巧妙構(gòu)思,優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

張星

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)猶如包含教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)過(guò)程與教學(xué)反思的三套馬車. 教學(xué)設(shè)計(jì)是一項(xiàng)復(fù)雜的教學(xué)技術(shù)，對(duì)教學(xué)成效有著直接影響. 巧妙構(gòu)思，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)是每個(gè)教師必備的基本技能. 研究者摘錄了幾位青年教師在“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”教學(xué)中“教學(xué)情境與公式推理”的幾個(gè)片段，具體談?wù)剝?yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的方法.

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)設(shè)計(jì);方法;情境

今年，本校青年教師“教學(xué)比武”中，有幾位教師不約而同地選擇了“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”教學(xué). 筆者近距離學(xué)習(xí)觀摩了教師們的表現(xiàn)，產(chǎn)生了一些思考. 現(xiàn)摘錄“情境創(chuàng)設(shè)與公式推導(dǎo)”的幾個(gè)教學(xué)片段，對(duì)教師們的構(gòu)思與設(shè)計(jì)談一孔之見(jiàn).

情境創(chuàng)設(shè)

創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的一種重要策略，也是為學(xué)生提供學(xué)習(xí)素材與知識(shí)背景的基本手段[1]. 創(chuàng)設(shè)良好的情境可為枯燥的高中數(shù)學(xué)教學(xué)增添不少色彩，使得抽象的知識(shí)變得生動(dòng)，有效引發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考與探索.

1. 情境片段摘錄

情境1：窮人跟富人借錢，富人提出，第一天借一萬(wàn)元給他，但窮人需還1分錢;第二天借兩萬(wàn)元給他，窮人需還2分錢;第三天借三萬(wàn)元給他，窮人需還4分錢，以此類推，富人每天借給窮人的錢比前一天多一萬(wàn)元，而窮人每天還給富人的錢是前一天所還錢的兩倍，到30天時(shí)互不相欠. 聰明的你們，幫他們算算在這場(chǎng)交易中，誰(shuí)是獲利的一方？

情境2：印度是國(guó)際象棋的發(fā)源國(guó)，當(dāng)時(shí)國(guó)王準(zhǔn)備獎(jiǎng)勵(lì)象棋的發(fā)明者，誰(shuí)知發(fā)明者所提出的獎(jiǎng)勵(lì)讓大家大跌眼鏡. 發(fā)明者希望國(guó)王賞給他一些麥子，麥子的數(shù)量為：在棋盤(pán)的第一格中獲得一粒麥子，第二格中獲得兩粒麥子，第三格中獲得四粒麥子，以此類推，棋盤(pán)上共有64格，每一格的麥子數(shù)量為前一格的兩倍. 大家算一算，國(guó)王究竟要獎(jiǎng)勵(lì)給這位發(fā)明者多少麥子.

情境3：教師取出一堆小棒，帶領(lǐng)學(xué)生一起玩游戲，將小棒分成15堆進(jìn)行擺放. 第一堆放1根，第二堆放2根，第三堆放4根，后面的每一堆都是前一堆的兩倍，請(qǐng)大家快速計(jì)算出這15堆小棒的總量.

2. 對(duì)比分析

觀察以上三個(gè)情境，這些都是大家耳熟能詳?shù)膬?nèi)容，創(chuàng)設(shè)這幾個(gè)情境的效果在本節(jié)課究竟如何呢？真正有價(jià)值的情境，不僅是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知背景，更是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的導(dǎo)火索.

情境1雖然成功地吸引住了學(xué)生的注意力，但又不可避免地少了點(diǎn)“數(shù)學(xué)味”，尤其對(duì)于高中生而言，有些內(nèi)容未必幼稚了些. 一些自控力較差的學(xué)生，不由自主地將注意力轉(zhuǎn)移到了故事情境中（有趣），但對(duì)于故事里所折射出來(lái)的“理”往往視而不見(jiàn)，也就弱化了利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析與研究具體問(wèn)題的意圖.

多位教師應(yīng)用了情境2，從中也能看出教師對(duì)于滲透數(shù)學(xué)文化已經(jīng)有所覺(jué)察，但學(xué)生對(duì)于這個(gè)情境也很熟悉，俗話說(shuō)“熟悉的地方看不到好風(fēng)景”. 此情境的應(yīng)用，在本節(jié)課中并沒(méi)有達(dá)到理想的效果. 觀察學(xué)生的表現(xiàn)，不難發(fā)現(xiàn)該情境并沒(méi)有激起學(xué)生探索未知的動(dòng)力與熱情. 該情境的創(chuàng)設(shè)可判定為流于形式的走過(guò)場(chǎng).

想要吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生自主求知與探索，讓學(xué)生充分感受思考的魅力，應(yīng)著重在“情、理”上下功夫. 有些教師一味地追求趣味、視覺(jué)刺激與虛擬化人物的應(yīng)用等，往往導(dǎo)致教學(xué)出現(xiàn)豐富的“境”，但缺少“情”.如一位教師應(yīng)用情境2時(shí)，花了較長(zhǎng)時(shí)間播放關(guān)于國(guó)際象棋的知識(shí)，看似渲染了課堂氣氛，激發(fā)了學(xué)生的熱情. 其實(shí)，深層次分析后發(fā)現(xiàn)此過(guò)程不但沒(méi)有誘發(fā)學(xué)生注意本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，甚至還分散了學(xué)生的注意力，使得問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決缺失了“情”的驅(qū)動(dòng).

至于情境3，雖為學(xué)生所喜歡的游戲，但缺乏具體操作過(guò)程，更無(wú)撬動(dòng)學(xué)生思維的“點(diǎn)”，屬于“無(wú)境無(wú)情”的敗筆. 高中生已經(jīng)有了一定的抽象思維，于他們而言，過(guò)于簡(jiǎn)單的情境無(wú)法達(dá)到理想的啟發(fā)效果. 鑒于此，在沒(méi)有合適的情境背景下，可直接應(yīng)用充滿“數(shù)學(xué)味”的問(wèn)題情境切入主題，反而能起到較好的教學(xué)效果. 如本節(jié)課，可直接提出問(wèn)題：S=1+2+22+…+263的值是多少？

3. 優(yōu)化方案

問(wèn)題是推動(dòng)學(xué)習(xí)的根本，恰到好處地提出具有吸引性、啟發(fā)性與挑戰(zhàn)性的問(wèn)題是情境創(chuàng)設(shè)的主要價(jià)值所在，也是衡量所創(chuàng)設(shè)的情境是否成功的標(biāo)準(zhǔn). 因此，在情境創(chuàng)設(shè)時(shí)，教師應(yīng)充分開(kāi)發(fā)背景材料，激發(fā)學(xué)生內(nèi)心深處解決問(wèn)題的緊迫之感.

【優(yōu)化方案1】

情境創(chuàng)設(shè)的目的在于吸引學(xué)生的注意力、啟發(fā)思維、訓(xùn)練心智等，那么問(wèn)題情境形式要結(jié)合教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)等綜合因素. 高中生已經(jīng)有了較好的抽象邏輯思維，對(duì)于與數(shù)學(xué)本身相關(guān)的問(wèn)題有著較高的思維操作能力，對(duì)于知識(shí)本身的問(wèn)題情境有著較強(qiáng)的接受能力. 鑒于此，教師設(shè)計(jì)問(wèn)題情境時(shí)，可從簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單著手，讓學(xué)生思索問(wèn)題時(shí)揭示內(nèi)心困惑，從而更深層次地進(jìn)行探究.

等差數(shù)列與等比數(shù)列作為兩種特殊數(shù)列，學(xué)生已經(jīng)有了大致了解. 在對(duì)等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等已經(jīng)有了一定認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，類比等差數(shù)列的研究過(guò)程，本節(jié)課要探討的問(wèn)題是什么呢？基于此思考，教師可單刀直入地引入本節(jié)課的探討主題，將學(xué)生的注意力集中在“什么是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”及“如何求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”.

【優(yōu)化方案2】

在教學(xué)中，滲透數(shù)學(xué)文化是促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的重要手段之一. 本節(jié)課的情境創(chuàng)設(shè)，可從史料中尋找素材，讓學(xué)生從多元化角度感知數(shù)學(xué)文化與歷史，以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值的認(rèn)識(shí).

結(jié)合馬格尼茨在《算術(shù)》中記載的“賣馬”素材，創(chuàng)設(shè)以下情境：

有一個(gè)人想在集市上買一匹馬，付給商家156盧布后又后悔了，他認(rèn)為這匹馬不值156盧布，便想把馬退給商家. 商家聞言后，提出了一個(gè)新的購(gòu)買方案，即買馬蹄上的釘子送馬. 具體方案為：馬的每個(gè)蹄子上都釘著6枚釘子，買者只需支付第一枚釘子戈比（1盧布=100戈比），第二枚釘子戈比，第三枚釘子1戈比，以此類推. 此人一聽(tīng)，覺(jué)得用這個(gè)購(gòu)買方案肯定花不到10盧布就能得到這匹馬，便欣然同意了. 但付款時(shí)他卻傻眼了，大家?guī)退阋凰?，這筆交易中共花掉了多少錢？

這是一個(gè)集趣味性、文化性與價(jià)值性于一體的情境，學(xué)生分析、探索這個(gè)情境后，很快就將精力投入到“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”的探究中. 顯然，這是一個(gè)有血、有肉、有料、有趣的情境，為本節(jié)課教學(xué)奠定了良好的情感基調(diào).

公式推導(dǎo)

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)充滿智慧，讓學(xué)生的思維卷舒開(kāi)合、張力十足. 成功的課堂，不僅要有猜想、驗(yàn)證與積極的情感體驗(yàn)，還要有思辨的氛圍與“再創(chuàng)造”的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生親歷知識(shí)的形成與發(fā)展過(guò)程[2]. 本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生感受思維的力量，經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握相應(yīng)的知識(shí)與技能，獲得解決問(wèn)題的能力.

1. 教學(xué)片段摘錄

第一步，求解“國(guó)王獎(jiǎng)勵(lì)”問(wèn)題.

師：我們求解等比數(shù)列1，2，22，…，263的和時(shí)，計(jì)算實(shí)質(zhì)是什么？

生1：計(jì)算實(shí)質(zhì)為：求以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的前64項(xiàng)和，列式為S=1+2+22+…+263①.

師：若將式①的兩邊同時(shí)乘公比2，可得到怎樣的等式？

生2：2S=2+22+23+…+264②.

師：我們一起來(lái)觀察式①與式②，它們之間有怎樣的關(guān)系？通過(guò)這兩個(gè)式子我們能獲得S的值嗎？

（學(xué)生沉默）

師：式②減式①可以把相同的項(xiàng)消除掉，獲得結(jié)論S=264-1.

第二步，回歸到等比數(shù)列進(jìn)行求和.

師：在以上求和過(guò)程中，我們通過(guò)相鄰項(xiàng)關(guān)系的突破，消除相同項(xiàng)達(dá)到了解題目的. 這種計(jì)算方法就是我們常說(shuō)的“錯(cuò)位相減法”，其適用于一般等比數(shù)列求和問(wèn)題嗎？現(xiàn)在我們一起來(lái)探討，將這種方法應(yīng)用在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中：

已知S=a+aq+aq2+…+aqn-1①，在式①的兩邊同時(shí)乘公比q，可得qS=aq+aq2+aq3+…+aqn②.由①-②，得（1-q）S=a-aqn.當(dāng)q=1時(shí)，S=na;當(dāng)q≠1時(shí)，S==. 整理得S=

na，q=1;=，q≠1.（教師特別強(qiáng)調(diào)“分類討論”的注意事項(xiàng)，總結(jié)“錯(cuò)位相減法”的過(guò)程與步驟，要求學(xué)生深刻理解并掌握“乘q、錯(cuò)位、減”等步驟）.

第三步，拓展公式的推導(dǎo).

師：除了以上方法，大家還有其他的推導(dǎo)方法嗎？

當(dāng)學(xué)生還沉浸于思考中時(shí)，教師提出：結(jié)合等比數(shù)列的定義去想. 教師尚未給學(xué)生充足的思考空間，接著又講起了“等比性質(zhì)法”與“整體代換法”.

2. 分析與優(yōu)化方案

教材雖好，但呈現(xiàn)給我們的結(jié)論都是靜止的. 教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，將靜止的書(shū)本知識(shí)轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)且富有生命力的問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生在猜想、類比、總結(jié)與提煉中體驗(yàn)知識(shí)形成與發(fā)展的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)獨(dú)有的魅力[3]. 但以上公式推導(dǎo)過(guò)程，顯然少了一些靈動(dòng)性，整個(gè)過(guò)程都以教師傳授為主，學(xué)生的自主能力未能有效發(fā)揮.

（1）滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想

特殊到一般是指從特殊的信息中提取一般規(guī)律的過(guò)程，也是一個(gè)充滿創(chuàng)造力的過(guò)程. 觀察以上教學(xué)過(guò)程，整個(gè)教學(xué)步驟看似遵循了學(xué)生從特殊到一般的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，教師也提出了具有啟發(fā)性的問(wèn)題供學(xué)生探討，但并未給學(xué)生留下充足的時(shí)間與空間去思考，結(jié)論由教師直接給出. 學(xué)生的思維因缺乏深度思考，而削弱了學(xué)習(xí)體驗(yàn)，導(dǎo)致歸納與演繹推理過(guò)程中的思維斷層.

不論是“錯(cuò)位相減法”，還是“等比性質(zhì)法”，抑或“整體代換法”，都由教師機(jī)械式地直接傳授給學(xué)生，完全忽略了學(xué)生自主探索的過(guò)程. 鑒于此，筆者設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)優(yōu)化方案.

【優(yōu)化方案1】

引導(dǎo)學(xué)生歸納S=20+21+…+2n-1的結(jié)論，即S=1，S=3，S=7，…，然后猜想S=2n-1. 在此基礎(chǔ)上，教師鼓勵(lì)學(xué)生自主歸納q=3時(shí)的結(jié)論，即30+31+32+…+3n-1=. 至此，啟發(fā)學(xué)生猜想一般性結(jié)論：1+q+q2+…+qn-1=（q≠1）. 等比數(shù)列求和公式在學(xué)生的自主探索中躍然紙上.

【優(yōu)化方案2】

等比數(shù)列的公比存在兩種情形，即q=1與q≠1.

當(dāng)q=1時(shí)，毫無(wú)懸念，S=na.

當(dāng)q≠1時(shí)，S=a+aq+…+aqn-1，該怎么求呢？教師可引導(dǎo)學(xué)生從項(xiàng)數(shù)較少的情況出發(fā)，如當(dāng)n=1，2，3時(shí)，S=a，S=a+a=a（1+q），S=a+a+a=a（1+q+q2）. 鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合1+q+q2的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行聯(lián)想，獲得立方差公式的因式，得到S=，回歸到n=1，2時(shí)，可得S=，S=，那么對(duì)S=的猜想應(yīng)運(yùn)而生.

（2）探尋“錯(cuò)位相減法”的教學(xué)價(jià)值

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：要尊重學(xué)生原有的認(rèn)知水平，盡可能地為學(xué)生提供充足的思維活動(dòng)空間，讓學(xué)習(xí)經(jīng)歷一種思維自然生長(zhǎng)的過(guò)程. 在教學(xué)中，教師若能激活學(xué)生的思維，則不僅有助于學(xué)生理解與掌握知識(shí)和技能，還能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)歸納演繹過(guò)程，為形成良好的數(shù)學(xué)觀念奠定基礎(chǔ).

學(xué)生原有認(rèn)知體系中，與本節(jié)課相關(guān)的內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法. 基于此，教師可帶領(lǐng)學(xué)生先回顧等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，重溫“等差數(shù)列形式上的倒序相加，其實(shí)結(jié)合的是數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)”. 由此，引發(fā)學(xué)生思考：求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，應(yīng)從哪個(gè)角度進(jìn)行分析？該如何構(gòu)建公式？能否參考等差數(shù)列求和時(shí)應(yīng)用的“倒序相加法”，獲得一個(gè)常數(shù)列呢？

當(dāng)學(xué)生深入分析與探索以上問(wèn)題后，教師還可以鼓勵(lì)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上延伸思維，通過(guò)其他途徑找到公式的推導(dǎo)方法. 如從等比數(shù)列的定義出發(fā)，累加等式a+a+…+a=q（a+a+…+a）. 這種方法顯然比直接構(gòu)造方程更合理，與學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)也更契合. 隨著探究的逐漸深入，以及創(chuàng)新方法的應(yīng)用，學(xué)生不僅能體會(huì)到方程思想的妙處，還能辯證地認(rèn)識(shí)各種解決方法之間的聯(lián)系，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在自主探索中也能得以有效發(fā)展.

教學(xué)思考

數(shù)學(xué)思想方法一般隱含在知識(shí)內(nèi)部或數(shù)學(xué)概念、定理的形成過(guò)程中，而精心編擬的教材常常會(huì)掩蓋知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程中所蘊(yùn)含的思想方法. 教師應(yīng)著力于知識(shí)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與探索，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，為學(xué)生的思維打開(kāi)一扇窗，啟發(fā)學(xué)生思維發(fā)展，讓學(xué)生通過(guò)自主思考、探索，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程，感知其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法等，將深層次的知識(shí)與思維的潛形態(tài)轉(zhuǎn)化為顯形態(tài).

總之，站在一定高度的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅能為課堂打開(kāi)一扇窗，還能為學(xué)生的思維提供更廣闊的空間，讓學(xué)生感知、體驗(yàn)、領(lǐng)悟教材所呈現(xiàn)的結(jié)論外，享受教育帶來(lái)的愉悅感.

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