HPM 視角下數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計探究
——以“一元一次方程”為例

濟(jì)南大學(xué) (250022) 周紅鈺 溫鳳桐

在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中融入數(shù)學(xué)史,一方面為提升學(xué)生文化素養(yǎng)提供了重要方式,另一方面也為發(fā)展素質(zhì)教育開辟了新的途徑. 本文從數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的角度出發(fā),以“一元一次方程”為例,圍繞“一元一次方程”的歷史形成與發(fā)展過程,進(jìn)行展開教學(xué)設(shè)計. 同時,在課堂教學(xué)的過程中充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的育人功能,注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感態(tài)度、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)思想方法等方面的培養(yǎng).

1 HPM 理論概述

華東師范大學(xué)汪曉勤教授對于HPM 視角的數(shù)學(xué)教學(xué)研究成果十分豐碩,他提出的HPM 數(shù)學(xué)教育理論,即“一個視角、兩座橋梁、三維目標(biāo)、四種方式、五項原則、六類價值”[1],也是本文進(jìn)行一元一次方程教學(xué)設(shè)計的理論依據(jù).

①一個視角: 歷史的視角. 對于某些知識點,按照教科書的邏輯順序進(jìn)行講解,學(xué)生很難理解,借助于數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史順序,能更好的引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)世界,跟隨數(shù)學(xué)家們的歷史足跡發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)而解決問題.

②兩座橋梁: HPM 視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)架起了兩座橋梁: 溝通歷史與現(xiàn)實的橋梁、溝通數(shù)學(xué)與人文的橋梁. 溝通歷史與現(xiàn)實的橋梁,體現(xiàn)了發(fā)生教學(xué)法的思想,有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 溝通數(shù)學(xué)與人文的橋梁,體現(xiàn)了科學(xué)人文精神,有助于培養(yǎng)學(xué)生必備品格[1].

③三維目標(biāo): 指教師方面的三個發(fā)展目標(biāo)——知識、信念和能力. HPM 視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn),還能夠促進(jìn)教師自身的發(fā)展.

④四種方式: 附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式. 這是汪曉勤教授提出的將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的四種方法.

⑤五項原則: 科學(xué)性、趣味性、新穎性、可學(xué)性、有效性.

⑥六類價值: 采用數(shù)學(xué)史進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué),對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識、方法、探究過程、文化、能力、德育等六方面有十分重要的教育價值.

2 一元一次方程教學(xué)活動設(shè)計

以人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》七年級上冊第三章第一節(jié)“從算式到方程”的教學(xué)過程為例, 選擇合適的數(shù)學(xué)史料,進(jìn)行數(shù)學(xué)史融入的教學(xué)設(shè)計.

2.1 以史搭橋,轉(zhuǎn)變思想

師: 中世紀(jì)時候有一位意大利的數(shù)學(xué)家斐波那契,在他的著作《計算之書》中記錄了許多的行程問題[2]. 其中就有一道“兩船相遇”問題,我們一起來看一下.

“兩船相遇”問題:A、B兩地相距480 km,甲船從A地到B地需行駛4 天,乙船從A地到B地需行駛6 天,兩船分別從A地和B地出發(fā),相向而行,如果乙船先行一天,甲船才準(zhǔn)備出發(fā),問他們幾天后可以相遇?

師: 大家能不能列算式計算一下這道題目呢?

生: 通過距離與時間可以分別求出甲船與乙船的行駛速度,分別為120km/天、80km/天,因為乙船先走一天,所以乙船先走了80km,那么剩下的400km 是兩人一起走的,所以需要

師: 很好,看來大家都會用已學(xué)知識來解決這個問題,但是大家有沒有發(fā)現(xiàn)列算式解決這個問題有點復(fù)雜呢?

(學(xué)生不約而同地點頭)

師: 所以,我們今天來學(xué)習(xí)一種新的解法(板書課題“從算式到方程”). 首先我們來看這個問題中涉及到哪些量,這些量有哪些等量關(guān)系呢?

生1: 已知甲、乙兩船的速度、AB兩地之間的距離.

生2: 甲乙兩船相向而行,所以甲乙兩船走的距離之和相加等于480km.

師: 對,那同學(xué)們覺得應(yīng)引入哪個未知量,能否用含有未知數(shù)的式子將相等關(guān)系表示出來呢?

生: 學(xué)生相互交流討論,通過教師引導(dǎo),設(shè)甲乙兩船x天后可以相遇,列出相應(yīng)方程:

師: 我們在探究數(shù)學(xué)問題時可以發(fā)現(xiàn),題目中的已知量與未知量之間往往都存在著一定的相等關(guān)系,這種相等關(guān)系可以用含有未知數(shù)的等式表示出來,這種含有未知數(shù)的等式我們把它叫做方程. 在方程這里,我們大腦中的概念從字母表示數(shù)進(jìn)化到了用字母表示未知數(shù)[3]. 同學(xué)們可不要小瞧了小小的未知數(shù)x,下面讓我們穿越一千多年走進(jìn)代數(shù)之父丟番圖,看看他與未知數(shù)又有著怎樣的故事呢?

多媒體展示丟番圖墓志銘:

“過路人! 這兒安葬著丟番圖. 下面的數(shù)目可以告訴您他活了多少歲.

他生命的六分之一是幸福的童年.

再活十二分之一,頰上長出了細(xì)細(xì)的胡須. 又過了生命的七分之一他才結(jié)婚.

再過了五年他感到很幸福,得了一個兒子. 可是這孩子光芒燦爛的生命只有他父親的一半.

兒子死后,老人在悲哀中活了四年,完畢了塵世的生涯.

師: 丟番圖的一生可以濃縮為一篇墓志銘,同學(xué)們通過這篇墓志銘,你能用含有未知數(shù)的式子表示出丟番圖活了多少歲嗎?

學(xué)生獨立思考,快速的在紙上列出方程.

生: 設(shè)丟番圖活了x歲,列方程:

師: 大家回答的非常準(zhǔn)確! 通過設(shè)未知數(shù)的方式,我們可以按照順向思維去解決實際問題了.

設(shè)計意圖選用兩道歷史名題進(jìn)行導(dǎo)入,但是并沒有全部照搬,而是按照學(xué)生的實際情況進(jìn)行了相應(yīng)的改變與整合,利用多媒體展示出兩道有趣的題目,引導(dǎo)學(xué)生通過思考解決問題. 采用順應(yīng)式的方式將數(shù)學(xué)史融入其中.

2.2 追本溯源,加深理解

師: 用字母表示未知數(shù),并且用含有未知數(shù)的等式表示出等量關(guān)系,有助于我們更加簡便的解決問題.觀察剛才列出的兩個方程,討論一下他們有什么共同點呢?

生1: 這三個式子都含有未知數(shù),都是等式;

生2: 等號兩邊都是整式;

生3: 未知數(shù)的次數(shù)都是1.

師生共同歸納總結(jié)一元一次方程的概念: 只含有一個未知數(shù)(元),未知數(shù)的次數(shù)都是1,等號兩邊都是整式,這樣的方程叫做一元一次方程.

師(追問): 同學(xué)們“元”與“次”分別指的什么呢?

生:“元”是指未知數(shù),“次”是指未知數(shù)的次數(shù).

師: 不錯,通過我們的討論,我們對于方程有了更為深刻的理解,其實方程有著悠久的發(fā)展歷史.

多媒體展示方程發(fā)展史: 公元820 年左右,阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米曾寫過一本《對消與還原》的書,重點討論方程的解法,也就是我們后面要學(xué)習(xí)的合并同類項和移項[3]. 17世紀(jì), 法國數(shù)學(xué)家笛卡爾最早提出用字母x、y、z表示未知數(shù),通過不斷的簡化改進(jìn),才造就我們現(xiàn)在見到的方程形式.

我國古代數(shù)學(xué)家在方程的研究方面也有著卓越的成就.著名的中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有專門的一章研究方程. 宋元時期, 中國的數(shù)學(xué)家們創(chuàng)立了“天元術(shù)”, 用“天元”來表示未知數(shù)然后列出方程. 數(shù)學(xué)家李冶的著作《測圓海鏡》是這種方法的代表作,書中說的“立天元一”的思想相當(dāng)于現(xiàn)在的“設(shè)未知數(shù)x”. 我國古代用來表示未知數(shù)的還有“地元”、“人元”、“物元”等[2].

設(shè)計意圖基于對方程、一元一次方程的描述性定義,在掌握知識的同時,引導(dǎo)學(xué)生感悟古人創(chuàng)造方程的智慧,開闊文化視野,明晰方程源起,喚起學(xué)生的愛國之情,在潛移默化中進(jìn)行德育教育.

2.3 名題再現(xiàn),鞏固新知

練習(xí)1:《九章算術(shù)》是中國古代一部重要的數(shù)學(xué)典籍,被視為“算經(jīng)之首”. 其中有這樣一個問題: 今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百. 問人數(shù),金價各幾何?其大意是:

假設(shè)合伙買金,每人出400 錢,還剩余3400 錢; 每人出300 錢,還剩余100 錢. 問人數(shù),金價各是多少? 如果設(shè)有x個人,根據(jù)題意列出方程.

練習(xí)2: 中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載:“三百七十八里關(guān),初日健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān)”[4]. 其大意是, 有人要去某關(guān)口, 路程為378里,第一天健步行走,從第二天起,由于腳痛,每天走的路程都為前一天的一半,一共走了六天才到達(dá)目的地,則此人第六天走的路程為多少? 請用含有未知數(shù)的式子表示.

學(xué)生獨立思考,列出相應(yīng)方程,師生共同給出答案,總結(jié)做題方法:

設(shè)計意圖通過兩道歷史名題,激發(fā)學(xué)生的探究欲望. 從《九章算術(shù)》與《算法統(tǒng)宗》中選取兩個問題,一方面體現(xiàn)出方程與實際生活的聯(lián)系,向?qū)W生滲透方程思想,總結(jié)做題方法;另一方面從史學(xué)角度引導(dǎo)學(xué)生對于方程以及一元一次方程定義的深層次理解,同時體會到我國古代數(shù)學(xué)家對于方程的研究,增強民族自豪感.

2.4 史料擴(kuò)展,延伸學(xué)習(xí)

師: 同學(xué)們,經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲呢?

生: 學(xué)習(xí)了一元一次方程的定義,理解了“元”與“次”的含義

生: 我知道了方程的來源,數(shù)學(xué)家們研究方程是為了更簡便的解決問題

生: 我認(rèn)識到許多數(shù)學(xué)家以及他們的偉大成就

師: 看來同學(xué)們今天收獲頗豐,那么課下希望同學(xué)們能夠繼續(xù)收集與一元一次方程有關(guān)的歷史故事, 可以以手抄報、繪畫等形式在下次上課時向我們大家展示,期待大家的作品!

設(shè)計意圖將數(shù)學(xué)史教學(xué)由課上延伸至課下,豐富學(xué)生課余生活的同時,激發(fā)學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,改善學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感態(tài)度. 讓學(xué)生在搜集與閱讀數(shù)學(xué)史故事的過程中,加深對于方程的理解,汲取數(shù)學(xué)文化營養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生動態(tài)的數(shù)學(xué)觀,感受鮮活的數(shù)學(xué)知識.

3 教學(xué)設(shè)計立意解析

此教學(xué)設(shè)計借助改編的數(shù)學(xué)史名題,創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知的問題情境,由此導(dǎo)入新課. 采用順應(yīng)式的方式將數(shù)學(xué)史融入其中,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時引導(dǎo)學(xué)生通過思考解決問題,調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性. 以“行程問題”為載體,通過層層設(shè)疑,使學(xué)生思維逐步由算術(shù)思維轉(zhuǎn)變到代數(shù)思維上來,同時再以“丟番圖墓志銘問題”跟進(jìn),讓學(xué)生在解決問題的過程中體會到方程的便捷性與必要性,無形中滲透方程思想. 在新知探究環(huán)節(jié),通過多媒體展示方程發(fā)展歷史,一方面加深學(xué)生對于方程的理解與認(rèn)識,助力學(xué)生厘清“元”與“次”的含義, 另一方面, 擴(kuò)寬學(xué)生的數(shù)學(xué)文化視野,感受中外數(shù)學(xué)家對于方程發(fā)展的不懈努力,引導(dǎo)學(xué)生體會到“一元一次方程”名稱中彰顯了我國古人的智慧與成就,逐步構(gòu)建學(xué)生對于方程的認(rèn)知. 在一元一次方程應(yīng)用的過程中,選取《九章算術(shù)》與《算法統(tǒng)宗》中的歷史名題,借此凸顯一元一次方程具有多樣的歷史文化內(nèi)涵,符合命題規(guī)律,增強學(xué)生文化素養(yǎng).