楊輝三角中的“幾何圖形”

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆

楊輝,是我國(guó)南宋時(shí)期一位杰出的數(shù)學(xué)家。在他所著的《詳解九章算法》一書(shū)中,畫(huà)了一張表示二項(xiàng)式展開(kāi)后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形,現(xiàn)在簡(jiǎn)稱為“楊輝三角”,它是數(shù)學(xué)史上的一大重要研究成果。

一般地,楊輝三角是指如下的圖形：

圖1

從上面的圖形中,很容易發(fā)現(xiàn),這個(gè)三角形的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的,而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加。例如,2=1+1,3=1+2,4=1+3,6=3+3,等等。在一般情形下,若令=0,則有(r=1,2,…,n),這個(gè)等式被稱為楊輝恒等式,它是楊輝三角最基本的性質(zhì)。

當(dāng)我們把楊輝三角中的上下左右相連的部分?jǐn)?shù)看成一個(gè)獨(dú)立的整體,那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)一些非常有趣的“幾何圖形”,從而挖掘出楊輝三角“形”的秘密。

一、楊輝三角中的“三角形”

例1在圖2所示的“三角形”中,第7行最中間的數(shù)是__。

圖2

解：因?yàn)镃=1,C=3,C=10,所以此“三角形”中第1行、第3行、第5行最中間的數(shù)依次應(yīng)是楊輝三角中的第2行第1個(gè)數(shù)、第4行第2個(gè)數(shù)、第6行第3個(gè)數(shù),由此可知,此“三角形”中的第7行最中間的數(shù)應(yīng)是楊輝三角中的第8行第4個(gè)數(shù),即為C=

點(diǎn)評(píng)：求解此題關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是找出第7行是楊輝三角中的第幾行,二是找出最中間的數(shù)是楊輝三角中的第幾行的第幾個(gè)數(shù)。只有找出這兩個(gè)結(jié)果,才能順利解題。

二、楊輝三角中的“梯形”

例2在圖3所示的“梯形”中,第8行的第2個(gè)數(shù)是__。

圖3

解：因?yàn)镃=3,所以此“梯形”中第1行的第2個(gè)數(shù)應(yīng)是楊輝三角中的第1+3=4行的第3個(gè)數(shù),由此可知,此“梯形”中的第8行的第2個(gè)數(shù)應(yīng)是楊輝三角中的第8+3=11行的第3個(gè)數(shù),即為

點(diǎn)評(píng)：由此“梯形”中第1行的第2個(gè)數(shù)入手,找出它在楊輝三角中的具體位置,是求解此題的關(guān)鍵。

三、楊輝三角中的“平行四邊形”

例3在圖4所示的“平行四邊形”中,第6行的第1個(gè)數(shù)是__。

圖4

解：因?yàn)镃=4,C=10,C=20,C=35,所以此“平行四邊形”中的前四行的第1個(gè)數(shù)依次應(yīng)是楊輝三角中的第5行的第2個(gè)數(shù)、第6行的第3個(gè)數(shù)、第7行的第4個(gè)數(shù)、第8行的第5個(gè)數(shù),由此可知,此“平行四邊形”中的第6行的第1個(gè)數(shù)應(yīng)是楊輝三角中的第10行的第7個(gè)數(shù),即

點(diǎn)評(píng)：如果從第2行起,移動(dòng)每一個(gè)數(shù),并將它們與第1行的各個(gè)數(shù)對(duì)齊,那么此“平行四邊形”就變成了“矩形”,這樣一變,圖中的規(guī)律便變得隱蔽起來(lái),從而題目的難度將會(huì)增加。

四、楊輝三角中的“菱形”

例4在圖5所示的菱形中,第(5)個(gè)“菱形”是__。

圖5

解：由前4個(gè)“菱形”可知,第(5)個(gè)“菱形”最上面的數(shù)應(yīng)為5,第2行的兩個(gè)數(shù)應(yīng)為15,6,最下面的數(shù)應(yīng)為15+6=21。

點(diǎn)評(píng)：此題給出的前4個(gè)“菱形”,具有明顯的規(guī)律性：(1)每個(gè)“菱形”的第1行是按順序排列的自然數(shù);(2)每個(gè)“菱形”右上斜邊是連續(xù)的兩個(gè)數(shù);(3)從第2個(gè)“菱形”開(kāi)始,后面每1個(gè)“菱形”第2行的第1個(gè)數(shù)是前1個(gè)“菱形”最下面的數(shù)。

五、楊輝三角中的“六邊形”

例5在圖6所示的“六邊形”中,第(4)個(gè)“六邊形”是__。

圖6

解：由前3個(gè)“六邊形”可知,第4個(gè)“六邊形”第1行的兩個(gè)數(shù)應(yīng)為35,35,在楊輝三角中找出這兩個(gè)數(shù)的位置以及下面兩行相鄰的數(shù),即得此“六邊形”中第(4)個(gè)“六邊形”是：

點(diǎn)評(píng)：按照題中給出的前3個(gè)“六邊形”,寫(xiě)出第(4)個(gè)“六邊形”的第1行很容易,關(guān)鍵是如何找出第2行的第1個(gè)(或第3個(gè))數(shù)。對(duì)此可以利用“還原法”和“補(bǔ)數(shù)法”完成,即將題中給出的3個(gè)“六邊形”先還原為楊輝三角,然后補(bǔ)上所需要的數(shù),即可得到答案。

六、“倒立”的楊輝三角

例6圖7是“倒立”的楊輝三角,則第(4)個(gè)“倒立”的楊輝三角最下面的數(shù)是__。

圖7

解：由前3個(gè)圖示可知,第4個(gè)“倒立”的楊輝三角的第1行的五個(gè)數(shù)應(yīng)為1,4,6,4,1,由此可知第2行的四個(gè)數(shù)應(yīng)為5,10,10,5,第3行的三個(gè)數(shù)應(yīng)為15,20,15,第4行的兩個(gè)數(shù)應(yīng)為35,35,第5行的一個(gè)數(shù)應(yīng)為70,所以第(4)個(gè)“倒立”的楊輝三角最下面的數(shù)是70。

點(diǎn)評(píng)：如果由前3個(gè)圖示給出的最下面的數(shù)2,6,20,去猜測(cè)或者求解第(4)個(gè)“倒立”的楊輝三角中最下面的數(shù),那么難度會(huì)很大,但是由上而下去看,則規(guī)律明顯,雖然要一行一行去推出每個(gè)數(shù),卻能穩(wěn)操勝券。

七、“側(cè)放”的楊輝三角

例7圖8是“側(cè)放”的楊輝三角,則第(4)個(gè)“側(cè)放”的楊輝三角最前面的數(shù)是__。

圖8

解：由給出的圖示可知,第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)“側(cè)放”的楊輝三角最前面的數(shù)依次是1,4,15,因?yàn)镃=1,C=4,C=15,所以它們應(yīng)是楊輝三角第3行的第1個(gè)數(shù)、第5行的第2個(gè)數(shù)、第7行的第3個(gè)數(shù),由此可知,第(4)個(gè)“側(cè)放”的楊輝三角最前面的數(shù)應(yīng)是楊輝三角第9行的第4個(gè)數(shù),即為C=

點(diǎn)評(píng)：一般地,按照此題“側(cè)放”的楊輝三角,第(n)個(gè)最前面的數(shù)是

八、“X型”的楊輝三角

例8圖9是“X型”的楊輝三角,則第(4)個(gè)“X型”的楊輝三角最中間的數(shù)是__。

圖9

解：由給出的圖示可知,第(1)個(gè)、第(2)個(gè)、第(3)個(gè)“X型”的楊輝三角最中間的數(shù)依次是3,10,35,因?yàn)镃=3,C=10,C=35,所以它們應(yīng)是楊輝三角第4行的第2個(gè)數(shù)、第6行的第3個(gè)數(shù)、第8行的第4個(gè)數(shù),由此可知,第(4)個(gè)“X型”的楊輝三角最中間的數(shù)應(yīng)是楊輝三角中第10行的第5個(gè)數(shù),即為C

點(diǎn)評(píng)：“X型”的楊輝三角,可以看成是由一個(gè)楊輝三角中的“三角形”與另一個(gè)“倒立”的楊輝三角合并得到的,因此,此題可以分解為下列兩個(gè)子問(wèn)題。

變式1：在圖10所示的“三角形”中,第(4)個(gè)“三角形”最上面的數(shù)是__。

圖10

變式2：圖11是“倒立”的楊輝三角,則第(4)個(gè)“倒立”的楊輝三角最下面的數(shù)是__。

圖11

楊輝三角是我國(guó)古代數(shù)學(xué)傳承下來(lái)的珍貴文化,它形中有數(shù),數(shù)中有形,看似簡(jiǎn)單平凡,卻內(nèi)涵十分豐富,是數(shù)與形結(jié)合的最佳產(chǎn)物。當(dāng)我們走進(jìn)楊輝三角,對(duì)它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和形狀進(jìn)一步探究時(shí),就會(huì)挖掘出許多有價(jià)值的智力資源,從而不斷提升我們的解題智慧。