楊輝三角的探究之旅

高瑩

一、楊輝三角之由來(lái)

楊輝三角是一個(gè)特殊的數(shù)陣，最早出現(xiàn)在北宋賈憲的“開(kāi)方作法本源圖”中。南宋時(shí)期，楊輝在其著作《詳解九章算術(shù)》中予以引用，且注明了“出釋鎖算書(shū)，賈憲用此術(shù)”。元朝時(shí)期，朱世杰對(duì)楊輝三角作了進(jìn)一步研究和推導(dǎo)，得出了高階差分?jǐn)?shù)列的求和。

據(jù)說(shuō)在1636年，法國(guó)帕斯卡在13歲時(shí)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)三角形，這個(gè)表在歐洲被認(rèn)為是帕斯卡首先發(fā)現(xiàn)的，因此也被稱作“帕斯卡三角”。但此時(shí)已經(jīng)距我國(guó)楊輝三角的發(fā)現(xiàn)過(guò)了六百年左右，這足以說(shuō)明我國(guó)古代數(shù)學(xué)的卓越成就，在世界數(shù)學(xué)史占有重要地位。因此有些書(shū)上稱之為“中國(guó)三角形”（Chinese triangle）。

楊輝三角在整個(gè)數(shù)學(xué)史中的應(yīng)用非常廣泛，北宋的賈憲用其手算高次方根，元朝的朱世杰用其研究高階差分?jǐn)?shù)列（垛積術(shù)），牛頓用其算微積分，華羅庚拓寬思路，還談到了差分方程，無(wú)窮級(jí)數(shù)等。同學(xué)們，今天就讓我們穿越時(shí)光隧道，沿著大師的足跡，來(lái)一次楊輝三角的探究之旅！

二、初探楊輝三角

探究角度一：楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)

問(wèn)題1：通過(guò)二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們觀察當(dāng)n依次取1，2，3…時(shí)，（a+b）n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，即如圖2所示的二項(xiàng)式系數(shù)表，以及楊輝三角如圖1，請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)它們之間的聯(lián)系？

生：楊輝三角的第n行就是（a+b）n的二項(xiàng)式系數(shù)。

問(wèn)題2：結(jié)合楊輝三角（圖1）以及二項(xiàng)式系數(shù)表，找一找二項(xiàng)式系數(shù)有著怎樣的規(guī)律？二項(xiàng)式系數(shù)又有哪些性質(zhì)？

生3：我發(fā)現(xiàn)每一行大小的變化都是有規(guī)律的，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)最大，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)最大③。

生4：每一行的和為一個(gè)有規(guī)律的數(shù)，1，2，4，8…，即C0n+C1n+…+Cnn=2n④。

師：很好，大家結(jié)合楊輝三角發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律和性質(zhì)，其實(shí)啊，楊輝三角不僅與二項(xiàng)式系數(shù)有種種聯(lián)系，它還與我們生活中的一種有趣的現(xiàn)象相聯(lián)系，讓我們借助楊輝三角來(lái)進(jìn)行分析。

拓展1：如圖3的彈子游戲，小球（黑色）向容器內(nèi)跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，碰到第二層阻擋物等可能地向兩側(cè)第三層跌落，如此，一直下跌，小球最終落入最底層，根據(jù)落入?yún)^(qū)域獲取獎(jiǎng)品。試問(wèn)：為什么中間區(qū)獎(jiǎng)品低于兩邊區(qū)獎(jiǎng)品？

拓展2：除了與生活相關(guān)外，還與數(shù)學(xué)本身有聯(lián)系，下面我們利用③和集合聯(lián)系起來(lái)：恰好可以解釋必修一學(xué)習(xí)的{a1，a2…an}中子集的個(gè)數(shù)為什么是2n。

拓展3：繼續(xù)聯(lián)系我們學(xué)習(xí)的知識(shí)，“縱橫路線圖”是學(xué)習(xí)組合時(shí)接觸的一類問(wèn)題：若某地區(qū)的部分街道圖是縱橫各有四條路，如果從A處走到B處（只能由北到南，由西向東），請(qǐng)問(wèn)有多少種不同的走法？將縱橫路線圖旋轉(zhuǎn)如圖4的楊輝三角圖，對(duì)應(yīng)的結(jié)果一目了然就

是C48。

師：可見(jiàn)楊輝三角不僅僅和二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)系，還對(duì)我們解決一些生活問(wèn)題，以及其他數(shù)學(xué)問(wèn)題都有很大的幫助，感覺(jué)用楊輝三角一解釋就變得容易了，這也是楊輝三角的魅力所在，那么它還有什么奧秘呢？我們繼續(xù)探究。

三、再探楊輝三角

探究角度二：楊輝三角與數(shù)列

問(wèn)題3：換一個(gè)角度觀察楊輝三角，將楊輝三角擺成直角三角形，觀察由這些數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列，你能否發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律？

結(jié)論1.數(shù)列求和有規(guī)律：

即：在第r+1條斜線上（從右上到左下）前n-r個(gè)數(shù)字的和，等于第r+2條斜線上的第n-r個(gè)數(shù)。

拓展4：其中結(jié)論1同時(shí)還在生活當(dāng)中應(yīng)用普遍：

“堆垛術(shù)”中常見(jiàn)的三角堆垛，生活中在食品櫥窗中看到的將食品罐堆放成如下的形式：底層是每邊為n的三角形，依次往上堆邊長(zhǎng)少1的三角形，求食品罐的總數(shù)。（這就是結(jié)論1中r=4的模型）是不是特別簡(jiǎn)單？

問(wèn)題4：從另一斜著的角度觀察數(shù)字，例如第一斜線的數(shù)字是1，第二斜線的數(shù)字是1，第三斜線的數(shù)字是1，1，第四斜線的數(shù)字是1，2，第五斜線的數(shù)字是1，3，1，第六斜線的數(shù)字是1，4，3，…求出這些數(shù)字的和，并仔細(xì)觀察，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

1，1，2，3，5，8，13，21，34…

結(jié)論2.此數(shù)列滿足：a1=1，a2=1，an=an-1+an-2（n≥3，n∈N）

拓展5：這就是著名的斐波那契數(shù)列。

中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算術(shù)之法》中提出了一個(gè)很有趣的問(wèn)題：假定一對(duì)剛出生的小兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，過(guò)一個(gè)月生下一對(duì)小兔子，且之后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子。設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均存活。問(wèn)一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？

關(guān)于兔子繁殖問(wèn)題從楊輝三角可以得到答案：斜線上各行數(shù)字的和1，1，2，3，5，8，13，21，34…，正好是第一個(gè)月后的兔子，第二個(gè)月后的兔子，第三個(gè)月后的兔子，……，第n個(gè)月后的兔子的對(duì)數(shù)。答案就是上述數(shù)列的第13個(gè)數(shù)，即233。這個(gè)數(shù)列稱之為斐波那契數(shù)列。它所具有的性質(zhì)都是楊輝三角中所蘊(yùn)含的性質(zhì)。

四、三探楊輝三角

探究角度三：楊輝三角的“形”

問(wèn)題5：請(qǐng)同學(xué)們將圖中楊輝三角的偶數(shù)、奇數(shù)分別標(biāo)出，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

發(fā)現(xiàn)1：所有偶數(shù)都呈倒立的正三角形狀排列，奇數(shù)都呈正立的正三角形形狀排列;

發(fā)現(xiàn)2：邊長(zhǎng)特點(diǎn)：3，7，15，31，63，…規(guī)律：3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，即所有偶數(shù)依次排出以2n-1（n∈N*）的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的倒立正三角形。

拓展6：把這些倒立正三角形從楊輝三角中挖去，剩余部分就是有趣的西爾平斯基襯墊.

如圖5.（由波蘭數(shù)學(xué)家西爾平斯基于1951年發(fā)現(xiàn)，故而得名）

這體現(xiàn)了楊輝三角的“形”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和抽象美。

五、小結(jié)與收獲

探究楊輝三角的“數(shù)”與“形”：

西爾平斯基襯墊體現(xiàn)了楊輝三角的“形”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，而“形”決定于楊輝三角“數(shù)”的構(gòu)成，是楊輝三角的本質(zhì)的反映，楊輝三角“數(shù)”與“形”的結(jié)合如此完美令人嘆為觀止。楊輝三角與組合數(shù)、數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法聯(lián)系在一起，合乎情理，一氣呵成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美，同時(shí)，楊輝三角又能與著名的斐波那契數(shù)列、有趣的西爾平斯基襯墊聯(lián)系在一起，使人感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奧妙無(wú)窮，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇異美。楊輝三角還是對(duì)一些數(shù)學(xué)規(guī)律的高度概括和抽象，所以說(shuō)數(shù)學(xué)即是蘊(yùn)含“真”科學(xué)，又是蘊(yùn)含“美”科學(xué)，可謂是“真美”。

編輯 李燁艷