數(shù)學(xué)運(yùn)算策略的“三板斧”

江西省修水縣第一中學(xué) (332400) 劉敏

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一,如何正確理解數(shù)學(xué)運(yùn)算,如何提高學(xué)生的運(yùn)算能力,是我們?cè)谝痪€教學(xué)中急需解決的問(wèn)題;筆者十多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解不透徹,運(yùn)算效率低下,只注重結(jié)果,不注重解題思路和解題邏輯;下面筆者通過(guò)一些實(shí)例就如何掌握一些常見(jiàn)的運(yùn)算策略做出闡述,望能拋磚引玉!

1 通法不通,回歸本質(zhì)

案例分析: 此解法通過(guò)消元,求導(dǎo)取得最值,是一種常規(guī)解法,也是一種通法,貌似毫無(wú)瑕疵,但是計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜,對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求很高,此時(shí),通過(guò)對(duì)該試題的深層次的分析和思考發(fā)現(xiàn),這道題的結(jié)構(gòu)和常見(jiàn)的均值不等式應(yīng)用聯(lián)系緊密. 如果選擇雙換元思想,問(wèn)題則迎刃而解.

2 變換角度,優(yōu)化運(yùn)算

案例分析: 此解法是通過(guò)變二元為一元、再換元,轉(zhuǎn)化為熟知的一元問(wèn)題,再次換元利用均值不等式求得最值,此方法要求學(xué)生熟練掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想和具備較強(qiáng)的計(jì)算能力,在較短的時(shí)間內(nèi)完成困難重重,也就是第一板斧有些失效了. 我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō):“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休”,既然從代數(shù)的角度運(yùn)算很困難,那我們換一個(gè)角度,從幾何的角度看.

利用幾何意義來(lái)求,直線AB過(guò)定點(diǎn)Q(a,b),與x軸,y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)表示的幾何意義就是ΔABC的周長(zhǎng),設(shè)ΔOMN的周長(zhǎng)為l,由于OC是∠MON的平分線,E,F分別為切點(diǎn),ΔABC的旁切圓為圓o,如圖1

圖1

圖2

圖3

3 對(duì)比分析,反思總結(jié)

案例3在ΔABC中, 設(shè)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c, 記ΔABC的面積為S,且4a2=b2+2c2,則的最大值為_(kāi)__.

案例分析: 解法1 通過(guò)作高AH輔助線找到高h(yuǎn)和邊長(zhǎng)a的關(guān)系式,此方法對(duì)學(xué)生的直觀想象能力要求很高,不容易想到,似乎我們的第二板斧也失效了,再看看第一板斧的解法二和解法三; 也是學(xué)生最容易想到的.解法2 通過(guò)觀察已知條件,變?nèi)獮槎?再利用三角換元,最后轉(zhuǎn)化為只含一元的二次函數(shù)模型,然而這種轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法太難, 同時(shí)對(duì)學(xué)生的代數(shù)計(jì)算能力要求比較高.解法3 通過(guò)消元變二元為一元,再換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù),跟解法二一樣,這種轉(zhuǎn)化與化歸的思想需要學(xué)生在解題中多運(yùn)用. 但是仍然會(huì)有很大難度,對(duì)于這種題型,有沒(méi)有一種可以讓大部分同學(xué)都可以有信心做出來(lái)的方法呢? 最好是能在課本中找到一種更本質(zhì)的方法. 答案是有的,果不其然,在人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)A 版選修4-4 知識(shí)模塊坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一講“坐標(biāo)系”第1 節(jié)“平面直角坐標(biāo)系”中的例1,課本中給出的方法是利用坐標(biāo)法求解,借助坐標(biāo)法我們來(lái)看解法四.

解法四:

如果我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中告知學(xué)生多歸納總結(jié),不斷反思,我們就可以得到這一類(lèi)題的一個(gè)快速而且準(zhǔn)確的解題模板,波利亞說(shuō)過(guò):“當(dāng)我們成功的解決了一個(gè)好問(wèn)題之后,我們應(yīng)當(dāng)去尋找更多的好問(wèn)題,好問(wèn)題如同某些蘑菇有些相像,它們能成堆的生長(zhǎng),找到一個(gè)以后,應(yīng)當(dāng)在周?chē)艺?很可能在附近就有好幾個(gè)”,就是需要能夠用程序化的思想理解與表達(dá)問(wèn)題. 這就是第三板斧——模型化策略

4 教學(xué)反思

數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段. 數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理,是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ). 現(xiàn)在的很多高中生計(jì)算能力很差,往往認(rèn)為計(jì)算就是“死算”,而不注重多個(gè)思路的歸納總結(jié),導(dǎo)致真正考試的時(shí)候要么不會(huì),要么會(huì)而不全;新課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)運(yùn)算作為六大核心素養(yǎng)之一,培養(yǎng)高中生運(yùn)算能力迫在眉睫,廣大中學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范化思考問(wèn)題,培養(yǎng)優(yōu)秀的運(yùn)算品質(zhì),只有這樣,才能真正讓素養(yǎng)落地.