追求深度理解的單元復(fù)習(xí)課

黃鋒

[摘? 要] 追求深度理解的單元復(fù)習(xí)課在自主回顧中實(shí)現(xiàn)知識再建構(gòu)，在溫故操練中實(shí)現(xiàn)問題再發(fā)現(xiàn)，在合作探究中實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)再剖析，在實(shí)踐應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)思想再感悟，在總結(jié)升華中實(shí)現(xiàn)本質(zhì)再理解，在拓展延伸中實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)再提升.

[關(guān)鍵詞] 單元復(fù)習(xí)課;解三角形;深度理解

基于深度理解的單元復(fù)習(xí)課對一章內(nèi)容的梳理、整合、拓展、升華具有重要意義，其功能與價(jià)值不是常態(tài)的復(fù)習(xí)講評課、專題復(fù)習(xí)課、查漏補(bǔ)缺課所能替代的. 追求深度理解的單元復(fù)習(xí)課，首先要梳理章節(jié)主線，串聯(lián)零碎的、分散的知識，實(shí)現(xiàn)單元內(nèi)容再建構(gòu)，正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說的，“熟書生溫，似乎在復(fù)習(xí)，但把新的東西講進(jìn)去了，找另一條線索把舊東西重新貫穿起來”;同時(shí)要站在深度理解的高度，組織學(xué)生合作探究，挖掘知識間的內(nèi)在邏輯關(guān)系;另外，還要在應(yīng)用拓展中感悟思想方法，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在“解三角形”的新授課中，學(xué)生以平面向量為工具研究了三角形中邊角的定量關(guān)系——余弦定理、正弦定理，并學(xué)會(huì)了用余弦、正弦定理解決實(shí)際問題. 對本章內(nèi)容的復(fù)習(xí)，筆者認(rèn)為，除了要達(dá)成上述基本目標(biāo)外，還要從方法論的角度明確解三角形的本質(zhì)，從整體視角研究余弦、正弦定理的內(nèi)在一致性，從而培養(yǎng)學(xué)生的深度思維，發(fā)揮本章內(nèi)容的育人價(jià)值. 基于上述問題的思考，本文結(jié)合解三角形（單元復(fù)習(xí)課）的教學(xué)談?wù)剬卧獜?fù)習(xí)課的一些理解與認(rèn)識.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 自主回顧，知識再建構(gòu)

問題1 請同學(xué)們回顧“解三角形”這一章的內(nèi)容，能否用結(jié)構(gòu)圖的形式將它們表示出來呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生初步建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)圖（如圖1所示）.

設(shè)計(jì)意圖 在新授課階段中，學(xué)生雖然已經(jīng)逐一學(xué)習(xí)了各節(jié)內(nèi)容，但是仍處于“只見樹木，不見森林”的狀況，還沒有形成一般性思維策略，更談不上對學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度理解. 單元復(fù)習(xí)課最基本的任務(wù)就是實(shí)現(xiàn)知識的結(jié)構(gòu)化，構(gòu)建體現(xiàn)邏輯關(guān)系的知識網(wǎng)絡(luò). 在課堂之初，學(xué)生通過自主回顧，畫出按知識點(diǎn)羅列的知識結(jié)構(gòu)圖，教師則引導(dǎo)學(xué)生從聯(lián)系的觀點(diǎn)去理解問題，將各小節(jié)的知識內(nèi)容之間的關(guān)系先初步勾畫出來，再在后續(xù)課堂探究中逐步完善知識結(jié)構(gòu)圖.

2. 溫故操練，問題再發(fā)現(xiàn)

問題2 閱讀教材中已學(xué)過的三道例（習(xí)）題，你能總結(jié)余弦、正弦定理適用的類型，并進(jìn)一步完善結(jié)構(gòu)圖嗎？

（1）A，B兩點(diǎn)之間隔著一個(gè)水塘（見圖2），現(xiàn)選擇另一點(diǎn)C，測得CA=182 m，CB=126 m，∠ACB=63°，求A，B兩點(diǎn)之間的距離（精確到1 m）.

（2）為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁A，B（見圖3）. 要測算出A，B兩點(diǎn)之間的距離，測算人員在岸邊定出基線BC，測得BC=78.35 m，∠B=69°43′，∠C=41°12′，試計(jì)算AB的長（精確到1 m）.

（3）如圖4所示，為了測量河對岸A，B兩地之間的距離，在河岸這邊取C，D兩點(diǎn)，測得∠ADC=85°，∠BDC=60°，∠ACD=47°，∠BCD=72°，CD=100 m，設(shè)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，試求A，B兩點(diǎn)之間的距離（精確到1 m）.

設(shè)計(jì)意圖 通過對三道習(xí)題的分析，學(xué)生分別概括出余弦、正弦定理的適用情形，即已知三條邊，或已知兩邊及夾角，選用余弦定理;已知兩角及一邊，或已知兩邊及一邊的對角，選用正弦定理. 初步完善并得到知識結(jié)構(gòu)圖（如圖5所示）.

追問：你能指出上述三種測量與計(jì)算問題之間的關(guān)系嗎？你能說出解三角形的本質(zhì)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 上述三問源于教材三個(gè)小節(jié)中的三道例題，第（1）問是兩點(diǎn)不可達(dá)又不可視的問題;第（2）問是兩點(diǎn)可視但不可達(dá)的問題;第（3）問是兩點(diǎn)都不可達(dá)的問題. 新授課時(shí)，學(xué)生是獨(dú)立逐個(gè)解決的;現(xiàn)將三道例題放在一起研究，目的是引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)整體思考問題. 研究發(fā)現(xiàn)，解決第（3）問先要將其化歸為模型2（第（2）問的求解模型），在△ADC和△BCD中用正弦定理分別求出AD和BD（或AC和BC），然后再化歸為模型1（第（1）問的求解模型）在△ADB（或△ACB）中用余弦定理求出A，B兩點(diǎn)之間的距離. 綜合運(yùn)用正弦、余弦定理解決問題，讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的模型識別能力.

在解決第（3）問的過程中，將AD和BD看作未知量，求解過程體現(xiàn)了方程思想. 由此，引導(dǎo)學(xué)生深度反思解三角形的本質(zhì)，即在三角定律（三角形的余弦定理、正弦定理、內(nèi)角和定理以及兩邊之和大于第三邊）的基礎(chǔ)上，建立題設(shè)條件（方程或不等式）與三角形本質(zhì)的聯(lián)系，從而求得三角形的全部或部分度量關(guān)系.

3. 合作探究，關(guān)聯(lián)再剖析

問題3 結(jié)合余弦、正弦定理的推導(dǎo)過程，思考余弦、正弦定理是否具有一致性？

設(shè)計(jì)意圖 通過問題引導(dǎo)學(xué)生初步感知余弦定理和正弦定理的關(guān)聯(lián)性. 首先，兩個(gè)定理的證明起點(diǎn)與證明路徑一致，都是從同一個(gè)向量等式出發(fā)，將向量等式數(shù)量化來證明的. 其次，在已知兩邊及一邊的對角求第三邊時(shí)，可以利用內(nèi)角和定理和正弦定理求解;也可以利用余弦定理，通過建立關(guān)于第三邊的一元二次方程求解.不同的定理解決相同的問題，說明兩個(gè)定理必然具有一致性. 通過該問題的設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

追問1：你能探究出證明余弦、正弦定理具有一致性的路徑嗎？

師生合作，借助向量等式及射影定理進(jìn)行探究，探究路徑如圖6所示.

設(shè)計(jì)意圖 利用向量等式證明余弦定理和正弦定理的關(guān)鍵是向量等式的數(shù)量化，而向量等式的數(shù)量化又能得出射影定理. 因此，教師適時(shí)點(diǎn)撥，能引導(dǎo)學(xué)生得到一條探究路徑——從余弦定理出發(fā)借助射影定理證明正弦定理.

追問2：你能通過具體實(shí)踐，完整寫出探究過程嗎？探究過程可逆嗎？

探究1：請結(jié)合射影定理由余弦定理推導(dǎo)正弦定理.

探究2：請結(jié)合射影定理由正弦定理推導(dǎo)余弦定理.

證明（探究1） 由a=bcosC+ccosB兩邊平方，可得a2=b2cos2C+c2cos2B+2bccosC·cosB.

因?yàn)閏os2C=1-sin2C，cos2B=1-sin2B，所以a2=b2+c2-（b2sin2C+c2sin2B-2bccosC·cosB）.

又a2=b2+c2-2bccosA，所以2bc·cosA=b2sin2C+c2sin2B-2bccosC·cosB.

因?yàn)閏osA=-cos（C+B）=-cosC·cosB+sinC·sinB，所以2bcsinC·sinB=b2sin2C+c2sin2B，所以（bsinC-csinB）2=0，即=.

同理可證==.

設(shè)計(jì)意圖 很多數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)都源于大膽猜想，然后嚴(yán)格證明.另外，逆向推理也是拓展探究的一種方式.研究路徑、研究方法的培養(yǎng)應(yīng)滲透在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中.

追問3：能否不借助射影定理直接實(shí)現(xiàn)余弦定理、正弦定理的互證呢？若能，請小組合作寫出探究過程.

探究3：請由余弦定理直接推導(dǎo)正弦定理.

證明 在△ABC中，0

探究4：請由正弦定理直接推導(dǎo)余弦定理.

證明 在△ABC中，A+B+C=π，所以sin2A=sin2（B+C）=（sinBcosC+cosBsinC）2=sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBcosCcosBsinC=sin2B（1-sin2C）+（1-sin2B）sin2C+2sinBcosCcosBsinC=sin2B+sin2C+2sinBsinC（cosBcosC-sinBsinC）=sin2B+sin2C+2sinBsinC·cos（B+C）=sin2B+sin2C-2sinBsinC·cosA.

由正弦定理得sinA=，sinB=，sinC=. 所以a2=b2+c2-2bccosA.

設(shè)計(jì)意圖 直接進(jìn)行余弦定理和正弦定理的互證是本節(jié)課的難點(diǎn)，也是深度理解解三角形（單元復(fù)習(xí)課）的核心. 在余弦定理證明正弦定理的過程中，sinA適當(dāng)變形，本質(zhì)上是三角形的面積公式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，即bcsinA=，其中p=. 在實(shí)現(xiàn)深度理解的過程中，又進(jìn)一步拓展了知識面，使學(xué)生對關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的理解更加透徹.

4. 實(shí)踐應(yīng)用，思想再感悟

問題4 能否多角度解決下列問題？

化簡：sin218°+sin242°+sin18°·sin42°.

方法1 原式=++sin18°·sin42°=1-[cos（60°-24°）+cos（60°+24°）]+sin（30°-12°）·sin（30°+12°） =1-cos24°+cos212°-sin212°=1-cos24°+（1+cos24°）-（1-cos24°）=.

方法2 在△ABC中，令A(yù)=120°，B=18°，C=42°，△ABC的外接圓直徑2R=1，則b=sin18°，c=sin42°，a=sin120°. 又a2=b2+c2-2bccosA=sin218°+sin242°-2·sin18°·sin42°·cos120°=sin218°+sin242°+sin18°·sin42°，所以sin218°+sin242°+sin18°·sin42°=sin2120°=.

設(shè)計(jì)意圖 法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家拉格朗日說過，如果代數(shù)與幾何各自分開發(fā)展，那么它的進(jìn)步將十分緩慢，而且應(yīng)用范圍也很有限，但若兩者互相結(jié)合而共同發(fā)展，則會(huì)相互加強(qiáng)，并以快速的步伐向著完美化的方向猛進(jìn). 方法1利用三角恒等變換公式（本題也可應(yīng)用和差化積、積化和差公式化簡求解），從代數(shù)角度解決問題;方法2通過構(gòu)造三角形，從幾何角度解決問題. 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美.

5. 總結(jié)升華，本質(zhì)再理解

問題5 經(jīng)歷本節(jié)課完整的探究過程，你能最終完善單元知識結(jié)構(gòu)圖嗎？

經(jīng)過師生合作探究，本節(jié)課最終完成了單元知識結(jié)構(gòu)圖的建構(gòu)（如圖7所示）.

設(shè)計(jì)意圖 整節(jié)課基于余弦定理與正弦定理本質(zhì)的一致性，層層深入探究，學(xué)生通過單元知識結(jié)構(gòu)圖的建構(gòu)，逐漸明確定理間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，思維水平螺旋上升，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也得到提升.

6. 拓展延伸，素養(yǎng)再提升

問題6 你能完成下列拓展練習(xí)題嗎？

（1）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 已知2b=a+c，sin2A=sinBsinC，試判斷△ABC的形狀.

（2）求證：sin2α+sin2

（3）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 已知p=（a+b+c）， 求證：△ABC的面積為S=.

（4）設(shè)圓O內(nèi)接四邊形的邊長分別為a，b，c，d. 已知p=（a+b+c+d），求證：內(nèi)接四邊形的面積為S=.

設(shè)計(jì)意圖 結(jié)合課后拓展練習(xí)題，既能鞏固經(jīng)典方法，又能拓展課堂探究過程中的生成性問題，更能探究和解決實(shí)踐應(yīng)用性問題，有效將課堂上的探究延伸到課堂外.

教學(xué)反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)：“教師要整體把握教學(xué)內(nèi)容，把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，理解數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生與發(fā)展過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，在此基礎(chǔ)上，探索通過什么樣的途徑能夠引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握知識、技能的同時(shí)，感悟知識的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)教育價(jià)值.”[1]基于這樣的要求，教師要思考：隨著新知識的獲取、新知識的理解，要求學(xué)生進(jìn)一步厘清知識間有怎樣的內(nèi)在邏輯關(guān)系？要求學(xué)生體會(huì)在學(xué)習(xí)過程中蘊(yùn)含著哪些思想方法？為此，單元復(fù)習(xí)需要重新建構(gòu)單元整體結(jié)構(gòu)，將基礎(chǔ)知識、研究方法以及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想融為一體，讓學(xué)生深刻理解內(nèi)在的邏輯關(guān)系，幫助學(xué)生形成可辨別的、可拓展的、有利于進(jìn)一步學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)[2].

1. 單元復(fù)習(xí)課需要樹立大觀念

單元復(fù)習(xí)不是簡單的知識羅列與總結(jié)，不是單元題型的歸納與分類，而是要梳理知識的來龍去脈，進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)對象的研究內(nèi)容、研究路徑和研究方法. 正如章建躍博士所講：“基于全面實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，必須強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的整體性，邏輯的連貫性，思想的一致性，方法的普適性，思維的系統(tǒng)性.”本節(jié)課正是在“怎樣定量研究三角形”這個(gè)大觀念的指引下，開展對單元內(nèi)容的建構(gòu)，闡述知識的來龍去脈，讓學(xué)生充分理解正弦定理和余弦定理發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用的全過程，充分認(rèn)識向量的工具性作用，充分感悟轉(zhuǎn)化與化歸思想方法.

2. 單元復(fù)習(xí)課需要確定大主題

單元復(fù)習(xí)課通常有一個(gè)貫穿整章的大情境，這里的大情境是為大主題服務(wù)的. 單元復(fù)習(xí)課的大主題可以知識為主線，也可以思想方法為主線. 如本節(jié)課的大主題就是以知識為主線，即將分散在三個(gè)小節(jié)中的三個(gè)具體的測量與計(jì)算問題整合成大主題，圍繞大主題對本章內(nèi)容進(jìn)行再審視、再探究、再生成、再歸納、再建構(gòu).

3. 單元復(fù)習(xí)課需要組織大探究

單元復(fù)習(xí)課往往采用大探究的教學(xué)方式，通過師生合作幫助學(xué)生形成更深層次的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生挖掘本章知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián). 鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中對基礎(chǔ)知識“不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)”，所以組織學(xué)生進(jìn)行大探究是理解關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要手段. 例如本節(jié)課在深入探討余弦定理和正弦定理本質(zhì)的一致性問題時(shí)，組織學(xué)生進(jìn)行了第一次大探究;在借助“形”將三角化簡求值問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題時(shí)，又進(jìn)行了第二次大探究.

4. 單元復(fù)習(xí)課需要實(shí)現(xiàn)大融通

單元復(fù)習(xí)課在幫助學(xué)生整理知識、訓(xùn)練技能上是容易達(dá)成的，但在思想方法的滲透上往往是貼標(biāo)簽式的. 因此，單元復(fù)習(xí)課要將本章內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)文化加以融通：做到知識內(nèi)在本質(zhì)融會(huì)貫通，做到知識深度理解有根有據(jù)，做到數(shù)學(xué)思想方法根植課堂，做到數(shù)學(xué)深厚文化巧妙融合. 由此，真正實(shí)現(xiàn)全章教學(xué)的融通，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)美.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 曾榮. 數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)課教學(xué)研究——以《指數(shù)與對數(shù)》為例[J]. 教學(xué)研究與評論，2022（06）：58-65.