一種三角換元的代數(shù)形式及其應(yīng)用

■江西省豐城中學(xué) 吳愛(ài)龍 聶燕鳳

在一定條件下,求二元函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí),常遇到形如a+b=1,a＞0,b＞0之類(lèi)的約束條件,聯(lián)想到三角中的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1,可令a=cos2θ,于是有但由于其中涉及新教材中早已刪了的同角三角函數(shù)的其他三角關(guān)系secθ·cosθ=1,cscθ·sinθ=1,1+tan2θ=sec2θ,1+cot2θ=csc2θ,又注意到tanθ·cotθ=1,于是我們可以將上述變換改進(jìn)為代數(shù)形式：令,其中x＞0,y＞0,且xy=1,這樣應(yīng)用起來(lái)就沒(méi)有超綱之嫌了。

下面列舉數(shù)例說(shuō)明其應(yīng)用。

1.直接作出代換

例1(2018屆鎮(zhèn)江高三卷)已知a,b為正數(shù),且,則的最小值為_(kāi)_。

解析：令,其中x＞0,y＞0,且xy=1,則a=1+x,b=1+y。

所以：

例2(2019屆無(wú)錫高三期中)設(shè)x,y為正實(shí)數(shù),且=1,則xy的最小值為_(kāi)_。

解析：令其中a＞0,b＞0,且ab=1。

于是x=4a+3,y=3b+1。

例3(2019屆徐州高三期中)已知正實(shí)數(shù)a,b,并且滿足a+2b=1,則的最小值為_(kāi)_。

解析：令,其中x＞0,y＞0,且xy=1。于是：

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題型題設(shè)條件很明顯,較易聯(lián)想,作出變換,運(yùn)用二元均值不等式便可迅速得出答案。

2.稍變形,再代換

例4(2016年廣東省高中聯(lián)賽預(yù)賽)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值為_(kāi)_。

解析：由題設(shè)知,其中a＞0,b＞0,且ab=1,則

例5(2017年蘇州、無(wú)錫、常州、鎮(zhèn)江二模)已知a,b均為正數(shù),且ab-a-2b=0,則的最小值為_(kāi)_。

解析：因?yàn)閍b-a-2b=0,所以=1。令,其中x＞0,y＞0,且xy=1,則于是：

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題型只要對(duì)題設(shè)條件稍作變形,亦可快速作出代換,準(zhǔn)確得出答案。

3.巧變形,妙代換

例6(2019屆鎮(zhèn)江高三期中)已知x的最小值為_(kāi)_。

解析：由題設(shè)知,其中a＞0,b＞0,且ab=1。于是：

例7(2019屆揚(yáng)州高三期中)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=3,則的最小值是__。

解析：整理得又由題設(shè)知2a+(b+2)=5,即,其中x＞0,y＞0,且xy=1,則

例8(第26屆“希望杯”)若正數(shù)a,b滿足2a+b=1,則的最小值是__。

解析：由題設(shè)知令,其中x＞0,y＞0,且xy=1,則

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)題型題設(shè)條件看似簡(jiǎn)單,但必須結(jié)合目標(biāo)函數(shù),先適當(dāng)變形,再作出巧妙代換,解法靈活,難度稍大。

4.先化歸,后代換

例9已知函數(shù),若f(x1)+f(2x2)=1,則f(x1+2x2)的最小值為( )。

解析：將原函數(shù)變形為f(x)=1-因?yàn)閒(x)+f(2x)=1,所以12

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1,即x1=log23,x2=時(shí),f(x1+2x2)的最小值為,選B。

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)以指數(shù)函數(shù)為背景的二元函數(shù)最值問(wèn)題,必須將其轉(zhuǎn)化為文中所述類(lèi)型后再作出代換解之。

必須指出,二元函數(shù)條件最值問(wèn)題大都還有別的解法,但通過(guò)上述諸例可以看出,該種變換往往能將復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù)化得較為簡(jiǎn)單,甚至能揣摩出目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建或設(shè)計(jì)過(guò)程,所以解法也就自然顯得更為簡(jiǎn)捷或重要了。