益,筆者對此作了進(jìn)一步的研究與思考,現(xiàn)不揣淺陋,與大家交流點(diǎn)滴收獲.

思考之一:“生成”與“待定”兩類方法的運(yùn)用要有擇簡意識

所以,在解題之初確定解題策略時(shí),一定要把探究、預(yù)測、初步演算等功課做足,以選擇最簡解題方案,盡量少走彎路.

思考之二:“生成”或“待定”兩類方法往往需要兼容使用

本題如果我們單純采用“待定”類方法求解,過程坎坷,學(xué)生不易逾越.簡述如下:

此過程步步有坑,尤其建立①②與③式的聯(lián)系,能堅(jiān)持推演到底,一定是數(shù)學(xué)運(yùn)演的強(qiáng)者.所以,半途而廢者不在少數(shù).

相反我們從“生成”方法入手,必要時(shí)兼容“待定”方法,可得如下明快的解法:

本題若單純運(yùn)用“生成”的套路求解,如下步驟是合理的.設(shè)直線l的方程為y=kx+m,與橢圓M的方程聯(lián)立解方程組,用k,m表示A,B的坐標(biāo),然后建立PA、PB的直線方程,再分別與橢圓聯(lián)立解方程組,用k,m表示點(diǎn)C,D的坐標(biāo),最后據(jù)C,D,Q三點(diǎn)共線,確定直線l的斜率k.這個(gè)過程看似自然,但運(yùn)算量之大,幾乎不可能完成.明智的選擇依然是兼容“待定”與“生成”兩類方法,完成求解.

思考之三:提升運(yùn)算與化簡能力的兩種途徑

由上述我們可以看出,不論采用“生成”或“待定”哪一類方法解決問題,其障礙均在于運(yùn)算與化簡.尤其當(dāng)前我們從初中開始,對因式分解、整式、分式、方程(組)等一系列技能訓(xùn)練,都有削弱的趨勢,這就造成部分學(xué)生難以達(dá)到運(yùn)用“坐標(biāo)法”解題的技能要求,所以,在教學(xué)中想方設(shè)法降低運(yùn)算難度,突破運(yùn)算障礙,應(yīng)屬當(dāng)務(wù)之急.

途徑1:巧設(shè)基本量

何謂基本量?前文中,我們在“生成”類方法中,往往設(shè)直線的斜率“k”或截距“b”,在“待定”類方法中,往往設(shè)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)(x1,y1) ,這些都是基本量,它們的共同特征是“變量”,廣義地看,這些“變量”在解題過程中,往往具有函數(shù)(不排除多元)“自變量”的意味,而求解目標(biāo)通常又與相應(yīng)的“因變量”有關(guān).所以,用“坐標(biāo)法”解決問題時(shí),基本量的設(shè)定不可或缺.但不同的設(shè)法,運(yùn)算難易程度往往會(huì)有很大的差異.

首先,我們對題中的定圓進(jìn)行預(yù)判.先從特殊情況入手,如果將A、B兩點(diǎn)分別放坐標(biāo)軸上,則形成四條直線,恰好圍成一個(gè)菱形A1B1A2B2(如圖),題中的定圓與這四條直線都相切,所以菱形的內(nèi)切圓就是與AB相切的定圓,其圓心在原點(diǎn),半徑是O到A1B1的距離.再看一般情況,如果A、B兩點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)起來,在OA⊥OB條件下,證明直線AB總與上述菱形的內(nèi)切圓相切,即完成證明.為體現(xiàn)基本量設(shè)法的多樣性,我們給出幾種不同解法,簡述如下,供讀者體味.

解法3:取四個(gè)基本量為A(x1,y1),B(x2,y2),結(jié)合OA⊥OB,可得方程組

據(jù)△OAB面積公式,得O到AB距離

一方面整理分子,

所以(x1x2+2y1y2)2+2(x1y2-x2y1)2=36,

因?yàn)閤1x2+y1y2=0,

在上述四種解法中,解法1、2反映出基本量的常規(guī)選擇方法,但不可避免直線斜率存在與否的討論,運(yùn)算量不小.解法3雖然避免了直線斜率的討論,但由于四個(gè)基本量(兩點(diǎn)坐標(biāo))的選擇,幾乎為學(xué)生設(shè)立了難以逾越的障礙.顯然,解法4基本量的確定,不僅避免了分類討論,運(yùn)算量也較小,但卻是學(xué)生不甚熟悉的,這說明我們在教學(xué)中,三角函數(shù)的作用需要加強(qiáng).

途徑2:深層次挖掘幾何性質(zhì)

在解析幾何的教學(xué)中,“借助幾何性質(zhì),簡化代數(shù)運(yùn)算”的話題,得到許多同行的關(guān)注.如文[2],作者利用三角形、特殊四邊形、圓的幾何性質(zhì),簡化坐標(biāo)法運(yùn)算,收到很好的教學(xué)效果,很值得借鑒.

但是對于較難的問題,還需要更深層次地挖掘幾何性質(zhì).

例5(2019年全國聯(lián)賽一試第10題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓Ω與拋物線Γ:y2=4x恰有一個(gè)公共點(diǎn),且圓Ω與x軸相切于Γ的焦點(diǎn)F,求圓Ω的半徑.

本題題設(shè)簡單,入手也不困難.易知Γ的焦點(diǎn)F(1,0),故圓Ω方程可設(shè)為(x-1)2+(y-b)2=b2,|b|為所求.

因圓Ω與拋物線恰有一個(gè)公共點(diǎn),故方程(*)

上述方法雖然不難,但由方程唯一解確定b值,卻成為部分同學(xué)的“攔路虎”.如果我們把“圓Ω與拋物線Γ:y2=4x恰有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“圓Ω與拋物線Γ:y2=4x在公共點(diǎn)處有相同的切線”,即可得到如下簡約、明快的解法:

例6(2018年全國聯(lián)賽一試第11題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)AB是拋物線y2=4x的過點(diǎn)F(1,0)的弦,△AOB的外接圓交拋物線于點(diǎn)P(不同于點(diǎn)O,A,B).若PF平分∠APB,求|PF|的所有可能值.

本題的難點(diǎn)有二:一是如何用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示點(diǎn)P的坐標(biāo);二是如何刻畫題設(shè)條件“PF平分∠APB”.

再看如何運(yùn)用題設(shè)條件PF平分∠APB.常用的處理方式有三種:一是用角平分線定理;二是用點(diǎn)F到直線PA、PB的距離相等;三是用PF與PA、PB的夾角相等.想法雖然合理,但將它們直接代數(shù)化,計(jì)算量都很大.那么,還有其它的簡化方法嗎?答案是肯定的.出路還在于深入挖掘幾何性質(zhì).

在2018年全國聯(lián)賽提供的本題答案中,對題設(shè)“PF平分∠APB”的運(yùn)用方式是直接把角平分線定理代數(shù)化,運(yùn)算量較大.考試之后通過對考生的了解發(fā)現(xiàn),多數(shù)考生都卡在這個(gè)環(huán)節(jié)上,再加上考試時(shí)間緊,能完成此題的人極少.如能象此處這樣處理,相信結(jié)果要好得多.