立足微研究,提高復(fù)習(xí)效率

王勇

[摘? 要] 微研究是提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑. “微”并非力量薄弱之意，而是指找準(zhǔn)某個微小切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生深度參與的研究過程. 文章以“多變量”問題的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，具體從微專題的選擇、微研究行動的演繹與微專題復(fù)習(xí)的思考三方面展開闡述.

[關(guān)鍵詞] 微研究;復(fù)習(xí)教學(xué);“多變量”問題

傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)常以知識點(diǎn)作為專題設(shè)計主線，將能力點(diǎn)散布在各個問題中，通過一定的反復(fù)訓(xùn)練，以培養(yǎng)學(xué)生的解題能力. 雖然這種教學(xué)方式也能達(dá)到復(fù)習(xí)的任務(wù)目標(biāo)，但對引導(dǎo)學(xué)生深刻理解知識的本質(zhì)與內(nèi)涵、提升學(xué)生的思維能力、實(shí)現(xiàn)新舊知識概念內(nèi)化等效果較差，學(xué)生在這種復(fù)習(xí)教學(xué)方式下獲得的思維容量明顯不足. 因此，傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)與核心素養(yǎng)背景下的新高考所倡導(dǎo)的“知識選擇考，能力必須考”的理念并不契合.

為此，筆者對復(fù)習(xí)教學(xué)進(jìn)行了大量的實(shí)踐與研究，其中微研究復(fù)習(xí)方式取得了不錯的成效. 本文以“多變量”問題的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，具體從以下幾方面談?wù)勅绾瘟⒆阄⒀芯?，提高?fù)習(xí)效率.

微專題的選擇

“多變量”問題常因多元和換元靈活，對學(xué)生的思維要求較高等特點(diǎn)，導(dǎo)致不少學(xué)生發(fā)自內(nèi)心地懼怕此類問題. 究竟用怎樣的教學(xué)手段，才能打破學(xué)生沉寂的思維呢？經(jīng)過大量的實(shí)踐與分析，筆者研究發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的“以知識點(diǎn)為主”的專題復(fù)習(xí)方式，應(yīng)用在“多變量”問題上復(fù)習(xí)的效果較差，學(xué)生難以從根本上掌握知識的本質(zhì)，更談不上靈活應(yīng)用.

想要改變這種現(xiàn)狀，最好的辦法就是將傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)方式改變成“以能力點(diǎn)為主”的專題復(fù)習(xí)方式，通過微研究行動的開展，撬開禁錮學(xué)生思維的框架，從多維度發(fā)散學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性、深刻性等品質(zhì).

教師可緊扣某個需要突破的能力點(diǎn)問題，以微專題的形式進(jìn)行復(fù)習(xí)設(shè)計，把握精準(zhǔn)知識與能力的訓(xùn)練，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性、發(fā)散性以及靈活性等，讓學(xué)生在微專題復(fù)習(xí)中獲得良好的研究習(xí)慣.

選擇“多變量”問題作為微研究的范例，目的在于將微研究的價值定位在“一少一小一大”上. “少”主要是指復(fù)習(xí)目標(biāo)要少、精準(zhǔn)、明確，主攻一個目標(biāo);“小”是指選擇的課題必須小，通過有效追問的方式挖掘其本質(zhì);“大”是指須擴(kuò)大課堂的視野與思維等. 課堂立足微研究，通過思維寬度、速度與方向進(jìn)行有效訓(xùn)練，可促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

微研究行動的演繹

“多變量”微專題整合復(fù)習(xí)設(shè)計主要體現(xiàn)在“溫故知新”“釋疑拓展”“反饋提升”三個層次上，每一個層次都需要設(shè)置精確的功能定位與能級目標(biāo)，且所有設(shè)計都需要緊緊圍繞“多變量”問題的解題策略進(jìn)行. 教師可通過一個個彼此相關(guān)聯(lián)的問題的設(shè)計，讓學(xué)生收獲滿滿.

1. 溫故知新

根據(jù)教學(xué)目標(biāo)與學(xué)生的知識與能力基礎(chǔ)，有意識地設(shè)計符合學(xué)情的問題，讓學(xué)生在先行思考中嘗試解題，以獲得一定的成就感，同時讓學(xué)生在解題中提出一些疑問. 學(xué)生所提出的疑問是教學(xué)導(dǎo)航，對復(fù)習(xí)來說具有定向意義. 在課前，筆者給了學(xué)生三個需要先行解決的問題，要求學(xué)生獨(dú)立分析，并從不同角度說說解題思路.

問題1 若正實(shí)數(shù)m，n滿足mn+2m+n=4，求m+n的最小值.

問題2 設(shè)對于任意的m∈[1，2]，n∈[2，3]，不等式mn≤am2+n2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

問題3 若實(shí)數(shù)m，n滿足-n2=1，求3m2-2mn的最小值.

設(shè)計意圖 三個“雙變量”問題的設(shè)置，意在讓學(xué)生初步回顧并理解“多變量”問題，提取此類問題常用解法的信息，為深入復(fù)習(xí)奠定基礎(chǔ). 課前提出問題，意在讓學(xué)生主動提供更多的解題方法，并從眾多方法中提取一些優(yōu)化方法.

各小組成員交流自己的解題方法，組內(nèi)總結(jié)解題策略;小組展示解題策略后，由其他小組進(jìn)行補(bǔ)充，最后由教師進(jìn)行總結(jié)性點(diǎn)評，用時約一刻鐘.

學(xué)生提出的優(yōu)化的解題方法主要有以下幾種：

第一種，消元減元法. 如問題1，用n來表示m，構(gòu)造出基本不等式后便可輕松求解.

第二種，換元減元法. 如問題2，通過分離參數(shù)，形成a≥-，設(shè)t=，從而構(gòu)造出學(xué)生所熟悉的一元二次函數(shù)求最值的問題. 這里值得注意的是：求t的取值范圍，涉及數(shù)形結(jié)合思想與線性規(guī)劃法.

第三種，基本不等式法. 如問題1，將等式mn+2m+n=4轉(zhuǎn)化為（m+1）（2+n）=6，再從基本不等式的角度求最值. 再如問題3，將換元與基本不等式結(jié)合在一起進(jìn)行處理：根據(jù)題意可得3m2-2mn=. 當(dāng)n=0時，則3m2-2mn=12. 當(dāng)n≠0時，則3m2-2mn=. 令t=，則3m2-2mn==8+12. 令s=6-t，則3m2-2mn=12+≥+12=4+6.

第四種，方程思想. 如問題1，假設(shè)m+n=t，則n=t-m，將此式代入mn+2m+n=4后構(gòu)造新的方程，這里要注意正根的條件，通過根的分布情況求解. 再如問題3，令z=3m2-2mn，則n=，將此式代入-n2=1中，可得8m4-2（3z-2）m2+z2=0，從關(guān)于m2的方程有正數(shù)解出發(fā)，同樣能處理該問題.

最終，師生形成共識：解決此類問題的方法頗多，思維含量較高. 減元是解決“多變量”問題的核心. 在解題時，應(yīng)想方設(shè)法將“多變量”問題轉(zhuǎn)化為一元問題進(jìn)行處理.

2. 釋疑拓展

此環(huán)節(jié)在以上研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化問題的難度，以微研究的方式激活學(xué)生的思維，最后由教師點(diǎn)評問題的共性部分，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，使學(xué)生掌握本節(jié)課的知識與技能，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.

問題4 若x，y，z∈R，且x，y，z的和為1，x，y，z的平方和為3，則z的取值范圍是多少？

變式題：若x，y，z∈R，且x，y，z的和為1，x，y，z的平方和為3，則xyz的最大值是多少？

問題5 設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax，已知a≠0，在函數(shù)f（x）的圖象上取點(diǎn)A（x，f（x）），B（x，f（x）），使得x

設(shè)計意圖 基于以上研究，將“多變量”問題延伸到“三變量”與“隱性多變量”問題，意在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解此類問題常規(guī)的處理策略與方法，從一定意義上打破學(xué)生的思維定式，鼓勵學(xué)生求新求異，從多維度、多方向、多層次上提升思維的深度.

在此研究環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生以小組合作交流的方式進(jìn)行討論、分析，各小組總結(jié)匯報研究成果，教師針對學(xué)生呈現(xiàn)的研究成果進(jìn)行總結(jié)、點(diǎn)評，用時約25分鐘.

師：請各組說說問題4的解決方法.

組1：我們發(fā)現(xiàn)問題4提出的兩個條件都可以列為等式，因此我們首先想到了方程思想，即將y=1-x-z代入等式x2+y2+z2=3中，獲得方程x2+（z-1）x+z2-z-1=0，利用Δ≥0即可得到問題的答案. 這個解題過程雖然稍顯繁雜，但不需要從根的分布情況進(jìn)行討論，我們組成員都覺得挺實(shí)用的.

組2：你們這種解題方法缺乏含金量，來看看我們組的！

師：哦？這么自信？（學(xué)生笑）

組2：遇到求范圍的問題，首先想到的是建立不等式. 因此，我們組從基本不等式的角度進(jìn)行分析. 根據(jù)題意可知x2+y2+z2=3，由此可得不等式x2+y2=3-z2≥2xy;再根據(jù)x+y+z=1，可知x+y=1-z. 所以x2+2xy+y2=（1-z）2≤2（3-z2），解出不等式即可得到問題的答案.

師：確實(shí)不錯，這是一種可以應(yīng)用的解題方法. 其實(shí)組1和組2使用的方法的本質(zhì)是一樣的，都是將多元轉(zhuǎn)化為一元后解題. 還有其他解題方法嗎？

組3：其實(shí)從數(shù)形結(jié)合的角度也能解決本題，而且比較簡單.

師：哦？怎么想到數(shù)形結(jié)合這個方法的？具體怎么處理呢？我們洗耳恭聽. （學(xué)生都流露出了期待的目光）

組3：從二元一次方程和二元二次方程的幾何特征出發(fā)，將x2+y2=3-z2視為一個圓，同時將x+y=1-z視為一條直線，借助直線和圓的位置關(guān)系，非常容易就能得到本題的答案.

（學(xué)生贊同，并鼓掌）

師：非常好！組3學(xué)生從二元等式的幾何特征出發(fā)，為我們開辟了一條新的解題路徑.這種解題策略利用整體思想和數(shù)形結(jié)合思想能快速解決問題，簡便又高效，該解題策略值得大家細(xì)細(xì)品味并掌握. 既然大家的思維如此活躍，現(xiàn)在請大家繼續(xù)分組討論變式題并匯報成果.

生1：以上環(huán)節(jié)我們已經(jīng)獲得了z的取值范圍，這里只要知道關(guān)于z的函數(shù)式即可解題.

師：非常好！一語中的，繼續(xù)往下說.

生2：用z表示xyz？（懷疑的語氣）

師：具體該怎么做呢？

生1：用z表示xyz（肯定的語氣）. 由兩個等式可得xyz=z=z3-z2-z，然后用導(dǎo)數(shù)求最值.

師：不錯！這種解法其實(shí)也是將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，再利用函數(shù)的性質(zhì)求解. 接下來，我們一起來探索問題5，大家依然先小組合作交流，再匯報成果.

師：k==-a，令φ（x）=f′（x）-k=ex-，接下來該怎么轉(zhuǎn)化呢？

生3：接下來考慮將問題轉(zhuǎn)化成證明存在x∈（x，x）使φ（x）=0成立，也就是證明φ（x）=0在區(qū)間（x，x）內(nèi)有解.

師：若要證明φ（x）=0在區(qū)間（x，x）內(nèi)有解，就要觀察φ（x）與φ（x）的值，須從φ（x）=-[ex2-x1-（x-x）-1]與φ（x）=-[ex1-x2-（x-x）-1]進(jìn)行考慮，接下來該怎么處理呢？

生4：接下來就要分析φ（x）與φ（x）的值的大小.

（學(xué)生討論）

師：處理“多變量”問題，常用減元法，減元的目的在于建立一元方程或函數(shù)，以簡化“多變量”問題的難度.

生5（恍然大悟）：我們可令t=x-x或t=x-x，構(gòu)造函數(shù)F（t）=et-t-1，再用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值的大小.

……

師生共同總結(jié)：遇到同一函數(shù)中存在兩個獨(dú)立變量的問題時，?？赏ㄟ^換元、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造的策略解題. 如問題5，就是先將其條件轉(zhuǎn)化成含有x，x兩個獨(dú)立變量的等式;然后令t=x-x或t=x-x或t=等進(jìn)行換元;再構(gòu)造新函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決問題. 值得注意的是：這一類問題在考試中不一定會單獨(dú)出現(xiàn)，常散布在一些綜合題中.

3. 反饋提升

反饋提升是師生共同梳理知識、建構(gòu)框架的過程. 在此環(huán)節(jié)中，常在教師的安排下完成課堂檢測與評價工作，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生的知識技能以及思維能力提升. 這也是學(xué)生建模的重要階段，具有定法的重要意義. 在本節(jié)課中，筆者提供了兩道練習(xí)題，以訓(xùn)練學(xué)生的能力，用時約五分鐘.

練習(xí)題1：若x，y都是正實(shí)數(shù)，已知+=1，求xy的最小值.

練習(xí)題2：已知對于任意實(shí)數(shù)x>1，y>，不等式P≤+是恒成立的，求實(shí)數(shù)P的最大值.

拓展題：若xy-z=0，已知0<<，求的最大值.

設(shè)計意圖 同類型問題不僅用來鞏固學(xué)生對“多變量”問題的理解，更重要的是幫助學(xué)生建構(gòu)模型，提高學(xué)生的思辨能力. 上述兩道練習(xí)題和一道拓展題，具有由淺入深的梯度性，能幫助學(xué)生固化概念，內(nèi)化學(xué)生的解題能力，使學(xué)生的思維能力得以螺旋式上升，尤其是拓展題，為學(xué)有余力的學(xué)生提供了深層次思考的方向.

微專題復(fù)習(xí)的思考

1. 提升思維品質(zhì)

核心素養(yǎng)背景下的微研究復(fù)習(xí)教學(xué)關(guān)鍵在于通過小型的專題課堂，培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勇于思考、嚴(yán)謹(jǐn)周密的學(xué)習(xí)態(tài)度與科學(xué)精神. 數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維是凸顯數(shù)學(xué)能力的核心，若缺乏高水平的思維投入，則永遠(yuǎn)無法了解知識的本質(zhì).

微研究可以讓學(xué)生將零碎、松散或缺乏邏輯性的知識與思維聚集到一起，豐滿學(xué)生的認(rèn)知體系，讓學(xué)生體會在知識間的縱橫聯(lián)系中建模. 微研究復(fù)習(xí)教學(xué)與常規(guī)復(fù)習(xí)教學(xué)的區(qū)別之處在于微研究更體驗(yàn)“觀察、抽象、探索、猜想與論證”的過程，學(xué)生的思維在觀察與分析中變得更加充實(shí)、深刻、靈活.

2. 提升核心素養(yǎng)

從不同角度、不同要求與不同深度去思考數(shù)學(xué)問題，不僅能提升學(xué)生的思維品質(zhì)，還能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力、猜想能力、運(yùn)算能力與歸納總結(jié)能力等. 這些能力都是組成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素. 因此，微研究復(fù)習(xí)對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要價值.

課程設(shè)計是提升核心素養(yǎng)的重要載體，是數(shù)學(xué)文化背景下思維活動的起點(diǎn). 受教學(xué)任務(wù)與時間的局限，微研究復(fù)習(xí)無法追求研究方法的嚴(yán)密性，也不能達(dá)到學(xué)術(shù)研究的精湛與規(guī)范，只能在實(shí)施要求上下功夫，在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行局部研究，以聯(lián)系系統(tǒng)內(nèi)的知識為目標(biāo).

3. 暴露知識本質(zhì)

復(fù)習(xí)教學(xué)的實(shí)施建立在深度理解知識的基礎(chǔ)上，因此高水平的微研究離不開對知識的深刻理解.微研究的實(shí)施，關(guān)鍵在于開放式專題的設(shè)計，能讓學(xué)生充分感知知識本質(zhì). 尤其從不同角度對同一本質(zhì)問題的設(shè)置，能讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的魅力，使學(xué)生產(chǎn)生良好的情感態(tài)度與價值觀.

總之，核心素養(yǎng)背景下的微研究，需要教師帶領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光與思維去觀察、分析與表達(dá)，突破狹隘思維的限制，拓展思維寬度與深度，從真正意義上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與核心素養(yǎng).