問題導(dǎo)學(xué)式數(shù)學(xué)課堂的實(shí)施*
——以“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)”為例

廣東省深圳市羅湖高級(jí)中學(xué) (518000) 朱叢云

發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)是核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的課堂教學(xué)的重要特征;學(xué)會(huì)用已有的知識(shí)解決實(shí)際問題,在各種情境下運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí),不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí),更幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考、解決問題. 以“楊輝三角與二項(xiàng)式性質(zhì)”為例,談?wù)剢栴}導(dǎo)學(xué)下的情境式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì).

“楊輝三角”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)重要的研究成果之一,它與二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)緊密結(jié)合,研究楊輝三角,可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)的認(rèn)識(shí),在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,“楊輝三角”很好地提供了創(chuàng)造情境的題材.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂版)》提出,情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題,引發(fā)學(xué)生思考與交流,形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 教學(xué)情境和數(shù)學(xué)問題是多樣的、多層次的. 教學(xué)情境包括: 現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境,每種情境可以分為熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在學(xué)生與情境、問題的有互動(dòng)中得到提升. 在教學(xué)活動(dòng)中,應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境和問題, 引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光生進(jìn)一步理解現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題,使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言描述問題,用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題. 在問題解決的過程中,理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

從知識(shí)的上下位關(guān)系看,學(xué)生已經(jīng)熟悉了二項(xiàng)展開式及其通項(xiàng),并且對(duì)二項(xiàng)展開式進(jìn)行細(xì)致分析,了解了二項(xiàng)式系數(shù)的相關(guān)概念. 本節(jié)課就在此基礎(chǔ)上將二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)和“楊輝三角”結(jié)合起來,建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系.

在本節(jié)課的教學(xué)組織過程中, 利用小組自學(xué)、對(duì)學(xué)、群學(xué)、上臺(tái)展示、評(píng)價(jià)超越的方式,建構(gòu)數(shù)學(xué)情境,設(shè)計(jì)自主學(xué)習(xí)單將教學(xué)內(nèi)容前置,以問題的形式建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí),感受數(shù)學(xué)文化,拓展教學(xué)情境,借助表現(xiàn)性教學(xué)的理念,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)解決數(shù)學(xué)問題的過程,從而實(shí)現(xiàn)新課改提出的在情境中拓展,在表達(dá)中提升.

以下為新教材普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理“4.2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)”的教學(xué)案例及其思考.

1 教學(xué)案例

問題1: 觀察楊輝三角上下行的關(guān)系,你能根據(jù)楊輝三角的上一行寫出下一行嗎?

追問: 觀察楊輝三角的每個(gè)數(shù)和組合數(shù)之間的聯(lián)系,你能將楊輝三角的每一個(gè)數(shù)用組合數(shù)的形式寫出來嗎? 楊輝三角里的數(shù)字是肩上的兩個(gè)數(shù)的和,寫成組合數(shù)的形式怎么表示呢?

設(shè)計(jì)意圖: 列出楊輝三角的部分行后,借助上下行的規(guī)律, 讓學(xué)生觀察到楊輝三角里的數(shù)字是肩上的兩個(gè)數(shù)的和,通過遞推的思想可以寫出楊輝三角的任一行.

問題2: 觀察楊輝三角的任意一行, 與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)有什么關(guān)系呢? 考慮每一行的增減性,從左向右,二項(xiàng)式系數(shù)是怎么變化的呢? 每一行的二項(xiàng)式系數(shù)何時(shí)取得最大值? 你能用函數(shù)的思想統(tǒng)一描述這些性質(zhì)嗎?

設(shè)計(jì)意圖: 每一行從左到右的二項(xiàng)式系數(shù)就是一個(gè)離散的函數(shù),離散的函數(shù)左右兩邊是對(duì)稱的,在中間取得最大值.從函數(shù)角度研究問題時(shí),可以畫出它的圖象,利用結(jié)合直觀,數(shù)形結(jié)合地進(jìn)行思考,這對(duì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律,形成證明思路等都有好處.

問題3: 楊輝三角的第一行的系數(shù)之和等于21第二行的系數(shù)之和等于22, 第三行的系數(shù)之和等于23, ……第n行的系數(shù)之和等于多少? 你能證明你的猜想嗎? 證明:C0n+C1n+C2n+···+Cnn=2n.

問題4: 以第6 行為例, 偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和有什么關(guān)系呢? 以第n行為例,二項(xiàng)展開式中, 偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的與奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和有什么關(guān)系呢? 證明:C0n+C2n+C4n+···=C1n+C3n+C5n+···

設(shè)計(jì)意圖: 在二項(xiàng)式定理(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-b2+···+Cknan-kbk+···+Cnnbn中,令a=-1,b=1,則得到每一行的系數(shù)之和為0,即可得出二項(xiàng)式展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和相等. 是問題3 的遞進(jìn)式表達(dá).

問題5: 閱讀課本,觀察楊輝三角,你還能找出哪些規(guī)律?

設(shè)計(jì)意圖: 開放性的問題,可以激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步研究楊輝三角的興趣.

通過對(duì)楊輝三角隱藏內(nèi)容和關(guān)聯(lián)知識(shí)的探索,學(xué)生發(fā)現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)菲波納契數(shù)列,三角形數(shù)、正方形數(shù),發(fā)現(xiàn)分形三角形,高階等差數(shù)列等.

學(xué)生進(jìn)一步加深了對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)性質(zhì)的運(yùn)用. 本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā),歸納數(shù)學(xué)思想,從熟悉的情境中設(shè)計(jì)出合適的問題,幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué). 如何進(jìn)一步升華知識(shí),拓展內(nèi)容,讓學(xué)生在關(guān)聯(lián)的情境和綜合的情境中應(yīng)用楊輝三角解決問題呢? 為此,我進(jìn)一步拓展了教學(xué)設(shè)計(jì). 由于這兩個(gè)問題是有挑戰(zhàn)性和趣味性的,在實(shí)際教學(xué)過程中,學(xué)生的好奇心被激發(fā)出來,更加積極主動(dòng).

在關(guān)聯(lián)的情境中解決數(shù)學(xué)問題(與二項(xiàng)式定理關(guān)聯(lián)的路徑問題).

問題6: 如圖是城市的部分街道圖. 縱橫各有五條路,如果從A處走到B處(只能由北到南,由西向東),

(1)請(qǐng)?jiān)诟鹘徊纥c(diǎn)標(biāo)上到達(dá)那里的方法數(shù).

(2)如果從A處走到B處(只能由北到南,由西向東)有多少種不同的走法?

生1: 到達(dá)各交叉點(diǎn)標(biāo)上的路徑數(shù)可以標(biāo)注出來,可以一條條地?cái)?shù)出來,但是比較難數(shù)清楚.

師: 是的,但是我們可以先看幾個(gè)交點(diǎn),數(shù)幾條看看. 向右數(shù)第一個(gè)點(diǎn)是1,第二個(gè)點(diǎn)也是1,第三個(gè)點(diǎn)也是1,但是右下方的第一個(gè)點(diǎn)就會(huì)有兩條路徑,是上面方法數(shù)和右邊的方法數(shù)的.

可以轉(zhuǎn)化為求橫線和縱線的排列問題.

生2: 我們把到達(dá)那里的方法數(shù)標(biāo)注出來,這些數(shù)字的排列與楊輝三角中的數(shù)字排列非常的相似. 但我也說不清楚是怎么樣的相似.

師: 那我們不妨把這個(gè)正方形繞著中心點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°,看看有什么規(guī)律?

生2: 哦,我發(fā)現(xiàn)了,轉(zhuǎn)動(dòng)后每行數(shù)字的排列就是楊輝三角中各行數(shù)字的排列.

師: 大家應(yīng)該初步感受到了楊輝三角的魅力了,可為什么數(shù)字的排陣就是楊輝三角呢? 我們發(fā)現(xiàn)在算路徑數(shù)的時(shí)候用的方法是遞推,這個(gè)遞推和楊輝三角中的遞推有什么相似之處呢?

生3: 這個(gè)遞推的方法和楊輝三角中的規(guī)律“某個(gè)數(shù)字等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字之和”是一樣的.

師: 對(duì)了, 這就能解釋縱橫線路圖的數(shù)字為什么是楊輝三角的每一排的數(shù)字了. 那么從A處走到B處的走法就是70 了.

在綜合的情境中解決數(shù)學(xué)問題(彈子游戲). 設(shè)計(jì)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題是有挑戰(zhàn)性的,也為教師的實(shí)踐創(chuàng)新提供了平臺(tái). 從數(shù)學(xué)與生活的角度,提出優(yōu)秀的數(shù)學(xué)問題,可以幫助學(xué)生更好地提升數(shù)學(xué)素養(yǎng). 如圖,在一塊傾斜的木板上,釘上一些正六角形小木塊,在它們中間留下一些通道,從上部的漏斗直通到下部的長(zhǎng)方形框子. 把小彈子倒在漏斗里,它首先會(huì)通過中間的一個(gè)通道落到第二層六角板上面(有幾個(gè)通道就算第幾層),以后,再落到六角板的左邊或右邊的兩個(gè)豎直通道里去.

問題7: 如果有C0n+C1n+C2n+···+Cnn=2n小彈子落入第n層從左到右數(shù)第r個(gè)通道的可能性是多少? 如果設(shè)置獎(jiǎng)金,兩邊的獎(jiǎng)金高還是中間的獎(jiǎng)金高?

師: 這個(gè)問題和縱橫線路圖問題有什么相同之處?

生: 彈子每次遇到六角板的端點(diǎn)都有兩選擇,而在每個(gè)端點(diǎn)的路徑數(shù)就等于它肩上的兩個(gè)端點(diǎn)處的數(shù)字之和.

設(shè)計(jì)意圖: 彈子通過2n個(gè)通道,分布也就是楊輝三角的情形,分析方法也是通過“某個(gè)數(shù)字等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字之和”. 與上一個(gè)縱橫線路圖比,問題的情境更加綜合,建構(gòu)數(shù)學(xué)的想法卻是一樣的. 從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí),最終理解生活中與數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)的問題. 這種用數(shù)學(xué)的思維和眼光發(fā)現(xiàn)問題解決問題的訓(xùn)練,可以很好地激發(fā)學(xué)生的興趣,提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

2 教學(xué)反思

挖掘教學(xué)內(nèi)容的縱深,在情境中拓展,在問題中引申,才能幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)的素養(yǎng). 現(xiàn)實(shí)生活為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了大量的生活情境,從數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā),建立模型,并優(yōu)化解決策略,幫助學(xué)生利用已有數(shù)學(xué)知識(shí)在情境中解決問題.

2.1 基于情境,問題導(dǎo)學(xué),引領(lǐng)學(xué)生思考

新一輪數(shù)學(xué)課程改革之后,數(shù)學(xué)的教學(xué)需要提升學(xué)生的四基四能,即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力. 傳統(tǒng)雙基主要指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)論性知識(shí),新的雙基主要指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程性體驗(yàn)和感悟,這其中最重要的就是數(shù)學(xué)學(xué)科思維. 因此,數(shù)學(xué)教學(xué)不僅應(yīng)教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí),更應(yīng)教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)思考. 創(chuàng)設(shè)情境,幫助學(xué)生感悟教學(xué)內(nèi)容. 課堂教學(xué)中需要有問題意識(shí),突出問題導(dǎo)向,通過問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí).

2.1 重視情境,考教銜接,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

通過對(duì)2022 年新高考1 卷數(shù)學(xué)分析,22 道試題中20 道題數(shù)學(xué)情境、1 道題生活情境、1 道題科學(xué)情境,而新高考2卷中19 道題數(shù)學(xué)情境、2 道生活情境、1 道科學(xué)情境,高考數(shù)學(xué)題目呈現(xiàn)出“無(wú)情境不成題”的試題特點(diǎn),在平時(shí)的教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)通過數(shù)學(xué)情境引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).

2.3 創(chuàng)設(shè)情境,發(fā)展解決問題能力,培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

數(shù)學(xué)探究作為貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要要求,應(yīng)當(dāng)滲透到教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中, 教學(xué)活動(dòng)除了平時(shí)的通過練習(xí)鞏固提升,還應(yīng)適當(dāng)通過問題化情境式教學(xué)引領(lǐng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.情境來源于課堂知識(shí)的問題化,來源于對(duì)生活的理解和觀察.教師在這部分的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)主動(dòng)思考,依托教學(xué)內(nèi)容,創(chuàng)設(shè)情境,讓數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)出從知識(shí)出發(fā),拓展到情境再回歸總結(jié)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的挖掘深入的過程.